高中物理--必修2--单元复习（有解析，8份打包）

第七章 万有引力与航天
一、开普勒行星三定律
1．轨道定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上。
2．面积定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3．周期定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即
式中为椭圆轨道的半长轴，为行星绕行的周期，k是一个与行星无关的常量。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______，与它们之间距离r的二次方成______。
2．表达式
式中为万有引力常量，由______利用扭秤实验测得；为质点或匀质球体之间的距离。
3．适用条件
① 公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
② 质量分布均匀的球体可视为质点。
三、万有引力和重力的关系（为为地球半径）
1．不考虑地球自转的情况下，万有引力和重力相等，既
2．考虑地球自转的情况下，物体所受万有引力由重力和向心力矢量合成，如图所示
在赤道表面时，向心力和重力重合，即
在两极时，向心力为0，万有引力和重力相等，既
四、计算天体的质量和密度
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量 的 计 算 利用运行天体 r、T 只能得到中心天体的质量
r、v
v、T
利用天体表面重力加速度 g、R
密度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R 当r＝R时， 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R
五、卫星运行的相关参数
在公式中，为轨道半径，为地球半径，为地球表面附近的重力加速度
1．线速度
2．角速度
3．周期
4．加速度
六、宇宙速度
1．第一宇宙速度
① 定义：物体在地球附近绕地球做______运动的速度
② 地球的第一宇宙速度的计算
当卫星的轨道半径等于地球半径时，卫星环绕速度为第一宇宙速度，即
③ 对第一宇宙速度的理解
“最小______”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
“最大______ ”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由可知轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度。
2．第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果速度大于7.9km/s，又小于______，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于______时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2km/s叫作第二宇宙速度。
3．第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于______，这个速度叫作第三宇宙速度。
七、卫星变轨
1．制动变轨（由Ⅲ轨道降低到Ⅰ轨道）
卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即，卫星做近心运动，轨道半径将变小。
2．加速变轨（由Ⅰ轨道降低到Ⅲ轨道）
卫星的速率变大时，使得万有引力小于所需向心力，即，卫星做离心运动，轨道半径将变大。
八、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．爱因斯坦的假设
① 在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
② 真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2．时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是
由于，所以总有，此种情况称为时间延缓效应。
3．长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是
由于，所以总有，此种情况称为长度收缩效应。
4．牛顿力学的成就
从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。
5．牛顿力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
开普勒行星定律揭示了行星绕太阳运行的重要规律。椭圆定律说明了行星绕太阳运行的轨道为椭圆，太阳在椭圆的某个焦点上；面积定律定律说明了行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，也说明了行星在近地点速度大于远地点速度；周期定律说明了所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，若行星轨道近似为圆轨道，半长轴即为圆周轨迹的半径。
【例题】
1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B．卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
2．北京冬奥会开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　）
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值不同
【练习题】
3．关于开普勒行星运动的公式，以下理解正确的是（　　）
A．k是一个与中心天体有关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R，周期为T，月球绕地球运转轨道的半长轴为，期为，则
C．T表示行星运动的公转周期
D．R表示行星的半径
4．开普勒行星运动定律是我们学习、研究天体运动的基础。下列对开普勒行星运动定律理解错误的是（　　）
A．由开普勒第一定律知，行星绕太阳运动的轨道不是标准的圆形
B．由开普勒第一定律知，太阳处在绕它运动的行星轨道的焦点上
C．由开普勒第二定律知，火星和木星围绕太阳运行在相等的时间内它们扫过的面积相等
D．由开普勒第三定律知，地球与火星轨道的半长轴的三次方跟它们各自公转周期的二次方的比值相等
5．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，则此卫星的运动周期为（　　）
A．1~4天 B．4~8天
C．8~16天 D．大于16天
万有引力定律的推导主要应用了开普勒第三定律、牛顿第三定律、向心力方程，并且通过月—地检验证明了万有引力定律的正确性。
【例题】
6．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空。若神舟十三号在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当神舟十三号上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
7．有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为的质点，现在从球体中挖去一半径为的小球体（如图所示），然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，则填充后的实心球体对质点的万有引力是多少（万有引力常量为）？
8．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列定律：
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行里都相同的常量。
（1）在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
a．如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积=×半径×弧长）
b．请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。
（2）牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。
a．通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式；
b．实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导k′的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′≈k需满足的条件。
【练习题】
9．2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功软着陆。用h表示着陆器与火星表面的距离，用F表示它所受的火星引力大小，则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，能够描述F随h变化关系的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图所示，空间有一半径为R质量分布均匀的球体，球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体，物体距离球体球心O之间的距离为2R，O与物体的连线在同一水平线上，球对物体的引力大小为。现从球中挖走两个半径为的小球，小球的球心、与O点的连线在同一竖直线上。则剩余部分对物体的引力大小为。则为（　　）
A． B．
C． D．
【易错题】
11．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图所示，两个实心球的半径分别为、，其质量分别为、且两实心球的质量分布不均匀（两球内侧密度大）。两球间的距离，取引力常量，则两球间万有引力的大小（　　）
A．等于6.67×10-11N B．大于6.67×10-11N
C．小于6.67×10-11N D．不能确定
1．假设地球半径为考虑地球自转的情况下，万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和；
2．在赤道上，重力mg与向心力F向共线，即；
3．在两极上，向心力F向为0，即；
4．在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，常认为万有引力等于重力，即；
5．在地球表面附近的高处的重力加速度为，即。
【例题】
13．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高0.5R处的重力加速度，地球表面下方深0.5R处的重力加速度，则为（　　）
A． B． C． D．
14．某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。
（1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？
（2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？
【练习题】
15．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（ ）
A． B． C． D．
16．在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为（　　）
A． B． C． D．
17．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球由于自转，地球赤道上某点转动的线速度为（　　）
A． B． C． D．
计算中心天体的主要思路有两个：
1．根据行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的的信息求解中心天体的质量，例如已知行星或卫星绕中心天体运行的周期是，根据可知；
2．忽略中心天体自转或在中心天体表面附近做匀速圆周运动，根据可知，需要注意的是g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动。
计算中心天体的密度，需要知道中心天体的半径，根据体积和密度求解中心天体的密度。
【例题】
18．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）
A．地球的质量
B．太阳的质量
C．月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
19．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（　　）
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
【练习题】
20．2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星的乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为102min。已知地球平均密度为，中国空间站距地球表面约400km，周期约为90min，地球半径约为6400km。下列数值最接近火星的平均密度的是（　　）
A． B．
C． D．
21．2021年5月15日7时18分，由祝融号火星车及进入舱组成的天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，由此又掀起了一股研究太空热。某天文爱好者做出如下假设：未来人类宇航员登陆火星，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点处的位移，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是（　　）
A．小球竖直上抛的初速度为
B．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为
D．火星的密度为
22．热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为（　　）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
A．3∶2 B．2∶3
C．4∶1 D．6∶1
【易错题】
23．一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为（　　）
A． B．
C． D．
24．科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为，通过天文观测测得火星的自转角速度为，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（　　）
A． B．
C． D．
1．如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
2．双星系统的特点
① 两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同；
② 两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
③ 两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即，轨道半径与两星质量成反比。
3．双星系统相关的数量关系
① 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
② 两行星质量之比；
③ 两行星总质量；
④ 双星系统的周期。
4．多星系统的特点
三星模型 四星模型
【例题】
25．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示为某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图。若A星的轨道半径是B星轨道半径的4倍，它们之间的距离保持不变，双星系统中的A、B两星都可视为质点。则下列说法中正确的是（　　）
A．A星与B星所受的引力大小相等
B．A星与B星的线速度大小之比为4 ：1
C．A星与B星的质量之比为4 ：1
D．A星与B星的动能之比为4 ：1
26．某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。四星系统的形式如图所示，三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行（图中未画出），而第四颗星刚好位于等边三角形的中心不动。设每颗星的质量均为m，引力常量为G，则（　　）
A．在三角形顶点的三颗星做圆周运动的向心加速度与其质量无关
B．在三角形顶点的三颗星的总动能为
C．若四颗星的质量m均不变，距离L均变为2L，则在三角形顶点的三颗星周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则在三角形顶点的三颗星角速度变为原来的2倍
【练习题】
27．100多年前爱因斯坦预言了引力波的存在，几年前科学家探测到黑洞合并引起的引力波。双星的运动是产生引力波的来源之一，在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则下列结论错误的是（　　）
A．两颗星的质量之差为
B．两颗星的线速度大小之差的绝对值为
C．QP两颗星的质量之比为
D．QP两颗星的运动半径之比为
28．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA < RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．恒星A、B的质量和为
C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径小于C的轨道半径
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
29．近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为RA、RB、RC，下列说法正确的是（　　）
A．若三颗星体质量关系有mA＝mB＝mC，则三颗星体运动轨迹圆为同一个
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有RA＜RB＜RC，则三颗星体质量大小关系为mA＜mB＜mC
C．F1、F2、F3的矢量和一定为0，与星体质量无关
D．a1、a2、a3的矢量和一定为0，与星体质量无关
【易错题】
30．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（　　）
A．四颗星的向心加速度的大小均为
B．四颗星运行的线速度大小均为
C．四颗星运行的角速度大小均为
D．四颗星运行的周期均为
人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动，卫星运行的线速度、角速度、周期、加速度均和卫星的轨道半径有关，结合变化各项参数的形式。
【例题】
31．中国日报2022年9月9日电（记者张宇浩）当地时间7日，美国国家航空航天局的“苔丝”（TESS）任务宣布发现两颗系外行星，距离地球约100光年，其中一颗或适合生命存活。这两颗系外行星被归类为“超级地球”，即质量比地球大，但比冰巨星小。它们绕着一颗“活跃度较低”的红矮星运行。第一颗行星，LP890-9b，其半径是地球的倍，每天绕恒星一周。另一颗行星LP890-9c的半径是地球的倍，大约天绕恒星一周，绕行期间处于恒星宜居带内。研究人员表示，LP890-9c距离恒星很近，接收到的辐射热量却很低，若有充足的大气层，行星表面或存在液态水。若将两颗行星和地球均视为球体，假设LP890-9c与地球密度相等，地球绕太阳和两颗行星绕红矮星的运动均看做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．LP890-9c表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为
