2024-2025学年北京五十五中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京五十五中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.设，是非零向量，则“”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数，，，且的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著九章算术对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.点在圆：上，，，则最小时，( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家、近代数学惦记着奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
9.已知某种垃圾的分解率为，与时间月满足函数关系式其中，为非零常数若经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过参考数据：
A. 个月 B. 个月 C. 个月 D. 个月
10.已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点，在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是( )
A. 任意，都存在点，，使得
B. 任意，都存在点，，满足这对点关于点对称
C. 存在，当点，运动时，使得
D. 任意，恰有三对不同的点，，满足每对点，关于点对称
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若直线是双曲线的一条渐近线，则 ______．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角终边经过点，角是由角终边绕原点逆时针旋转得到的，则等于______．
13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程焦点；经过点你所选的条件是______，得到的一个抛物线标准方程是______．
14.已知等比数列满足：，，，则公比 ______，的最小值为______．
15.在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离
记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值如果点，直线：，则 ______．
已知空间内定点，动点满足，则动点围成的几何体的表面积是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，．
求的大小；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积条件：边上的高；条件：；条件：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，直线平面，，，，，，平面平面，为线段的中点，为线段上一点．
证明：；
证明：；
是否存在点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
某企业为了解职工款和款的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表假设所有职工对两款是否使用相互独立．
分别估计该企业男职工使用款的概率、该企业女职工使用款的概率；
从该企业男、女职工中各随机抽取人，记这人中使用款的人数为，求的分布列及数学期望；
据电商行业年月发布的市场分析报告显示，款的用户中男性占、女性占；款的用户中男性占、女性占．
试分析该企业职工使用款的男、女用户占比情况和使用款的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．
男职工 女职工
使用 不使用 使用 不使用
款 人 人 人 人
款 人 人 人 人
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，，椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程；
过作直线与椭圆交于不同的两点，，其中与轴不重合，直线与直线交于点，判断直线与的位置关系，并说明理由．
20.本小题分
已知函数，直线为曲线在点处的切线．
当时，求出直线的方程；
若，讨论的单调性，并求出的最值；
若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
21.本小题分
给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：，，，满足如下三个性质：
，，且；
；
与不同时在数对序列中．
Ⅰ当，时，写出所有满足的数对序列；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ当为奇数时，记的最大值为，求．
参考答案
1.
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16.解：在中，有，
由正弦定理，得，
而，则，化简得，
又，所以；
若选，边上的高，在中，
，即，
在中，由余弦定理，
可得，
整理得，而，解得，
的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，
所以的面积为；
若选，，则，，
由正弦定理，得，
根据三角形中大角对大边可知，不存在，不可选；
若选，，由余弦定理，
得，则，
显然，即方程无解，
因此不存在，不可选．
17.证明：因为直线平面，平面，平面平面，
所以．
证明：因为，为线段的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
解：过点作于点，
因为，，所以，所以四边形是矩形，
所以，，
因为，所以，
又，，所以是等边三角形，且，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设，其中，则，
因为点到平面的距离是，
所以，解得，
此时的值为．
18.解：由所给数据可知，男职工使用款的人数为，
用频率估计概率，可得男职工使用款的概率约为，
同理，女职工使用款的概率约为．
的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
的数学期望．
样本中，款的男、女用户为人，
其中男用户占，女用户占，
样本中，款的男、女用户为人，
其中男用户占，女用户占，
所以该企业职工使用款的情况与市场分析报告中的男、女用户情况更相符．
19.解：设椭圆的半焦距为，
由已知点，的坐标分别为，，
因为，所以，所以，
又椭圆的离心率为，所以，
所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
因为直线与轴不重合，且过点，
所以可设直线的方程为，
联立方程，消去可得，
，
设，，
，
，，
则
则直线的方程为，
代入可得，即，
所以，
则，
因为，即，
所以，
所以直线与平行．
20.解：由，得，
则，
又，
则切线的方程为；
，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，无最大值；
由，得，则，
所以曲线在点处的切线的方程为
，即，
因为直线与曲线相交于点，且，
所以关于的方程在有解，
令，则，
令，则，
当时，由，得，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上无零点，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
当时，，则，
所以在上单调递增，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
所以符合题意；
综上实数的取值范围为．
21.解：Ⅰ：，，，或：，，；
Ⅱ证明：因为和不同时出现在中，故，
所以，，，，，每个数至多出现次，
又因为，
所以只有，对应的数可以出现次，
故；
Ⅲ当为奇数时，先证明，
因为和不同时出现在中，所以，
当时，构造：，，恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：
，，，，
，，，，
，
，，，，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以，
其次，对每个不大于的偶数，将如下个数对并为一组：
，，，，共得到组，将这组数对以及，，，
按如下方式补充到的后面，
即：，，，，，，，，，，，，
此时恰有项，
所以，
综上，当为奇数时，．
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