B．LP890-9c的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
C．LP890-9b与LP890-9c绕恒星公转的轨道半径之比为
D．LP890-9b与LP890-9c绕恒星公转的线速度之比为
32．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上点沿水平方向以一定初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡上距离点为的另一点，斜面的倾角为，已知该星球半径为，引力常量为，则（　　）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球表面的重力加速度大小为
C．小球的初速度大小为
D．人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为
【练习题】
33．如图所示是一张人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道a、c、d的圆心均与地心重合，a与赤道平面重合，b与某一纬线圈共面，c与某一经线圈共面。下列说法正确的是（　　）
A．a、b、c、d都有可能是卫星的轨道
B．轨道a上卫星的线速度大于
C．轨道c上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同
D．仅根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，也不能求出地球质量
34．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，下列说法正确的是（　　）
A．静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 B．静止卫星与P点的速度之比为n：1
C．静止卫星与量子卫星的速度之比为 D．量子卫星与P点的速度之比为
35．两颗相距足够远的行星a、b，半径均为，两行星各自卫星的公转速度的平方与公转半径的倒数个的关系图像如图所示．则关于两颗行星及它们的卫星的描述，正确的是（ ）
A．行星a的质量较大
B．行星a的第一宇宙速度较大
C．取相同公转半径，行星a的卫星向心加速度较小
D．取相同公转速度，行星a的卫星周期较小
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。所有同步卫星的周期（24h）、角度、距离地面高度（约3.6×104 km）相同，线速度大小（约3.1×103 m/s）、向心加速度大小，都是相同一定的。同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较如下：
1．同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度；
2．向心力的对比
① 同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力；
② 赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力（很小）是万有引力的一个分力。
【例题】
36．如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a未发射在地球赤道上随地球一起转动，b为近地轨道卫星，c为地球同步卫星，d为高空探测卫星，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则下列关于四卫星的说法正确的是（　　）
A．a卫星的向心加速度等于重力加速度g
B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积
C．c、d卫星轨道半径的三次方与周期的平方之比相等
D．b卫星的运行周期大于a卫星的运行周期
【练习题】
37．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为，线速度为；东方红二号的加速度为，线速度为；固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为，线速度为；则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
38．如图，P是纬度为的地球表面上一点，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球赤道同步卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（　　）
A．12小时后O、P、Q、R再一次共面
B．P点向心加速度大于卫星Q的向心加速度
C．P、Q、R均绕地心做匀速圆周运动
D．R的线速度小于Q的线速度
39．有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．a的向心加速度小于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是23 h
如图所示。若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ，则需要在A处、B处各点火加速一次；若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ，则需要在B处、A处各制动减速一次。
物理量比较如图
速度关系 vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ＞vⅢ
（向心）加速度关系 aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
能量关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
【例题】
40．“天问一号”火星探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发射到火星，地球轨道和火星轨道近似看成圆形轨道，霍曼转移轨道是一个在近日点M和远日点P分别与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示）。“天问一号”在近日点短暂点火后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为G，太阳质量为m，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是。（　　）
A．两次点火喷射方向都与速度方向相反
B．“天问一号”在霍曼转移轨道上P点的加速度比在火星轨道上P点的加速度小
C．两次点火之间的时间间隔为
D．“天问一号”在地球轨道上的角速度小于在火星轨道上的角速度
【练习题】
41．一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动。轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且。除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态。着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．
B．着陆器在轨道Ⅲ上运动时，经过P点的加速度为
C．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变小
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点，与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比为
42．嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．嫦娥五号的发射速度大于11.2km/s
B．沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
C．沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
D．探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
【易错题】
43．北京时间2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，2时23分，飞船太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，天舟四号货运飞船将与在轨运行的空间站组合体进行交会对接，若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是（　　）
A．对接前“天舟四号”的运行速率大于“空间站组合体”的运行速率
B．对接前“天舟四号”的向心加速度小于“空间站组合体”的向心加速度
C．“天舟四号”通过加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
D．“天舟四号”先减速后加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
以天体的追及相遇问题为例。
1．地球和行星绕行太阳做匀速圆周运动，当地球和行星处于地球同侧且共线时，地球和行星相距最近，即地球和行星“相遇”。
地球运行速度大于行星运行的速度，地球和行星之后经过时间再次同侧共线，地球比行星多绕行一圈，即转动角度相差，即
结合变形得
解得相遇时间为
2．地球和行星绕行太阳做匀速圆周运动，当地球和行星处于地球异侧且共线时，地球和行星相距最最远。
地球运行速度大于行星运行的速度，地球和行星之后经过时间再次异侧共线，地球比行星多绕行半圈，即转动角度相差，即
结合变形得
解得
【例题】
44．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”；当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知太阳系八大行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，某颗小行星轨道半径为（为天文单位）。下列说法正确的是（　　）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星会发生冲日现象
B．木星会发生凌日现象
C．火星相邻两次冲日的时间间隔最短
D．小行星相邻两次冲日时间间隔约为1.1年
45．2020年12月17日1时59分，随着我国“嫦娥五号”返回器携带月球样品于内蒙古中部四子王旗成功着陆，我国实现了月球探测“绕、落、回”三步走规划的完美收官，标志着我国具备了地月往返的能力，是我国航天事业发展中里程碑式的新跨越。此次任务中需要完成上升器与轨道返回组合体的交会对接，将上升器中存放的月球样品通过轨道器转移到返回器中。假设此次交会对接的过程如图所示，上升器先在半径为r的环月轨道飞行，轨道返回组合体在半径为R的环月轨道飞行，当轨道返回组合体运动到图示B点时，上升器立即加速进入远月点与月球距离为R的椭圆轨道并恰与轨道返回组合体在远月点C相遇对接。则B、C两点对应的圆心角度是（　　）
A． B．π
C． D．π
【练习题】
46．某宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为，太阳光可看作平行光，下列说法正确的是（　　）
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．地球的平均密度为
C．一天内飞船经历“日全食”的次数为
D．宇宙飞船的运行速度为
47．2020年7月23日，我国自主研制的第一颗火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场发射升空，之所以选择这天，是因为地球与火星必须处于特定位置（如图所示）才能发射。此时间被称为“发射窗口期”。设定火星与地球绕太阳运动的轨道在同一平面内，且均可视为匀速圆周运动，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径的1.52倍，则相邻两次“发射窗口期”的时间间隔约为（）（　　）
A．360天 B．540天 C．680天 D．780天
48．中国科学院紫金山天文台于2022年7月发现两颗小行星20220S1和20220N1。小行星20220S1预估直径约为230m，小行星20220N1预估直径约为45m。若两小行星在同一平面内绕太阳的运动可视为匀速圆周运动（仅考虑两小行星与太阳之间的引力），测得两小行星之间的距离随时间变化的关系如图所示，已知小行星20220S1绕太阳的速率小于小行星20220N1绕太阳的速率。则小行星20220S1和20220N1的轨道半径分别为（　　）
A．6r，3r B．3r，6r C．3r，1.5r D．1.5r， 3r
在爱因斯坦两个假设的基础上，经过严格的数学推导，可以得到两个结果，一是时间延缓效应，二是长度收缩效应。
【例题】
49．某星际飞船正在遥远的外太空飞行，假如它的速度可以达到0.7c，在地球上观测到其经过8.76×104 h的时间到达某星球，则在飞船上的人看来，其到达此星球需要的时间是（　　）
A．8.76×104 h B．6.26×104 h
C．12.27×104 h D．16.52×104 h
50．若一列火车以接近光速的速度在高速行驶，车上的人用望远镜来观察地面上的一只排球，其观察的结果是（　　）

A．像一只乒乓球（体积变小） B．像一只篮球（体积变大）
C．像一只橄榄球（竖直放置） D．像一只橄榄球（水平放置）
【练习题】
51．如图所示，地面上A、B两处的中点处有一点光源S，甲观察者站在光源旁，乙观察者乘坐速度为v（接近光速）的火箭沿方向飞行，两观察者身边各有一个事先在地面校准了的相同的时钟，下列对相关现象的描述中，正确的是（　　）
A．甲测得的光速为c，乙测得的光速为
B．甲认为飞船中的钟变慢了，乙认为甲身边的钟变快了
C．甲测得的间的距离小于乙测得的间的距离
D．当光源S发生一次闪光后，甲认为A、B两处同时接收到闪光，乙则认为B先接收到闪光
52．如图所示，两艘飞船A、B沿同一直线同向飞行，相对地面的速度均为v（v接近光速c）。地面上测得它们相距为L，则A测得两飞船间的距离 （选填“大于”、“等于”或“小于”）L。当B向A发出一光信号，A测得该信号的速度为 。
经典力学适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
【例题】
53．关于经典力学理论，下述说法中正确的是（　　）
A．经典力学是过时和错误的
B．经典力学适用于宏观、低速、弱引力场
C．经典力学认为时空是相对的
D．经典力学可以预言各种尺度下的运动
【练习题】
54．美国科学家2016年2月11日宣布，他们探测到引力波的存在，引力波是实验验证爱因斯坦相对论的最后一块缺失的“拼图”，相对论在一定范围内弥补了牛顿力学的局限性。关于牛顿力学，下列说法正确的是（　　）
A．牛顿发现了万有引力定律并测得了引力常量
B．牛顿力学取得了巨大成就，适用于一切领域
C．两物体间的万有引力总是大小相等方向相反
D．由于相对论、量子论的提出，牛顿力学已经失去了它的应用价值
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【详解】AC．第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据，最终得出了行星的运动规律，故AC错误；
B．牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验比较准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许，卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故B正确；
D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。
故选B。
2．C
【详解】A．由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；
B．地球经历春夏秋冬由图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小；所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；
C．根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值是相同的，故D错误。
故选C。
3．AC
【详解】A．关于开普勒行星运动的公式
k是一个与行星无关的常量，与中心天体的质量有关，故A正确；
B．关于开普勒行星运动的公式
公式中的k是与中心天体质量有关的，中心天体不一样，k值不一样，地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，k值是不一样的，故B错误；
C．关于开普勒行星运动的公式
中的T代表行星运动的公转周期，故C正确；
D．关于开普勒行星运动的公式
中的R表示行星的轨道半径，故D错误。
故选AC。
4．C
【详解】A．开普勒第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A正确，不符合题意；
B．由开普勒第一定律知，太阳处在绕它运动的行星轨道的焦点上，故B正确，不符合题意；
C．由开普勒第二定律可知，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，是针对同一个行星而言的，故C错误，符合题意；
D．由开普勒第三定律知，地球与火星轨道的半长轴的三次方跟它们各自公转周期的二次方的比值相等，故D正确，不符合题意。
故选C。
5．B
【详解】由可知
=
因为月球绕地球运动的周期约为27天，所以
T星≈5天
故选B。
6．C
【详解】由题意，根据万有引力定律有
当神舟十三号上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为
故选C。
7．
【详解】设原来球体的密度为，则
在球体内部挖去半径为的小球体，挖去小球体的质量为
挖去小球体前，球与质点的万有引力
被挖部分对质点的万有引力为
填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍，填充后的实心球体对质点的万有引力为
8．（1）a．，证明过程见解析；b．证明过程见解析；（2）a．；b．，行星质量远小于太阳质量
【详解】（1）a．根据扇形面积公式可得时间内行星扫过的扇形面积满足
解得
根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小v也为常量，所以行星做匀速圆周运动；
b．设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有
根据开普勒第三定律可得
即
联立以上两式可得
其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比；
（2）a．行星绕太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
解得
b．设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则有
行星做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
将以上两式相加可得
解得
则若要使k′≈k，即
需要行星的质量远小于太阳的质量。
9．C
【详解】由万有引力定律可得
着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，随着h减小，F非线性增大，对比图线可知，C选项的图像符合题意。
故选C。
10．D
【详解】假设大球的质量为M，则该球对物体的引力大小为
挖走的小球质量为
挖走的球与物体之间的距离为
挖走的一个小球与物体之间的引力大小为
整理得
设与物体的连线与水平方向的夹角为，则挖走的两个小球与物体之间的引力为
解得
得
故选D。
11．D
【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力定律可知两球间的万有引力应为
故选D。
12．B
【详解】根据万有引力公式
和题意可知两实心球的重心间距
当代入
计算解得
重心间距小，万有引力更大，B项正确，ACD错误。
故选B。
13．D
【详解】设地球的质量为M，密度为，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，根据
在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得
又
联立，可得
故ABC错误；D正确。
故选D。
14．（1）10m；（2）
【详解】（1）设星球质量为M1地球质量为M，半径为R1和R2
在星球体表面做平抛运动，则
，
设在星球和地球平抛水平位移分别为和，得
故
代入值解得
=10m
（2）起飞前
高h处时根据牛顿第二定律得
带入得
根据万有引力提供重力
可得
，
15．A
【详解】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有
在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有
联立解得该行星自转的角速度为
故选A。
16．C
【详解】设地球的质量为，物体的质量为，地球两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为，在地球两极处有
在赤道处有
又有
联立解得
故ABD错误，C正确。
故选C。
17．D
【详解】在地球两极
在赤道上
解得
地球赤道上某点转动的线速度为
故选D。
18．B
【详解】A．若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有
则
故A错误；
B．根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有
则
故B正确；
CD．由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故CD错误。
故选B。
19．D
【详解】AB．由图像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小为
故AB错误；
CD．根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力，即
月球密度
联立以上各式得月球的平均密度为
故C错误，D正确。
故选D。
20．B
【详解】对近地卫星，万有引力提供向心力，有
其中
解得
常数
则
故选B。
21．D
【详解】AB．设小球竖直上抛的初速度为，火星表面重力加速度为，则有
可得
可知图像的纵轴截距等于初速度，则有
图像的斜率绝对值为
可知星表面重力加速度为
小球从O点上升的最大高度为
AB错误；
C．根据物体在火星表面受到的重力等于万有引力，则有
解得
火星的质量为
C错误；
D．根据
可得火星的密度为
D正确。
故选D。
22．A
【详解】在星球表面附近，万有引力等于重力，即
解得星球质量
则地球和月球的质量之比
由密度公式
体积公式
联立解得地球和月球的密度之比
A正确，BCD错误。
故选A。
23．D
【详解】地球自转的角速度
设地球质量为，半径为，根据题意可得
又
联立解得
故D正确，ABC错误。
故选D。
24．AC
【详解】在火星两极
在火星赤道上
密度公式为
联立得
，
故选AC。
25．ABD
【详解】A．星与B星所受的引力就是二者之间的万有引力，故、B两星所受的引力大小相等，A正确；
B．在双星系统中，星与B星转动的角速度相等，根据
可知星与B星的线速度大小之比为，B正确；
C．、B两星做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得
则星与B星的质量之比为
C错误；
D．星与B星的动能之比为
D正确；
故选ABD。
26．B
【详解】A．每颗星轨道半径为，每颗星受到的万有引力的合力
由万有引力提供向心力得
解得
向心加速度与质量有关，A错误；
B．由
得在三角形顶点的一颗星的动能
则总动能
B正确；
CD．由
解得
若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的倍；若每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的倍，即角速度变为原来的倍，CD错误。
故选B。
27．C
【详解】D．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q星的周期为T；根据题意可知
rP+rQ=l，
解得：
，
则Q、P两颗星的运动半径之比，故D正确，不符合题意；
A．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：
解得
，
则Q、P两颗星的质量差为
故A正确，不符合题意；
B．Q、P两颗星的线速度大小之差的绝对值为
故B正确，不符合题意；
C．Q、P两颗星的质量之比为
故C错误，符合题意。
故选C。
28．BD
【详解】A．C绕B做匀速圆周运动，满足
故无法求出C的质量，A错误；
B．AB构成双星系统，满足
解得
同理可得
故恒星A、B的质量和为，B正确；
C．AB构成双星系统，满足
因为 < ，所以，若A也有一颗运动周期为的卫星D，根据
可知
而卫星C半径满足
D轨道半径大于C的轨道半径，C错误；
D．如图所示
A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过的圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则有
解得
D正确。
故选BD。
29．AC
【详解】A．若三个星体质量相等，则根据对称性可知，三个星体所受的万有引力大小均相同，在角速度都相等的情况下，轨迹半径也相等，故三颗星体运动轨迹圆为同一个，故A正确；
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有
RA＜RB＜RC
而因为三颗星体的角速度相等，则万有引力的大小关系为
FA＜FB＜FC
根据对称性可知
mA＞mB＞mC
故B错误；
CD．根据万有引力定律可知
F1＝FBA+FCA
同理可得
F2＝FAB+FCB；F3＝FAC+FBC
（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则
F1+F2+F3＝FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC＝0
而
当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C正确，D错误；
故选AC。
30．B
【详解】一个星体受其他三个星体的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有
解得
故B正确，A、C、D错误。
故选B。
31．B
【详解】A．由
得
又知
与地球密度相等，所以
故LP890-9c表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为，选项A错误；
B．根据万有引力定律有
解得
可得
由A选项可知，所以
LP890-9c的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1.4:1，选项B正确；
C．由开普勒第三定律可知
与LP890-9c绕恒星公转的轨道半径之比为；选项C错误；
D．由
可得
与LP890-9c绕恒星公转的线速度之比为；选项D错误。
故选B。
32．A
【详解】AB．小球在竖直方向上做匀加速直线运动有
得
在星球表面有
得该星球的第一宇宙速度
A正确，B错误；
C．小球在水平方向上做匀速直线运动
得
C错误；
D．人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期
D 错误。
故选A。
33．C
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力提供向心力，可知地心为卫星的圆轨道圆心，故b不可能是卫星的轨道，A错误；
B．第一宇宙速度是卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动时的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，故轨道a上卫星的线速度小于，B错误；
C．如果轨道c的半径等于地球同步卫星的轨道半径，则轨道c上卫星的运行周期等于地球同步卫星的周期，即轨道c上卫星的运行周期等于地球自转周期，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得
可得
根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，可以求出地球质量，D错误。
故选C。
34．AB
【详解】A．根据
可知
故静止卫星与量子卫星的运行周期之比为，故A正确；
B．赤道上P点周期与静止卫星周期相同，根据
可知静止卫星与P点的速度之比为n：1，故B正确；
C．根据
可知
故静止卫星与量子卫星的速度之比为，故C错误；
D．综上所述，则
则
则，量子卫星与P点的速度之比为，故D错误。
故选AB。
35．AB
【详解】A．根据万有引力提供向心力可知
得
可知图线的斜率表示GM，a的斜率大，则行星a的质量较大，故A正确；
B．根据
得第一宇宙速度
因为行星a的质量较大，则行星a的第一宇宙速度较大，故B正确；
C．根据
得
取相同的公转半径，由于行星a的质量较大，则行星a的卫星向心加速度较大，故C错误；
D．根据
得
取相同的公转速度，由于行星a的质量较大，可知行星a的卫星轨道半径较大，根据知，行星a的卫星周期较大，故D错误。
故选AB。
36．C
【详解】A．设地球质量为，地球半径为，对于a卫星有
所以
A错误；
B．根据牛顿第二定律得
卫星与地心连线单位时间扫过的面积为
联立解得
两卫星半径不同，所以扫过的面积不同，B错误；
C．根据开普勒第三定律，c、d卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得
解得
可知b卫星的运行周期小于c卫星的运行周期，又因为c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，故b卫星的运行周期小于a卫星的运行周期，D错误。
故选C。
37．AD
【详解】AB．东方红一号与东方红二号卫星都只受万有引力，根据牛顿第二定律可得
可得
则有
在地球赤道上随地球自转的物体的角速度与东方红二号卫星角速度相同，根据
可知
故有
故A正确，B错误。
CD．卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得
可得
可知东方红二号卫星的线速度小于以东方红一号卫星近地点为半径绕地球做匀速圆周运动时的线速度，而东方红一号卫星近地点速度大于，则有
在地球赤道上随地球自转的物体的角速度与东方红二号卫星角速度相同，根据
可得
故有
故C错误，D正确。
故选AD。
38．D
【详解】A．由公式
得
QR的周期之比为
故12小时候后，Q转过得角度大于O、P、R转过的角度，则不会在一次共面，故A错误；
B．P是纬度为的地球表面上一点，绕地轴做圆周运动，向心加速度基本可以忽略，重力约等于万有引力，而人造地球卫星Q绕地心做圆周运动，万有引力提供向心力，则Q的向心加速度大，故B错误；
C．P绕地轴做匀速圆周运动，Q、R绕地心做匀速圆周运动，故C错误；
D．由公式
可知
R距离地心远，则R的线速度小于Q的线速度，故D正确。
故选D。
39．ABC
【详解】A．a受万有引力和支持力作用，即两个力的合力提供向心力，即
向心加速度小于重力加速度g，故A正确；
B．根据
得
由于
rb＜rc＜rd
则
vb>vc>vd
a、c的角速度相等，根据
v=ωr
知，c的线速度大于a的线速度，可知b的线速度最大，则相同时间内转过的弧长最长，故B正确；
C．c为同步卫星，周期为24 h，4 h内转过的圆心角
故C正确；
D．根据
得
d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，可知d的周期一定大于24 h，故D错误。
故选ABC。
40．AC
【详解】A．两次点火都是从低轨道向高轨道转移，需要加速，所以喷气方向与运动方向相反，故A正确；
B．在P点受到的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知加速度大小相等。故B错误；
C．探测器在地球轨道上由万有引力提供向心力有
由开普勒第三定律得
两次点火之间的时间为
联立，可得
故C正确；
D．由万有引力提供向心力有
解得
因为“天问一号”在地球轨道上的半径小于在火星轨道上的半径，所以“天问一号”在地球轨道上的角速度大于在火星轨道上的角速度。故D错误。
故选AC。
41．B
【详解】A．着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要在P减速做近心运动，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此
故A错误；
B．在轨道II的P点时，根据牛顿第二定律得
解得
在同一点，万有引力相同，则加速度相同，则着陆器在轨道Ⅲ上运动时，经过P点的加速度也为，故B正确；
C．根据开普勒第二定律，着陆器在轨道III上从P点运动到Q点的过程中，速率变大，故C错误；
D．设着陆器在轨道Ⅱ上周期为T1，在轨道Ⅲ上周期为T2，根据开普勒第三定律得
解得
着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所需时间为，着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间为，则两者之比也为，故D错误。
故选B。
42．B
【详解】A．发射速度大于11.2km/s卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，嫦娥五号的发射速度应大于7.9 km/s小于11.2km/s，A错误；
B．沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2，B正确；
C．由开普勒第三定律可知沿轨道1运行的周期大于沿轨道2运行的周期，C错误；
D．探测器在轨道2上经过P点在轨道1上经过P点的加速度都有万有引力产生，即探测器在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D错误；
故选B。
43．D
【详解】AB．对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力
解得
，
同一轨道，运行速率，向心加速度相等，AB错误；
C．飞船与天宫一号在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；
D．飞船与天宫一号在同一轨道上，“神舟八号”先减速飞船做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确。
故选D。
44．D
【详解】AB．行星处在太阳与地球之间，三者排列成一条直线时会发生凌日现象，由此可知：只有位于地球和太阳之间的行星水星和金星才能发生凌日现象；地球在绕日运行过程中处在太阳与行星之间，三者排列成一条直线时会发生冲日现象，所只有位于地球公转轨道之外的行星才会发生冲日现象，所以金星会发生凌日现象，木星会发生冲日现象，故AB错误；
C．地球公转周期为年，地外行星的公转周期为，如果两次行星冲日时间间隔为年，则地球多转动一周，有
解得
故地外行星中，火星距地球最近，其公转周期最小，所以火星相邻两次冲日的时间间隔最长，故C错误；
D．若地球的公转轨道半径为，则小行星的公转轨道半径为，公转周期为，根据开普勒第三定律可得
解得
年
由此可得：两次冲日现象的时间间隔
年年
故D正确。
故选D。
45．A
【详解】由开普勒第三定律可知，上升器在椭圆轨道上运行周期等于绕月半径为圆轨道运行周期，由
G
解得椭圆轨道上的运动周期为
T上=2π=2π=π
上升器沿椭圆轨道从A点运动到C点的时间为运动周期的一半，即
t=
而组合体沿圆轨道运动的周期为
T组=2π
可得
解得
θ=2π
故选A。
46．CD
【详解】A．由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过角，所需的时间为
由于宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，则
所以
设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得
可得
选项A错误；
C．飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，而地球自转一圈时间为T0，得一天内飞船经历“日全食”的次数为
选项C正确；
B．根据万有引力提供向心力，有
解得
又
所以地球的平均密度
选项B错误；
D．宇宙飞船的运行速度
故D正确。
故选CD。
47．D
【详解】设行星质量为，太阳质量为，行星与太阳的距离为，火星的周期为，地球的周期为。行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有
可得
已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径1.52倍，地球的周期为 年，则火星的周期为
设经时间 地球与火星又一次运动到“发射窗口期”，则有
解得
故选D。
48．C
【详解】根据万有引力提供向心力，则有
解得
由题知，小行星20220S1绕太阳的速率小于小行星20220N1绕太阳的速率，故小行星20220S1离太阳更远，轨道半径更大，当两小行相距最近时有
当两小行相距最远时有
联立解得
，
故选C。
49．B
【详解】到达此星球需要的时间是
≈6.26×104 h
故选B。
50．C
【详解】根据狭义相对论，以观察者为参照系，则排球以接近光速的速度反向运动，由长度收缩效应可知，观察者测得排球水平宽度变短，竖直长度不变，因此观察的结果是像一只竖直放置的橄榄球。
故选C。
51．D
【详解】A．根据爱因斯坦的光速不变原理，可知甲乙在两种不同的参考系里测出的光速都为c，故A错误；
B．根据钟慢效应：运动的钟比静止的钟走得慢，而且，运动速度越快，钟走的越慢，接近光速时，钟就几乎停止了；甲认为飞船中的钟变慢了，乙认为甲身边的钟变慢了，故B错误；
C．根据尺缩效应：在尺子长度方向上运动的尺子比静止的尺子短，可知甲测得的AB间的距离大于乙测得的AB间的距离，故C错误；
D．当光源S发生一次闪光后，甲认为A、B两处同时接收到闪光，对乙而言，则乙认为B先接收到闪光，故D正确。
故选D。
52． 大于 c
【详解】[1]根据可知，L0为在相对静止参考系中的长度，L为在相对运动参考系中的长度，地面上测得它们相距为L，是以高速飞船为参考系，而A测得的长度为以静止参考系的长度大于L；
[2]根据光速不变原理，则A测得该信号的速度为c。
53．B
【详解】ABD．经典力学并不是过时和错误的，只是它具有相应的适用范围，即适用于宏观、低速、弱引力场，不适用于微观、高速、强引力场，所以经典力学并不能预言各种尺度下的运动，故AD错误，B正确；
C．经典力学认为时空是绝对的，故C错误。
故选B。
54．C
【详解】A．卡文迪许测得了引力常量，故 A错误；
B．牛顿力学取得了巨大的成就，但它具有一定的局限性，并不是普遍适用的，故B错误；
C．根据牛顿第三定律，两物体间的万有引力总是大小相等方向相反，故C正确；
D．在微观高速领域，要用量子力学和相对论理论来解释，但是并不会因为相对论和量子力学的出现，就否定了牛顿力学，牛顿力学作为某些条件下的特殊情形，被包括在新的科学成就之中，不会过时，不会失去价值，故D错误。
故选C。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第七章 万有引力与航天综合练习
一、单选题
1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B．卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
2．下列说法正确的是（　　）
A．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
B．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力
C．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度
D．若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行
3．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　）
A．火星的质量
B．火星的质量
C．火星表面的重力加速度的大小
D．火星表面的重力加速度的大小
4．如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a未发射在地球赤道上随地球一起转动，b为近地轨道卫星，c为地球同步卫星，d为高空探测卫星，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则下列关于四卫星的说法正确的是（　　）
A．a卫星的向心加速度等于重力加速度g
B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积
C．c、d卫星轨道半径的三次方与周期的平方之比相等
D．b卫星的运行周期大于a卫星的运行周期
5．“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　）
A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小
6．我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（　　）
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
7．2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（ ）
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
9．2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　）
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
10．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为R，质量分布均匀，不断自转的球体。“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T。“祝融号”与着陆器总质量为m，假如登陆后运动到火星赤道，静止时对水平地面压力大小为F，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．火星自转角速度大小为
B．火星自转角速度大小为
C．火星的质量为
D．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度
11．2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第55颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成。北斗卫星导航系统由不同轨道的卫星构成，其中北斗导航系统第41颗卫星为地球同步轨道卫星，它的轨道半径约为 4.2×107m。第44颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，运行周期等于地球的自转周期24h。两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知引力常量 G=6.67×10-11N·m2/kg2。下列说法中不正确的是（　　）
A．两种同步卫星的轨道半径大小相等
B．两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C．根据题目数据可估算出地球的平均密度
D．地球同步轨道卫星的向心加速度大小大于赤道上随地球一起自转的物体的向心加速度大小
12．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”；当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知太阳系八大行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，某颗小行星轨道半径为（为天文单位）。下列说法正确的是（　　）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星会发生冲日现象
B．木星会发生凌日现象
C．火星相邻两次冲日的时间间隔最短
D．小行星相邻两次冲日时间间隔约为1.1年
13．2021年10月16日神舟十三号搭载着三位中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富进入太空，经历了创纪录的在轨183天，终于在2022年4月16日结束了漫长的太空飞行，返回祖国大地。已知中国空间站离地高度为地球半径的，地球表面重力加速度为，地球半径为，则下列说法错误的是（　　）
A．航天员在空间站内处于完全失重状态
B．中国空间站的绕行速度大于地球赤道表面物体的速度
C．中国空间站的角速度为
D．中国空间站的周期为
14．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　）
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
15．科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A． B． C． D．
16．“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
17．图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示，双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比，则（　　）
A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为
B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为
C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为
D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为
18．2007年10月24日18时05分，长征三号甲运载火箭托举着“嫦娥一号”卫星顺利升空，开始了中国人的探月之旅。通过适时变轨，使“嫦娥一号”先后经历16 h、24 h和48h轨道，于10月31日将“嫦娥一号”加速至10.58km/s后进入地月转移轨道。11月2日在“嫦娥一号”奔向月球的过程中，对卫星飞行航向实施了一次必要的修正。11月5日，对“嫦娥一号”卫星第一次实施成功的减速，使它成为真正的绕月卫星，之后又经过适时的减速，经3.5 h轨道过渡到周期约为2 h的工作轨道上。“嫦娥一号”奔月整个过程的轨道变化情况示意图如图所示，对于“嫦娥一号”卫星的运动过程，下列说法中正确的是（　　）
A．“嫦娥一号”卫星每次运动到绕地轨道近地点和绕月轨道近月点时都需要加速
B．“嫦娥一号”卫星在绕地球运行的轨道上进行最后一次加速后进入地月转移轨道，并在地月转移轨道途中对卫星飞行航向实施了必要的修正
C．“嫦娥一号”卫星在绕地轨道远地点时一定进行过变轨
D．“嫦娥一号”卫星在月球附近至少需要经历三次减速，才能使“嫦娥一号”卫星进入绕月球飞行的工作轨道
19．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（　　）
A． B． C． D．
20．在万有引力定律的学习中，月—地检验的内容是这样说的：地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果（如图所示）的吸引力也是同一种性质的力吗？假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度（式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离）。进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度（式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间的距离）。由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以。下列哪些数据能通过计算验证前面的假设。（　　）
A．月球的质量7.342×1022kg
B．自由落体加速度g为9.8m/s2
C．月球公转周期为27.3d，约2.36×106s
D．月球中心距离地球中心的距离为3.8×108m
21．2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的（　　）
A．半径比 B．质量比
C．自转角速度比 D．公转轨道半径比
22．我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
23．2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　）
A．火星的平均密度是月球的倍
B．火星的第一宇宙速度是月球的倍
C．火星的重力加速度大小是月球表面的倍
D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的倍
24．嫦娥五号是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，若嫦娥五号贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动时的运行周期为T，月球可视为球体，月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转，则根据以上信息可以求出的物理量是（　　）
A．嫦娥五号的质量
B．嫦娥五号绕月球运行的线速度大小
C．月球表面的重力加速度大小
D．嫦娥五号和月球间的万有引力大小
25．近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为RA、RB、RC，下列说法正确的是（　　）
A．若三颗星体质量关系有mA＝mB＝mC，则三颗星体运动轨迹圆为同一个
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有RA＜RB＜RC，则三颗星体质量大小关系为mA＜mB＜mC
C．F1、F2、F3的矢量和一定为0，与星体质量无关
D．a1、a2、a3的矢量和一定为0，与星体质量无关
26．2018年5月21日5时28分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭成功发射，并于25日21时46分成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日 L2点的转移轨道。当“鹊桥”位于拉格朗日点（如图中的 L1、L2、L3所示，人们称为地月系统拉格朗日点）上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，由于月球受潮汐锁定，永远只有一面对着地球，所以人们在地球上无法见到它的背面，于是“鹊桥”就成为地球和嫦娥四号之间传递信息的“信使”，由以上信息可以判断下列说法正确的是（　　）
A．地球同步卫星轨道应在月球与拉格朗日点L2之间绕地球运行
B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度小于月球绕地球运动的向心加速度
C．L2到地球中心的距离一定大于L3到地球中心的距离
D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在L1和L3两个点都要大
27．“天问一号”火星探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发射到火星，地球轨道和火星轨道近似看成圆形轨道，霍曼转移轨道是一个在近日点M和远日点P分别与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示）。“天问一号”在近日点短暂点火后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为G，太阳质量为m，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是。（　　）
A．两次点火喷射方向都与速度方向相反
B．“天问一号”在霍曼转移轨道上P点的加速度比在火星轨道上P点的加速度小
C．两次点火之间的时间间隔为
D．“天问一号”在地球轨道上的角速度小于在火星轨道上的角速度
28．如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　）
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
29．两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年。假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（　　）
A．与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．在P点与Q点的速度大小之比
D．在P点与Q点的加速度大小之比
30．如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角，两角最大值分别为、。则（　　）
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为
D．水星与金星的公转线速度之比为
三、实验题
31．（1）某物理小组的同学设计了一个粗制玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为）。
完成下列填空：
①将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘秤的示数为1.00kg；
②将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该示数为 kg；
③将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
序号 1 2 3 4 5
m（kg） 1.80 1.75 1.85 1.75 1.90
④根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为 N；小车通过最低点时的速度大小为 m/s。（重力加速度大小取，计算结果保留2位有效数字）
（2）一般宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器。
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的密度，宇航员在绕行中进行了一次测量，依据测量数据可以求出密度。
①绕行时测量所用的仪器为 （用仪器的字母序号表示），所测物理量为 （用文字说明和相应符号表示）。
②密度表达式： （万有引力常量为G）。
32．某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估测太阳半径，再利用万有引力定律估算太阳的密度，准备的器材有：①不透光圆筒，一端封上不透光的厚纸，其中心扎一小孔，另一端封上透光的薄纸（如图甲所示）；②毫米刻度尺。某次实验中该组同学绘出了太阳通过小孔成像的光路图（如图乙所示），图中CD线段表示太阳的直径，AB线段表示太阳的像。已知地球绕太阳公转的周期为T，万有引力常量为G。则：
（1）为估算太阳的密度，实验中需要测量的物理量是图乙中的： 和
（2） 设太阳到地球的距离为r，根据小孔成像原理估测太阳半径的表达式为：R= ：
（3） 由本实验中所测量的物理量，推算出的太阳密度的表达式为：= 。
四、解答题
33．一宇宙飞船绕质量为M的行星做匀速圆周运动，运动的轨道半径为r，已知引力常量为G，行星的半径为R。求：
（1）飞船绕行星做圆周运动的线速度v；
（2）飞船绕行星做圆周运动的周期T；
（3）行星表面的重力加速度g
34．宇航员站在一星球表面h高处，以初速v0度沿水平方向抛出一个小球，球落到星球表面的水平射程为s，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g0；
（2）该星球的质量M。
35．北京时间2022年6月5日，神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，6月6号航天员陈东、刘洋、蔡旭哲顺利进入天和核心舱。三位航天员承接着空间站的在轨建造任务，将在轨工作6个月。已知地球半径为R，空间站距离地面高度为h，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，求：
（1）地球的平均密度；
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期；
（3）若已知空间站的高度，同步卫星距离地面的高度为空间站高度90倍，试计算空间站的运行周期约为多少小时？（已知地球自转周期为24小时）
36．某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。
（1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？
（2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？
37．航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）线的拉力；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）该星球近地绕行卫星的线速度大小；
（4）该星球的密度。
38．如图所示，宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不考虑地球公转的影响。求：
（1）飞船运行的高度h；
（2）飞船绕地球一周经历“日全食”过程的时间t。
39．一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
五、填空题
40．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a= ，线速度v= 。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【详解】AC．第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据，最终得出了行星的运动规律，故AC错误；
B．牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验比较准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许，卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故B正确；
D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。
故选B。
2．D
【详解】A．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，根据开普勒第二定律可知，离太阳越远，运行速率越小，故A错误；
B．万有引力定律适用于可以视为质点的两个物体，当两物体间的距离趋近于零时，不再适用，故B错误；
C．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故C错误；
D．若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体脱离了地球的束缚，但没有脱离太阳的束缚，故物体可绕太阳运行，故D正确。
故选D。
3．A
【详解】AB．设“天问一号”的质量为，万有引力提供向心力，有
得
故A正确，B错误；
CD．不考虑火星自转，则万有引力提供重力，有
将代入可得
故CD错误。
故选A。
4．C
【详解】A．设地球质量为，地球半径为，对于a卫星有
所以
A错误；
B．根据牛顿第二定律得
卫星与地心连线单位时间扫过的面积为
联立解得
两卫星半径不同，所以扫过的面积不同，B错误；
C．根据开普勒第三定律，c、d卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得
解得
可知b卫星的运行周期小于c卫星的运行周期，又因为c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，故b卫星的运行周期小于a卫星的运行周期，D错误。
故选C。
5．D
【详解】由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期
C．根据可得
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；
A．根据可得
结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；
B．根据可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；
D．根据可得
可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。
故选D。
6．B
【详解】AB．第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误B正确；
CD．根据
可知
因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项CD错误。
故选B。
7．C
【详解】地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有
解得公转的线速度大小为
其中中心天体的质量之比为2:1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，故选C。
8．C
【详解】A．组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；
B．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；
C．已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有
由于T同 > T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；
D．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有
整理有
由于T同 > T组合体，则r同 > r组合体，且同步卫星和组合体在天上有
则有
a同 < a组合体
D错误。
故选C。
9．C
【详解】ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；
D．根据万有引力公式
可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
故选C。
10．B
【详解】A．由题知，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T，可得“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动角速度为
故A错误；
B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
解得火星质量为
当“祝融号”与着陆器登陆后运动到火星赤道，并静止，则有
联立解得
故B正确；
C．若不考虑火星自转的影响，则有
解得火星的质量为
由题可知，火星的自转不可忽略，故火星的质量不等于，故C错误；
D．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周，由万有引力提供向心力，则有
解得
在火星赤道上随火星自转的物体，则有
解得
故D错误。
故选B。
11．C
【详解】A．同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
解得
同步卫星的周期与地球自转周期相同，所以两种同步卫星的轨道半径大小相等，故A正确，不符合题意；
B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度。所以地球同步卫星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确，不符合题意；
C．已知同步卫星的轨道半径与周期，由
可以求出地球的质量，但由于不知道地球的半径，所以不能求出地球的密度，故C错误，符合题意；
D．同步卫星与赤道上的物体具有相同的周期和角速度，根据公式得同步卫星的向心加速度比静止在赤道上物体的向心加速度大，故D正确，不符合题意。
故选C。
12．D
【详解】AB．行星处在太阳与地球之间，三者排列成一条直线时会发生凌日现象，由此可知：只有位于地球和太阳之间的行星水星和金星才能发生凌日现象；地球在绕日运行过程中处在太阳与行星之间，三者排列成一条直线时会发生冲日现象，所只有位于地球公转轨道之外的行星才会发生冲日现象，所以金星会发生凌日现象，木星会发生冲日现象，故AB错误；
C．地球公转周期为年，地外行星的公转周期为，如果两次行星冲日时间间隔为年，则地球多转动一周，有
解得
故地外行星中，火星距地球最近，其公转周期最小，所以火星相邻两次冲日的时间间隔最长，故C错误；
D．若地球的公转轨道半径为，则小行星的公转轨道半径为，公转周期为，根据开普勒第三定律可得
解得
年
由此可得：两次冲日现象的时间间隔
年年
故D正确。
故选D。
13．C
【详解】A．航天员在空间站内随空间站做匀速圆周运动，自身重力提供向心力，处于完全失重状态。故A正确，与题意不符；
B．根据
解得
可知，空间站的绕行速度大于地球同步卫星的绕行速度，根据
可知，地球同步卫星的绕行速度大于地球赤道表面物体的速度，易知中国空间站的绕行速度大于地球赤道表面物体的速度。故B正确，与题意不符；
CD．根据
又
解得
故C错误，与题意相符；D正确，与题意不符。
本题选错误的故选C。
14．C
【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；
B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由
可得
可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误；
故选C。
15．B
【详解】由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半长轴r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
根据开普勒第三定律，S2绕黑洞以半长轴绕椭圆运动，等效于以绕黑洞做圆周运动，而S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
16．C
【详解】地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得
解得
根据题意可知，卫星的运行周期为
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有
联立解得
故选C。
17．AC
【详解】AC．由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，故有
解得
故AC正确；
B．由于二者由万有引力提供向心力，故二者圆周运动的向心力之比为，故B错误；
D．由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为，故D错误。
故选AC。
18．BCD
【详解】A．每次运动到绕地轨道近地点时都需要加速，绕月轨道近月点时都需要减速，A错误；
B．由题目中，于10月31日将“嫦娥一号”加速至10.58km/s后进入地月转移轨道。11月2日在“嫦娥一号”奔向月球的过程中，对卫星飞行航向实施了一次必要的修正，B正确；
C．“嫦娥一号”卫星在绕地轨道远地点时，万有引力大于向心力，故此时需要变轨进入近地轨道，C正确；
D．由题目中，11月5日，对“嫦娥一号”卫星第一次实施成功的减速，使它成为真正的绕月卫星，之后又经过适时的减速，经3.5 h轨道过渡到周期约为2 h的工作轨道上，在2h轨道上，需要匀速圆周运动，也需要减速一次，D正确。
故选BCD。
19．BC
【详解】AB．设地球赤道上有一质量为m的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动，则物体与地球之间的万有引力提供自转所需的向心力，则有
解得
A错误，B正确；
CD．在地球北极表面附近有
则有
GM=gR2
解得
C正确，D错误。
故选BC。
20．BCD
【详解】根据题意可知，对月球
在运算中需要月球公转周期、月球中心距离地球中心的距离。对于地表
需要自由落体加速度g，不需要月球质量。
故选BCD。
21．AB
【详解】A．探测器在近火星轨道和近地轨道做圆周运动，根据
可知
若已知探测器在近火星轨道和近地轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近火星轨道和近地轨道运行，轨道半径近似等于火星和地球的半径比，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力有
可得
结合A选项分析可知可以求得火星和地球的质量之比，故B正确
C．由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度之比；故C错误；
D．由于题目中我们只能求出火星和地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星和地球的公转半径之比，故D错误。
故选AB。
22．BD
【详解】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误；
B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为
故B正确；
C．设空间站的质量为，其所受万有引力提供向心力，有
则地球的平均密度约为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，有
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
地表的重力加速度为
可得
即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，故D正确。
故选BD。
23．AD
【详解】A．根据密度的定义有
体积
可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为
即火星的平均密度是月球的倍，故A正确；
BC．由
可知火星的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为
即火星的重力加速度是月球表面的重力加速度的，由
可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
故BC错误；
D．由万有引力定律
可知火星对“祝融号”引力大小与月球对“玉兔二号”引力大小之比为
即火星对“祝融号”引力大小是月球对“玉兔二号”引力大小的倍，故D正确。
故选AD。
24．BC
【详解】A．由万有引力定律有
可求出月球的质量M，再由黄金代换可求出月球表面的重力加速度大小，但无法求出嫦娥五号的质量，故A错误，C正确；
B．由题可知，嫦娥五号绕月球运行的线速度大小为，故B正确；
D．嫦娥五号的质量未知，无法求出嫦娥五号和月球间的万有引力大小，故D错误。
故选BC。
25．AC
【详解】A．若三个星体质量相等，则根据对称性可知，三个星体所受的万有引力大小均相同，在角速度都相等的情况下，轨迹半径也相等，故三颗星体运动轨迹圆为同一个，故A正确；
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有
RA＜RB＜RC
而因为三颗星体的角速度相等，则万有引力的大小关系为
FA＜FB＜FC
根据对称性可知
mA＞mB＞mC
故B错误；
CD．根据万有引力定律可知
F1＝FBA+FCA
同理可得
F2＝FAB+FCB；F3＝FAC+FBC
（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则
F1+F2+F3＝FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC＝0
而
当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C正确，D错误；
故选AC。
26．CD
【详解】A．月球绕地球周期为27天，同步卫星周期为1天，根据开普勒第三定律可知月球半径大于同步卫星半径，故同步卫星轨道应该在地球与月球之间，故A错误；
B．根据
可知，角速度相同，“鹊桥”位于L2点时，半径较大向心加速度较大，故B错误；
C．如果两点到地球距离相等，位于L2时合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离一定大于L3到地球中心的距离，故C正确；
D．“鹊桥”在L2点离地球最远，根据
可知，受到的合力最大，故D正确。
故选D。
27．AC
【详解】A．两次点火都是从低轨道向高轨道转移，需要加速，所以喷气方向与运动方向相反，故A正确；
B．在P点受到的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知加速度大小相等。故B错误；
C．探测器在地球轨道上由万有引力提供向心力有
由开普勒第三定律得
两次点火之间的时间为
联立，可得
故C正确；
D．由万有引力提供向心力有
解得
因为“天问一号”在地球轨道上的半径小于在火星轨道上的半径，所以“天问一号”在地球轨道上的角速度大于在火星轨道上的角速度。故D错误。
故选AC。
28．CD
【详解】A．由题意根据开普勒第三定律可知
火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得
故A错误；
BC．根据
可得
由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；
D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
故选CD。
29．BCD
【详解】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率
且由题知，Q与O的距离约为，即
由此可得出a与c，由于是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；
B．根据开普勒第三定律有
式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对是围绕致密天体运动有
对地球围绕太阳运动有
两式相比，可得
因的半长轴a、周期，日地之间的距离，地球围绕太阳运动的周期都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；
C．根据开普勒第二定律有
解得
因a、c已求出，故可以求出在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；
D．不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有
解得
因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得
因a、c已求出，故在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。
故选BCD。
30．BC
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有
可得
因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；
C．设水星的公转半径为，地球的公转半径为，当α角最大时有
同理可知有
所以水星与金星的公转半径之比为
故C正确；
D．根据
可得
结合前面的分析可得
故D错误；
故选BC。
31． 1.40 7.9 1.4 B 周期T
【详解】(1)②[1]根据秤盘指针可知量程为10kg，分度值为0.1kg，要估读一位，则示数为1.40kg；
④[2]记录的托盘示数的平均值为
所以小车经过凹桥最低点时小车对桥的压力为
[3]由题可知小车的质量为
由牛顿第二定律可得
可得
(2)①[4][5]由
可得该行星的密度
所以为测定该行星的密度，需要秒表测量飞船做圆周运动的周期，即选B；
②[6]由上可知，该行星的密度为
32． 太阳像的直径d 圆筒长为L
【详解】（1）[1][2]为了要测定太阳的密度，还需要测量太阳像的直径d和圆筒长为L。（分析如下）
（2）[3]设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r，由成像光路可知
则
解得
（3）[4]地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，则
体积
由密度公式
联立解得
则为了要测定太阳的密度，还需要测量太阳像的直径d和圆筒长为L。
33．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）绕行星运动的宇宙飞船，万有引力提供向心力，所以
解得
（2）绕行星运动的宇宙飞船
解得
（3）在行星表面
解得
34．（1）；（2）
【详解】（1）近似认为小球受到万有引力恒定，由星球表面物体受到的重力等于万有引力可知小球只受重力作用，故小球做平抛运动，由平抛运动规律可得
，
所以，该星球表面的重力加速度为
（2）由星球表面物体受到的重力等于万有引力可得
所以，该星球的质量为
35．（1）；（2）；（3）1.5小时
【详解】（1）假设地球表面一质量为m的物体，其受到的万有引力等于重力，所以有
解得地球质量为
则地球的平均密度为
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，所以有
解得周期为
（3）设一物体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，所以有
则通过公式可以得出，不同轨道半径的物体绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径与周期的关系满足
则根据题意可知，空间站与同步卫星的轨道半径分别为
所以可以得到空间站的周期为
36．（1）10m；（2）
【详解】（1）设星球质量为M1地球质量为M，半径为R1和R2
在星球体表面做平抛运动，则
，
设在星球和地球平抛水平位移分别为和，得
故
代入值解得
=10m
（2）起飞前
高h处时根据牛顿第二定律得
带入得
根据万有引力提供重力
可得
，
37．（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）小球在水平面内匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
（2）小球竖直方向受力平衡，有
解得
（3）根据星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力以及牛顿第二定律可知
解得该星球近地绕行卫星的线速度大小
（4）星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力，有
又星球质量
解得星球密度
38．（1）；（2）
【详解】（1）几何关系
飞船高度
解得
（2）飞船绕地球做圆周运动
每次“日全食”对应的圆心角
又
解得
39．（1），；（2）
【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有
⑤
⑥
式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。
40．
【详解】[1]根据万有引力提供向心力，有
可得
[2]根据万有引力提供向心力，有
解得
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第五章 抛体运动
一．曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的________方向；
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是____运动；
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动。
3．做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向___________________
(2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向___________________
二．曲线运动的动力学特征
1．受力特点
(1)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(2)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
2．合力方向与速度方向夹角对运动的影响
(1)若为_________，物体速度增大；
(2)若为_________，物体速度减小；
(3)若为_________，合力只改变速度的方向不改变速度的大小。
三．运动的合成与分解
1．合运动与分运动的性质
等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
2．小船过河
(1)渡河时间
渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度________
渡河时间为（为河宽）
(2)渡河位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝_________，如图所示
若v船3．绳(杆)速度关联问题
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
四．平抛运动
1．条件：初速度水平且不为零，运动过程中只受重力．
2．研究方法：运动的合成与分解
① 位移特点
水平方向做匀速直线运动
竖直方向做匀加速直线运动（自由落体）
② 速度特点
物体运动到点时，速度与水平方向的偏转角
末速度的反向延长线必过水平位移的中点
③ 实际位移与水平位移的夹角
五．平抛运动和几何体结合
1．与斜面结合
① 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，即已知速度的方向垂直于斜面
几何关系
② 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下
结合关系
2．与弧面结合
① 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
几何关系
② 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
几何关系
③ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
几何关系
六．斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．研究方法：运动的合成与分解
水平方向，位移关系为
速度关系为
竖直方向，位移关系为
速度关系为
曲线运动的运动学特征：
1.曲线运动一定是变速运动；
2.曲线轨迹上某点的速度方向沿该点的切线方向。
【例题】
1．关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是（　　）
A．运动的速率一定发生变化 B．运动的加速度一定发生变化
C．运动的速度随时间一定是非均匀变化 D．受到的合力可能恒定不变
【练习题】
2．物体的运动轨迹为曲线的运动称为曲线运动。关于质点做曲线运动，下列说法中正确的是（　　）
A．有些曲线运动也可能是匀速运动
B．质点做某些曲线运动，其加速度是可以不变的
C．曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动也一定是曲线运动
D．质点做曲线运动过程中某个时刻所受合力方向与速度方向也有可能相同
3．由网球运动员在边界处正上方水平向右击出的网球在空中的运动轨迹如图所示，O、P、Q为轨迹上的三点，OP、PQ为两点连线，MN为曲线在P点的切线，网球在运动过程中可视为质点，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．网球做变加速运动，在P点的速度方向沿OP方向
B．网球做变加速运动，在P点的速度方向沿PN方向
C．网球做匀变速运动，在P点的速度方向沿PN方向
D．网球做匀变速运动，在P点的速度方向沿PQ方向
曲线运动的动力特征：
1.曲线运动所受合外力与速度方向不共线；
2.曲线运动所受合外力指向轨迹的凹侧；
3.曲线运动的速度增减取决于所受合外力与速度的夹角关系。
【例题】
4．如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【练习题】
5．汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风突然停止，则其运动的轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【易错题小练】
7．物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图如图所示。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是（　　）
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点，加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
小船渡河的两个限制条件：
1.船速大于水速；
2.船速小于水速。
小船渡河的两个基本问题：
1.渡河的最短时间；
2.渡河的最小位移。
【例题】
8．某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练．如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10 m/s。现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是（　　）
A．第一个过程快艇的出发点位于M点左侧8 m处
B．第一个过程所用的时间约为1.17 s
C．第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸
D．第二个过程所用的时间为2 s
【练习题】
9．如图，甲、乙两只小船同时从A点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游的夹角为，乙船船头与河岸下游的夹角为，水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为（　　）
A． B． C． D．
10．跑马射箭是民族马术中的一个比赛项目，如图甲所示，运动员需骑马在直线跑道上奔跑，弯弓射箭，射击侧方的固定靶标，该过程可简化为如图乙（俯视图）所示的物理模型：假设运动员骑马以大小为的速度沿直线跑道匀速奔驰，其轨迹所在直线与靶心的水平距离为。运动员应在合适的位置将箭水平射出，若运动员静止时射出的弓箭速度大小为（大于），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．运动员应瞄准靶心放箭
B．要击中侧向的固定目标，箭在空中运动的合速度大小一定是
C．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为
D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，箭射中靶心的时间为
关联速度求解的关键点：
1.确定合运动的方向以及关联的结点；
2.沿绳或杆建立直角坐标系，分解合速度；
3.根据运动效果根据平行四边形定则建立速度的矢量关系。
【例题】
11．如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时（　　）
A．橡胶球的竖直速度为
B．橡胶球处于失重状态
C．橡胶球的竖直速度为
D．橡胶球始终处于平衡状态
【练习题】
12．如图所示，当小车A以速度v向左匀速运动时，对于物体B，下列说法正确的是（　　）
A．物体B也做匀速运动
B．物体B做加速运动
C．物体B受到的拉力小于其所受的重力
D．物体B受到的拉力等于其所受的重力
13．如图，汽车从静止开始通过缆绳将质量为m的货物从A处沿光滑斜面拉到B处，此过程中货物上升高度为h，到B处时定滑轮右侧缆绳与水平方向间的夹角为θ，左侧缆绳与斜面间的夹角为2θ，汽车的速度大小为v，此时货物的速度大小为（　　）
A．v B．v C．v D．v
14．甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右运动，对于两球的运动，下列说法正确的是（　　）
A．乙球距离起点3m时，甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．乙球距离起点3m时，甲、乙两球的速度大小之比为3∶
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
平抛运动的基本性质：
1.水平方向上做匀速直线运动；
2.竖直方向上初速度为0，只受重力，做匀加速直线运动（自由落体）。
研究平抛运动的方法：利用合运动与分运动的等时性进行运动的合成与分解。
【例题】
15．某人投掷飞镖，他站在投镖线上从同一点C水平抛出多个飞镖，结果以初速度投出的飞镖打在A点，以初速度投出的飞镖打在B点，始终没有打在竖直标靶中心O点，如图所示。为了能把飞镖打在标靶中心O点，则他可能做出的调整为（　　）
A．保持初速度不变，升高抛出点C的高度
B．保持初速度不变，升高抛出点C的高度
C．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比大些
D．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比小些
【练习题】
16．某人投掷飞镖，他站在投镖线上从同一点C水平抛出多个飞镖，结果以初速度投出的飞镖打在A点，以初速度投出的飞镖打在B点，始终没有打在竖直标靶中心O点，如图所示。为了能把飞镖打在标靶中心O点，则他可能做出的调整为（　　）
A．保持初速度不变，升高抛出点C的高度
B．保持初速度不变，升高抛出点C的高度
C．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比大些
D．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比小些
17．如图三个小球做平抛运动，b、c抛出点相同且高于a，下列说法正确的是（　　）
A．a球飞行的时间最长 B．b球飞行时间最长
C．a球飞行速度最快 D．c球飞行速度最快
平抛运动与几何模型结合题目求解的关键点：
1.应用运动学公式书写求解分解速度或位移的方程；
2.结合几何体建立速度或位移的关系求解平抛运动的时间。
【例题】
18．如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度抛出时，经历时间后以恰好击中斜面A处（抛出点与A点的连线垂直于斜面）。当小球以速度3抛出时，经历时间后以恰好从B点沿圆弧切线进入圆轨道。则（　　）
A． B．
C． D．
【练习题】
19．从倾角的斜面上A、B位置分别以水平速度平抛两个小球，两个小球恰好都落在斜面上C点，如图所示。已知，则下列说法正确的是（　　）
A．从A、B位置抛出的小球在空中运动时间之比为
B．与距离之比为
C．从A、B位置抛出的小球，落到C点时的速度大小之比为
D．两球落到C点时速度方向相同
20．如图所示，OQ为一固定挡板，挡板与竖直方向夹角为，在挡板的两侧有等高的M、N两点，M点位于OP上某位置，从M点以不同的速度水平向右抛出可视为质点的小球，小球在挡板上砸到的最远处为图中的A点；挡板另一侧从N点水平向左抛出的小球也落在A点，此时小球的位移最小。已知O、A两点间间距为2m，重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从M点以不同速度抛出的小球砸到挡板的时间相同
B．从M点以不同速度抛出的小球在挡板上砸的痕迹长度为
C．从M点抛出落在A点的小球的初速度为
D．从N点抛出的小球的速度为
【易错题小练】
21．如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心．小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出，经时间小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
22．定点投篮时，第一次出手位置较高，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为60°；第二次出手位置较低，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为30°。已知两次出手的位置在同一竖直线上，结果篮球都正好垂直撞到篮板上的同一点P，如图所示。不计空气阻力，则前、后两次投出的篮球从出手到撞板的过程中（ ）
A．上升高度的比值为1：3 B．撞击篮板时的速率相等
C．运动时间的比值为 D．出手时的速率相等
类平抛运动的特点：
1.受力特点：物体所受的合力为恒力,且与初速度的方向垂直；
2.运动特点：在初速度方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。
【例题】
23．如图，倾角的光滑斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【练习题】
24．如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球a、b同时以相同的速率v0沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　）
A．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等
B．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍
C．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍
D．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍
平抛运动相关相遇问题求解的关键点：
1.相遇的含义为两个物体同一时刻处于同一位置；
2.平抛运动的下落时间由竖直方向的匀加速直线分运动决定。
【例题】
25．如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法不正确的是（　　）
A．甲同学比乙同学先将篮球抛出
B．两篮球相遇前，乙同学抛出的篮球在空中运动的时间短
C．若甲、乙同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方
D．若甲同学抛球时与乙同学高度相同，且同时抛出，落地前不一定能相遇
【练习题】
26．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球以初速度水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球以初速度竖直向上抛出。在上升到最高点时恰与球相遇，不计空气阻力。则在这个过程中，下列说法错误的是（　　）
A．两球均做匀变速运动
B．两球的速度变化量相等
C．相遇点在N点上方处
D．仅增大，两球将提前相遇
27．如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h（l、h均为定值）。现将A向右水平抛出的同时，B自由下落，不计空气阻力，则在A、B与地面发生第一次碰撞前（　　）
A．A、B一定能相碰 B．A、B有可能相碰
C．A、B一定不能相碰 D．若A的初速度大于，则A、B一定能相碰
解决斜抛运动的方法仍然是运动的合成与分解。以斜向上抛为例，质点在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上先做竖直上抛运动，后做自由落体运动，两段过程用时相等。
【例题】
28．喷淋装置将水沿不同方向喷出，其中A、B两个水珠的运动轨迹如图所示，不计空气阻力。由图可知（　　）
A．空中运动时间A水珠较长
B．最高点速度B水珠较大
C．落地速度B水珠较大
D．若两水珠同时喷出，则有可能在轨迹相交处相遇
【练习题】
29．某同学在高度h处以一定大小的速度v0抛出一小球，当其速度方向不同时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则最大射程为（　　）
A． B． C． D．
30．一个质量为m的质点以速度做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F的作用，其它的力不变，质点的速度先减小后增大，其最小值为。质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中（　　）
A．经历的时间为 B．经历的时间为
C．发生的位移为 D．发生的位移为
【易错题小练】
31．2022年8月雄雄大火吞噬了部分缙云山脉，在虎头山山顶局部复燃，消防官兵及时赶到，启动多个喷水口同时进行围堵式灭火，喷水口所处高度和口径都相同。其中两支喷水枪喷出的水在空中运动的轨迹甲和乙几乎在同一竖直面内，且最高点高度、落到失火处的高度均相同，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．水甲先到达失火处 B．水乙先达到失火处
C．水乙的水平射程更远 D．甲处喷水枪的出水速度更快
32．大型风洞是研发飞行器不可缺的重要设施，我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示，某次风洞实验中，风力大小和方向均恒定，一质量为m的轻质小球先后经过a、b两点，其中在a点的速度大小为3v，方向与ab连线成角；在b点的速度大小为4v，方向与ab连线成角。已知ab连线长为d，小球只受风力的作用，，。下列说法中正确的是（ ）
A．风力方向与ab连线夹角为 B．风力大小为
C．从a点运动到b点所用的时间为 D．小球的最小速度为2.4v
1.实验原理和方法
如图所示，在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3…，把线段OA1的长度记为l，则OA2＝2l，OA3＝3l，由A1、A2、A3…向下作垂线，与轨迹交点分别记为M1、M2、M3…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式y＝ax2(a是待定常量)，用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax2求出a，再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax2，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线。
2.计算平抛物体的初速度
方法1：抛出点O确定
利用公式x＝v0t和即可求出多个初速度最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度。
方法2：抛出点O不确定
①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，A到B与B到C的时间相等，设为T，如图所示
②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB.
③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得
【例题】
33．在“探究平抛运动的特点”的实验中，某同学采用如图甲所示的装置来获得平抛运动的轨迹。
（1）为得到小球做平抛运动的轨迹，需让小球多次沿同一轨道运动，并通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹。下面列出的一些操作要求，正确的是( )
A．使用密度大、体积小的钢球 B．使斜槽轨道末端切线水平
C．每次释放小球的位置可以不同 D．斜槽轨道必须光滑
（2）图乙是某同学描绘出的轨迹，试判断：A点是抛出点吗？ （填“是”或“否”）
（3）如图丙所示，某同学将白纸换成格纸，每个小方格的边长L=5cm，记录了小球在运动过程中的三个位置，则小球做平抛运动的初速度大小为 m/s；运动到B点时的速度大小为 m/s。（以上结果均保留两位有效数字）
34．我国对儿童玩具枪的弹丸的射出速度有严格要求。实验小组研究某款玩具枪是否符合规定。小组同学使玩具枪从O点射出弹丸，将弹丸离开枪口后的运动看作平抛运动，用照相机拍出弹丸的运动轨迹如图所示。A、B、C是小球平抛轨迹上三个不同时刻对应的位置，OM是水平线，MN是竖直线，OA、OB、OC的延长线与MN交点的间距分别为和。已知照片与实际大小的比例为，测得照片中，，A、B、C三点在水平方向的间距，。
（1）照片中的 。
（2）若取重力加速度大小，则弹丸从枪口射出的初速度大小为 。
（3）为了减小实验误差，请提出一条合理的建议： 。
【练习题】
35．三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
（1）甲同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明 。
（2）乙同学采用如图乙所示的装置，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看成与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使，从而保证小铁球P、Q在轨道末端的水平初速度相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是 。仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明 。
（3） 丙同学做实验时，忘记了标记平抛运动的抛出点O，只记录了A、B、C三点，于是就取A点为坐标原点，建立了如图丙所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。根据图中数据判断，A点 （填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。小球平抛的初速度为 m/s，小球抛出点的坐标为（ cm， cm）。（取，计算结果均保留两位有效数字）。
36．某学习小组为探究平抛运动的规律，使用小球、频闪仪、照相机、刻度尺等进行了如下实验。
①将小球以某初速度水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄；
②某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示，图中A处为小球抛出瞬间的影像，AB、BC之间各被删去了1个影像；
③经测量，AB、BC两线段的长度之比为a：b。
已知频闪仪每隔时间T发出一次闪光，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。
（1）AB、BC之间的水平距离理论上满足xAB xBC（填“大于”或“等于”或“小于”）；
（2）BC之间实际下落的竖直高度为 （用g、T表示）；
（3）小球抛出时的初速度大小为 （用g、T、a、b表示）。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】A．做曲线运动的物体，速度方向一定发生变化，速度大小可能不变，比如匀速圆周运动，故A错误；
BCD．做曲线运动的物体，受到了合力方向与速度方向不在同一直线上，但合力可以是恒力，比如平抛运动，所以加速度也可以是恒定不变的，速度随时间可以是均匀变化的，故D正确，BC错误。
故选D。
2．B
【详解】A．匀速运动是速度不变的运动，而曲线运动的速度时刻变化，故A错误；
B．质点做曲线运动，其速度方向沿轨迹的切线方向，方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零，但加速度可以保持不变，比如平抛运动，故B正确；
C．由于曲线运动的速度方向时刻改变，说明曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动，比如匀变速直线运动，故C错误；
D．质点所受合力方向与速度方向相同时，质点将做直线运动，故D错误。
故选B。
3．C
【详解】网球在空中运动时只受重力作用，根据牛顿第二定律可知网球的加速度为重力加速度g，故网球做匀变速运动，做曲线运动的网球在运动轨迹上某点的速度方向沿该点的切线方向，因此网球在P点的速度沿PN方向。
故选C。
4．A
【详解】质点做曲线运动时，速度方向为轨迹的切线方向，合外力的方向指向轨迹的凹向，即加速度指向轨迹的凹向，则选项A正确，BCD错误。
故选A。
5．C
【详解】做曲线运动的汽车受到的合力指向其运动轨迹弯曲的内侧，只有C正确。
故选C。
6．C
【详解】物体自由下落到某处突然受一恒定水平向右的风力，此时合力向右下方，则轨迹应向右弯曲，且拐弯点的切线方向应与速度方向相同，即竖直向下；风停止后，物体只受重力，即合力竖直向下，轨迹应向下弯曲，只有C符合题意。
故选C。
7．C
【详解】ACD．物体从A点到C点做匀变速曲线运动，到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则物体在A点的速度方向与加速度方向的夹角大于90°，在C点的加速度方向与速度方向的夹角小于90°，所以，从A点到C点，加速度与速度的夹角一直减小，速率先减小后增大，C点的速率比B点的速率大，故AD错误，C正确；
B．物体做匀变速曲线运动，加速度的大小和方向不变，所以物体经过C点时的加速度与A点的加速度相同，B错误。
故选C。
8．D
【详解】AB．快艇在水中一方面航行前进，另一方面随水流向右运动，当快艇的速度方向垂直于河岸时，到达目标靶的时间最短，所以到达目标靶所用时间
t＝＝1.5 s
快艇平行河岸向右的位移为
x＝v1t＝12 m
则出发点应位于M点左侧12 m处，选项AB错误；
C．第二个过程要求位移最小，因此快艇应垂直到达对岸，则船头应指向河岸的上游，C错误；
D．要使快艇由目标靶到达正对岸，快艇的位移为12 m，快艇的实际速度大小为
v＝＝6 m/s
所用的时间为
t′＝＝2s
D正确。
故选D。
9．C
【详解】两船同时到达对岸，则两船静水速度沿垂直两岸方向的分速度相等，即
得
故选C。
10．D
【详解】A．当箭射出的同时，箭也要参与沿跑道方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，则箭的合速度方向不会指向靶心，不会击中靶，选项A错误；
B．只有当箭射出时速度方向与直线跑道垂直时，箭在空中运动的合速度大小才是
要击中侧向的固定目标，只需箭的合速度方向指向靶心，箭射出时速度方向不一定要与直线跑道垂直，选项B错误；
C．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，则需箭射出时速度方向与直线跑道垂直，此时箭射中靶心的最短时间为
选项C错误；
D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，则箭的合速度方向垂直直线跑道，此时箭射中靶心的时间为
选项D正确。
故选D。
11．C
【详解】AC．由题意可知，线与光盘交点参与两个运动，一是逆着线的方向运动，二是垂直线的方向运动，则合运动的速度大小为v，如图所示
由数学三角函数关系，则有
而线的速度的方向，即为小球上升的速度大小，故C正确，A错误；
BD．根据可知，移动过程中，增大，则小球的速度变大，可知小球加速运动，加速度向上，处于超重状态，故BD错误。
故选C。
12．B
【详解】由图知，绳子与水平方向的夹角为，根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度
沿绳子方向的速度等于物体B的速度，运动的过程中，角减小，则增大，所以物体B加速上升，物体B的加速度方向向上，物体B处于超重状态，所以绳子的拉力大于物体B的重力。
故选B。
13．A
【详解】把绳子左、右两端点的实际速度分解为沿绳和垂直绳两个方向，如图所示：
把绳子左端点的实际速度分解为沿绳和垂直绳两个方向，有
v货=
把绳子右端点的实际速度分解为沿绳和垂直绳两个方向，有
v=
联立可得
v货=v
故选A。
14．BD
【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分速度为
v1
v2在沿杆方向的分速度为
而
乙球距离起点3m时，有
解得此时甲、乙两球的速度大小之比为
故A错误，B正确；
CD．当甲球即将落地时，θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
故选BD。
15．B
【详解】AB．由题意可知，飞镖A打的位置比靶心位置更高，所以为了能打中靶心，在保持初速度不变时，应该降低抛出点的高度；飞镖B打的位置比靶心位置更低，故在保持初速度不变时，要想打中靶心应该将抛出点的高度升高，故A错误，B正确；
CD．保持抛出点C位置不变时，飞镖做平抛运动的水平位移不变，则应该投出飞镖的初速度比小一些，使运动时间变大，竖直分位移增大；或投出飞镖的初速度比大一些，使运动时间变小，竖直位移也就会变小一些，从而打中靶心，故CD错误。
故选B。
16．B
【详解】AB．由题意可知，飞镖A打的位置比靶心位置更高，所以为了能打中靶心，在保持初速度不变时，应该降低抛出点的高度；飞镖B打的位置比靶心位置更低，故在保持初速度不变时，要想打中靶心应该将抛出点的高度升高，故A错误，B正确；
CD．保持抛出点C位置不变时，飞镖做平抛运动的水平位移不变，则应该投出飞镖的初速度比小一些，使运动时间变大，竖直分位移增大；或投出飞镖的初速度比大一些，使运动时间变小，竖直位移也就会变小一些，从而打中靶心，故CD错误。
故选B。
17．C
【详解】AB．由于物体做平抛运动，在竖直方向上有
由图可知
故a、b、c的运动时间关系为
故AB错误；
CD．在水平方向有
由图可知
则
故C正确，D错误。
故选C。
18．A
【详解】当击中斜面处时，竖直方向
水平方向
根据几何关系可得
解得
则
当小球恰好从B点沿圆弧切线进入圆轨道时，根据几何关系可得
联立可得
故选A。
19．AD
【详解】A．由于小球都做平抛运动落到斜面上，因此
解得
因此在空中运动的时间之比
故A正确；
B．由于
可知
故
故B错误；
C．竖直方向的速度
因此竖直分速度之比
水平速度之比
根据运动的合成可知，落到C点时速度大小之比
故C错误；
D．设落到C点时，速度与水平方向夹角为，则
可知
故D正确。
故选AD。
20．C
【详解】A．根据平抛运动竖直方向做自由落体运动，有
可知，当从M点以不同速度抛出小球时，小球到达挡板的位置不一样，则下落的高度不同，时间也不同，A错误；
B．从M点抛出的小球，当其运动轨迹与挡板相切时，落到挡板的位置距离O点最远，从N点水平向左抛出的小球也落在A点，此时小球的位移最小，则NA必定垂直于OA，作图如图所示
根据平抛运动的中点规律可知，为的中位线，则为OA的中点，则从M点以不同速度抛出的小球在挡板上砸的痕迹长度应小于
B错误；
C．对从M点抛出落在A点的小球，有
，
解得
C正确；
D．对从N点抛出的小球有
解得
D错误。
故选C。
21．A
【详解】设小球落点在D点，如图所示
根据题意，OD为半径，则根据平抛运动位移与水平方向夹角与速度与水平方向夹角关系有
有
CE=2OE
根据直角三角形，有
又因
联立解得
OC=OE=
故选A。
22．AD
【详解】A．两次投篮可视为逆向的平抛运动，假设位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α，则由推论tanα = 2tanθ可得
，
得
A正确；
B．由可得
则
所以撞击篮板时的速率不相等，B错误；
C．由x = vxt可得
C错误；
D．出手时的速率之比为
D正确。
故选AD。
23．A
【详解】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有
水平方向位移
解得
A正确，BCD错误。
故选A。
24．AC
【详解】A．当a球落到斜面上时
解得
此时a的位移
b的水平位移
沿斜面向下的位移
则b的位移
即a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等，选项A正确；
B．a球落到斜面上时，a球的速度大小
b球的速度大小
则a球落到斜面上时，a球的速度大小不等于b球速度大小的2倍，选项B错误；
C．因为，若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍，选项C正确；
D．根据
可知若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小不一定变为之前的2倍，选项D错误。
故选AC。
25．C
【详解】AB．根据
可知，平抛运动的高度决定时间，甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，两篮球在空中的P点相遇。可知，甲同学比乙同学先将篮球抛出，即甲同学抛出的篮球运动时间长，乙同学抛出的篮球运动时间短，故AB说法正确，不符合题意；
C．设抛出点的水平距离为x，且保持不变，则
若抛球的速度变为原来的2倍，则
且
说明两球运动时间变短，且时间差减小，即
则
说明相遇点在P点左上方，故C说法错误，符合题意；
D．两球抛出的高度和初速度未知，所以两球可能不会相遇，故D说法正确，符合题意。
故选C。
26．D
【详解】A．两个球的加速度都是重力加速度，加速度恒定，做的都是匀变速运动，故A正确，不符合题意；
B．由，可知它们速度的变化量相同，方向均竖直向下，故B正确，不符合题意；
C．S1球做平抛运动，竖直方向有
S2球做竖直上抛运动，则有
，
由题意得
解得
，
所以相遇点在N点上方处，故C正确，不符合题意；
D．由上述分析可知，两球相遇时间由h、v2决定，故两球若相遇水平距离需满足
故仅增大，两球将不会相遇，故D错误，符合题意。
故选D。
27．BD
【详解】ABC．根据题意A球做平抛运动，B球做自由落体运动，因此同一时刻两球始终处于同一高度。当B球落地时，若此时A球的水平位移等于l，则两球刚好在落地时相撞；若A球的水平位移大于l，则两球在没有着地前已经相碰；若A球的水平位移小于l，则两球不能相碰。故AC错误，B正确。
D．若A、B能相碰，则A球在B球落地时的水平位移大于等于l，因此有
解得
故D正确。
故选BD。
28．AB
【详解】A．抛体运动中，将运动分解到水平方向和竖直方向，在竖直方向上，上升的高度越大，竖直分速度越大，运动时间越长，可知A水珠在空中运动的时间较长，A正确；
B．抛体运动在水平方向上做匀速运动，根据
由于水珠B运动的时间短而射程远，因此B的水平分速度较大，即在最高点速度B水珠速度较大，B正确；
C．落地时A的竖直分速度较大，而B的水平分速度较大，因此无法比较两者落地时合速度的大小关系，C错误；
D．由于水平分速度和竖直分速度不同，运动到交点的时间不同，若两水珠同时喷出，则不可能在轨迹相交处相遇，D错误。
故选AB。
29．D
【详解】小球斜抛过程的轨迹如图所示
对初速度进行分解，水平方向
竖直方向
则水平射程为
竖直方向落地时
联立消去解得
则
当满足
时x有最大值
即
故选D。
30．BC
【详解】由分析可知，恒力方向必定与最小速度的方向垂直，令初速度与速度最小值之间的夹角为θ，则有
解得
根据牛顿第二定律定律有
垂直速度最小值方向上质点做匀变速直线运动，从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中有
沿速度最小值方向上做匀速直线运动，则有
发生的位移为
解得
，
故选BC。
31．C
【详解】A．水喷出后做斜抛运动，在竖直方向做竖直上抛运动，因为两个喷水口高度相同，且两条水柱的轨迹最高点相同，根据竖直上抛运动规律可知水喷出时的竖直分速度相等，又因为最终两条水柱在竖直方向的位移相同，且加速度都等于重力加速度，所以在空中运动时间相同，即水甲、乙同时到达失火处，故AB错误；
C．由图并根据斜抛运动的对称性可知水乙的水平射程更远，故C正确；
D．设甲、乙两处喷水枪方向与水平方向的夹角分别为α和β，水喷出时的初速度大小分别为v甲和v乙，根据A项分析可知
由图可知，所以
故D错误。
故选C。
32．AD
【详解】A．小球只受风力作用，则垂直风力方向的速度不变，设风力方向与ab夹角为θ，则
解得
θ=74°
选项A正确；
C．从a点运动到b点沿ab方向的平均速度
所用的时间为
选项C错误；
B．从a点运动到b点加速度
则风力大小
选项B错误；
D．当小球沿风力方向的速度最小时，小球的速度最小，此时小球的最小速度为
选项D正确。
故选AD。
33． AB 否 1.5 2.5
【详解】（1）[1]A．为了减小实验的误差，小球使用密度较大、体积小的钢球，故A正确；
BCD．实验时为了保证初速度相同，每次让小球从同一高度由静止释放，为了保证小球的初速度水平，则斜槽的末端需切线保持水平，斜槽轨道不需要必须光滑，故B正确，CD错误；
故选AB。
（2）[2]若以A点为抛出点，根据平抛运动的规律，竖直方向是自由落体，则竖直位移比满足1：3：5，由图可知
hAB：hBC=20：（50-20）=2:3
不满足1：3，所以A点不可能是抛出点；
（3）[3]由图可知物体从A到B和由B到C的水平位移相同，故时间相同，则有
Δy=gt2=2L
代入数据解得
t=0.1s
小球做平抛运动的初速度大小为
[4]竖直方向自由落体运动，根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度有
运动到B点时的速度大小为
34． 2.0 弹丸的质量大一些，体积小一些（在无风的情况下测量、多次测量求平均值等）
【详解】（1）[1]设O点和轨迹点的连线的延长线与的交点到M点的距离为y，则O点和轨迹点的连线的延长线与的夹角的正切值
由于照片与实际大小的比例为，因此
即该投影点是匀速下降的。由于从A点到B点、从B点到C点的水平位移大小之比为1:2，因此运动的时间之比也为1:2，可得
（2）[2]投影点是匀速下降的，根据
可知，投影点是匀速下降的，速度大小为
又由于
，
解得弹丸从枪口射出的初速度大小
（3）[3] 实验误差主要来源于空气阻力与测量时读数产生的误差，因此为了减小空气阻力的影响，弹丸的质量大一些，体积小一些，或在无风的情况下测量，为了减小测量时读数的误差，可以多次测量求平均值等。
35． 平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动 P球击中Q球 平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动 不是 1.5
【详解】（1）[1]用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明两球在竖直方向具有相同的运动规律，则平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。
（2）[2]现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是：P球击中Q球；
[3]仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明两球在水平方向具有相同的运动规律，则平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动。
（3）[4][5]由丙图可知
则小球从A到B所用时间与B到C所用时间相等，设小球A点的竖直分速度为，从A到B过程，竖直方向有
从A到C过程，竖直方向有
联立解得
，
由于A点的竖直分速度不为零，可知A点不是平抛运动的抛出点；小球平抛的初速度为
[6][7]从抛出点到A点所用时间为
则抛出点与A点的水平距离为
抛出点与A点的竖直距离为
故小球抛出点的坐标为（，）。
36． 等于 6gT2
【详解】（1）[1]由于小球在水平方向做匀速直线运动则AB、BC之间的水平距离理论上满足xAB等于xBC。
（2）[2]已知每相邻两个球之间被删去1个影像，故相邻两球的时间间隔为
t = 2T
又因为小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，则AB之间的竖直位移为
AC之间的竖直位移为
则BC之间的竖直位移为
hAC - hAB = 6gT2
（3）[3]由于小球在水平方向做匀速直线运动，则
xAB = xBC = 2v0T
则
且
LAB：LBC = a：b
联立有
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第五章 抛体运动综合练习
一、单选题
1．关于曲线运动的叙述正确的是（　　）
A．曲线运动一定都是变速运动
B．做曲线运动的物体，速度方向时刻变化，故曲线运动不可能是匀变速运动
C．物体在一个恒力作用下一定做曲线运动
D．物体只有受到方向时刻变化的力的作用下才可能做曲线运动
2．某质点从A点沿图中的曲线运动到B点，质点受力的大小为F。经过B点后，若力的方向突然变为与原来相反，它从B点开始可能沿图中的哪一条虚线运动（　　）
A．a B．b C．c D．d
3．某质点在直角坐标平面内运动，时质点位于x轴上。它在x方向的位置随时间变化的图像如图甲所示，在y方向的速度随时间变化的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A．时质点的速度大小为
B．时质点的位置坐标为（6m，5m）
C．该质点做匀变速直线运动，且加速度大小为
D．0~2s内质点的位移大小为16m
4．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，在距水平地面的高度分别为2h和h处，将两球水平抛出后，两球在空中运动的水平位移大小之比为1∶2。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．A、B抛出时的初速度大小之比为1∶4
B．若两球同时抛出，则A、B落地的时间差为
C．若两球在空中相遇，则A、B相遇前在空中运动的时间之比为
D．若两球在空中相遇，则相遇点距地面的高度差为
5．如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（　　）
A．t B． C． D．
6．如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
7．图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O（图中未画出）做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A、B相距L，虚线表示两轮转弯的轨迹，前轮所在平面与车身夹角θ＝30°，此时轮轴B的速度大小v2＝3m/s，则轮轴A的速度v1大小为（　　）
A．m/s B．2m/s
C．m/s D．3m/s
10．民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，弯弓放箭射击跑道外侧的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道距离固定目标的最近距离为d，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短（不考虑空气阻力的影响），则（　　）
A．运动员放箭处离目标的距离为
B．运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
11．如图所示，用一段绳子把轻质滑轮吊装在A点，一根轻绳跨过滑轮，绳的一端拴在井中的水桶上，人用力拉绳的另一端，滑轮中心为O点，人所拉绳子与OA的夹角为，拉水桶的绳子与OA的夹角为，人拉绳沿水平面向左运动，把井中质量为m的水桶匀速提上来，人的质量为M，重力加速度为g，在此过程中，以下说法正确的是（　　）
A．人对绳的拉力变大
B．吊装滑轮的绳子上的拉力逐渐变大
C．地面对人的摩擦力逐渐变大
D．地面对人的支持力逐渐变小
二、多选题
12．如图所示，从地面做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度大小，落地时速度大小，取重力加速度大小。则（　　）
A．物体抛出时的速度大小为
B．物体在空中飞行的时间为
C．物体在空中飞行的最大高度
D．物体在空中飞行的水平射程
13．如图所示，一条小河宽，河中各处水的流速均匀，且水速的大小为，O点为岸边一点，A为O点正对岸的一点。一只小船（可视为质点）从O点保持船头始终与岸成的角匀速驶向对岸，船在静水中的速度大小为。下列说法正确的（　　）
A．船到达对岸的位置在A点
B．船到达.对岸的位置离A点50m远
C．船过河需要50s的时间
D．若水流速增大，其他条件不变，则船过河时间将不变
14．从倾角的斜面上A、B位置分别以水平速度平抛两个小球，两个小球恰好都落在斜面上C点，如图所示。已知，则下列说法正确的是（　　）
A．从A、B位置抛出的小球在空中运动时间之比为
B．与距离之比为
C．从A、B位置抛出的小球，落到C点时的速度大小之比为
D．两球落到C点时速度方向相同
15．如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是（　　）
A．竖直杆向下做加速直线运动
B．竖直杆向下做减速直线运动
C．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时，
D．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时，
16．如图所示，一物块在一个水平力F作用下沿足够大斜面匀速运动，此力F的方向与斜面平行。某时刻将力F撤除，下列对撤除力F后物块运动的描述正确的是（ ）
A．物块可能做匀变速曲线运动 B．物块仍沿斜面匀速运动
C．物块将做非匀变速曲线运动 D．物块最终将停在斜面上
17．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地H高处以水平速度v1=0.9km/s发射一颗炮弹1，经20s击中地面目标P。若地面拦截系统在炮弹1发射的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度v2竖直发射拦截炮弹2恰好成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．战斗机发射炮弹时离地高度2000m B．M点到P点的距离为1800m
C．炮弹从发射到拦截的时间为 D．炮弹2的初速度大小v2=1.2km/s
18．中国女排曾以傲人的成绩多次夺冠，如图（a）为排球比赛场地示意图，其长度为2s，宽度为s，球网高度为H，运动员在某次发球中，距离球网中心正前方某处，弹跳后将球从比网高出h处水平拍出（发球点图中未画出），将排球扣到对方场地上，排球的速度方向与水平方向夹角的正切值tanθ与排球运动时间t的关系如图（b）所示，排球可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．排球落在场地上时竖直方向的速度大小为
B．排球初速度的大小为m/s
C．运动员在球网中心正前方的底线处发球时，一定会过网
D．球不出界时，发球点与球网中心的最小水平距离dm＝－s
19．2020年3月17日，山东援鄂医疗队的338名队员圆满完成任务，由武汉天河机场乘专机返程，为向飞机上的医护人员致以崇高的敬意，济南遥墙国际机场用“过水门”仪式迎接，寓意为“接风洗尘”。如图所示，两条水柱从两辆大型消防车的同一高度斜向上对称射出，射出方向与水平面成45°角，水柱上升的最大高度为22.5m，且恰好在最高点相遇。不计空气阻力和水滴间的相互影响，g取10m／s2。则（　　）
A．水滴喷出时的速度为30m／s
B．两辆消防车喷嘴处的水平距离为
C．水滴上升过程中，在相等时间内速率的变化量相等
D．水滴上升过程中，在相等时间内速度的变化量相等
20．如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A． B． C． D．
三、实验题
21．刚学完“探究平抛运动的特点”一节，高一（2）班的同学在实验室利用如图所示的装置，通过描点法来研究平抛运动的轨迹，先将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，让钢球多次沿斜槽轨道PO滑下后从点飞出，落在水平挡板MN上，并挤压白纸留下一系列痕迹点。
（1）实验中，老师叮嘱让钢球多次从斜槽上滚下，并在白纸上依次记下小球的位置，小邓同学和小陈同学的记录纸分别如图甲、乙所示，从图中可以看出小邓同学的错误最可能是 ，小陈同学的实验错误最可能是 （将正确选项前面的字母填在横线上）
A．每次由静止释放小球的位置不同
B．小球与斜槽之间摩擦太大
C．小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度太高
D．斜槽末端不水平
（2）小万同学对钢球采用频闪数码照相机连续拍摄的方法来获取钢球平抛运动的轨迹，并得到如图所示的图片，图片中是连续四次拍摄的小球所在的位置。
①方格纸中每个小方格的实际边长为，在已探究出竖直方向的运动为自由落体运动的基础上，求得小球做平抛运动的初速度大小为v0 m/s。重力加速度）
②试分析点 （填“是”或“不是”）为小球的抛出点。
22．某同学利用图（a）所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图（b）所示（图中未包括小球刚离开轨道的影像）。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个小方格的边长为1cm。该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图（b）中标出。
完成下列填空：（结果均保留2位有效数字）
（1）小球做平抛运动的初速度大小为 m/s；
（2）小球运动到图（b）中位置A时，其速度的大小为 m/s；
（3）根据图（b）中数据可得，当地重力加速度的大小为 m/s2。
四、解答题
23．某部队进行海上实战军事演习。假设在炮手正前方距离s处的海域有一只敌舰正以速度v1沿水平向右方向逃去，炮手立刻水平对准一个方向（即与敌舰连线成α角）发射一枚速度为v2的炮弹，恰好打中敌舰，如图所示。不计炮弹重力和空气阻力对运动的影响，请你找出α角满足的三角函数式。
24．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京和张家口市联合举行，其中跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，（重力加速度g取10m/s2，，）
（1）运动员在空中的飞行时间t1；
（2）运动员何时离斜面最远？
25．如图所示，光滑斜面固定，倾角，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取，，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求：
（1）小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h；
（2）斜面的长度L。
26．如图所示，一长为的木板倾斜放置，倾角为45°。有一小球自与木板上端等高的某处由静止释放，小球落到木板上反弹后速度大小不变方向水平，直接落到木板下端，求小球释放点距木板上端的水平距离。重力加速度的值取。
27．如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，求vA和vB之比。
28．如图所示，倾角θ＝37°的斜面足够大，顶端MN水平。一质量m＝1.8kg的小球自MN上一点以v0＝2m/s的初速度垂直MN水平抛出，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。
（1）求小球自抛出至落到斜面上的时间；
（2）若小球运动过程中始终受到平行MN的恒定水平风力，小球落到斜面上时的位移大小为1.25m，求小球受到的水平风力大小。
29．将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
30．小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】A．做曲线运动物体的速度方向时刻在变化，因此曲线运动一定都是变速运动，A正确；
B．做曲线运动的物体，速度方向时刻变化，曲线运动也可能是匀变速运动，例如：平抛运动，加速度不变，因此平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；
C．当物体受合外力方向与其运动方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动，因此物体在一个恒力作用下，如果这个恒力方向与物体运动方向在同一直线上时，物体一定做直线运动，C错误；
D．物体只要受到合外力方向与其运动方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动，物体是否做曲线运动，与合外力的方向是否变化无关，例如：平抛运动物体只受重力作用，重力大小方向都不变，仍做曲线运动，D错误。
故选A。
2．A
【详解】质点从A点沿图中的曲线运动到B点，曲线向下弯曲，可知F的方向应该是斜向右下方的，改变F的方向之后就应该是斜向左上方，所以物体的运动轨迹应该是向上弯曲，即可能沿虚线a。
故选A。
3．B
【详解】A．时质点在x方向的速度
y方向的速度
则此时质点的速度大小大于，选项A错误；
B．时质点的位置坐标为
x=6m
即位置坐标（6m，5m），选项B正确；
C．该质点在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀加速运动，则合运动为匀变速曲线运动，且加速度大小为
选项C错误；
D．0~2s内质点在x方向的位移
x=4m
在y方向的位移
则合位移大小为
选项D错误。
故选B。
4．D
【详解】A．小球做平抛运动，对A
解得
可得A的初速度为
对B
解得
可得B的初速度为
联立可得
故A错误；
B．若两球同时抛出，则B先落地，且A，B落地的时间差
故B错误；
CD．若两球在空中相遇，设相遇点距抛出点的水平距离为x，距地面的高度为y，A、B相遇前在空中运动的时间分别为，则有
水平位移为
对B物体
水平位移为
联立解得
解得
故C错误，D正确。
故选D。
5．C
【详解】把平抛运动分解成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动的独立性和等时性可知，平抛运动的时间和水平方向上运动的时间相同。由题意可知
当速度变为2倍时
故选C。
6．B
【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据
可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有
故选B。
7．C
【详解】设斜坡倾角为，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
可得
运动员在水平段做匀速直线运动，加速度
运动员从点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度
设在点的速度为，则从点飞出后速度大小的表达式为
由分析可知从点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且
C正确，ABD错误。
故选C。
8．A
【详解】质点做曲线运动时，速度方向为轨迹的切线方向，合外力的方向指向轨迹的凹向，即加速度指向轨迹的凹向，则选项A正确，BCD错误。
故选A。
9．B
【详解】将轮A的速度分解为沿后轮B方向的速度和与后轮B速度垂直的速度，则
解得
故选B。
10．B
【详解】要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示
箭在空中的运动时间为
其合运动速度为
则放箭处离目标的距离为
故ACD错误，B正确。
故选B。
【点睛】这属于小船过河模型的拓展应用，可参考小船过河模型进行解答。
11．C
【详解】A．由水桶匀速运动，可知绳子中的拉力不变为，人对绳的拉力和绳子对人的拉力为作用力与反作用力，大小相等，所以人对绳的拉力不变，A错误；
B．以滑轮为结点进行受力分析，左右绳子中的拉力和吊装滑轮的绳子上的拉力平衡，随着人向左运动，左右两段绳子拉力不变，夹角变大，根据力的合成法则可知，左右两段绳子拉力的合力减小，所以吊装滑轮的绳子上的拉力逐渐减小，B错误；
CD．设左边绳子与水平面的夹角为，绳子中拉力为
对人进行受力分析，竖直方向上有
因为随着人向左运动在减小，所以有在增大，对人进行受力分析，人的速度与绳子的速度关系为
因为绳子的速度不变，在变小，所以人的运动状态为速度逐渐减小，且越来越接近绳子的速度，因此加速度方向向右，且加速度越来越小最后趋于零，对人进行受力分析，水平方向上有
在变小，绳子拉力不变，所以在变大，同时在减小，得摩擦力在增大，C正确，D错误。
故选C。
12．BC
【详解】A．做斜抛运动的物体，水平方向不受力，做匀速直线运动，竖直方向只受重力，做竖直上抛运动，从地面做斜上抛运动的物体，抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故物体抛出时的速度大小为，A错误；
B．斜抛物体在最高点的速度即为其水平方向的分速度，故，所以抛出时竖直方向的分速度为
故物体在空中运动的时间为
B正确；
C．物体在空中飞行的最大高度为
C正确；
D．物体在空中飞行的水平射程为
D错误。
故选BC。
13．AD
【详解】ABC．沿垂直河岸方向满足
沿河岸方向满足
联立解得
即船垂直到达河对岸A点，故A正确，BC错误；
D．船过河时间与水流速度无关，故水流速增大时，其他条件不变，船过河时间不变，故D正确。
故选AD。
14．AD
【详解】A．由于小球都做平抛运动落到斜面上，因此
解得
因此在空中运动的时间之比
故A正确；
B．由于
可知
故
故B错误；
C．竖直方向的速度
因此竖直分速度之比
水平速度之比
根据运动的合成可知，落到C点时速度大小之比
故C错误；
D．设落到C点时，速度与水平方向夹角为，则
可知
故D正确。
故选AD。
15．AD
【详解】A．杆子和半圆柱体时刻保持接触，则在垂直接触点切线方向速度应时刻保持相等，将和沿接触点切线和垂直接触点切线进行分解，得，杆向下运动，角变大，变大，变大，杆做加速运动，A正确；
B．由A项分析可知，B错误；
C．根据，得，C错误；
D．由C项分析可知，D正确．
故选AD。
16．CD
【详解】物体受重力、支持力、拉力及摩擦力而处于平衡，重力可分解为垂直于斜面及沿斜面的两个力；垂直斜面方向受力平衡，而沿斜面方向上有拉力、重力的分力及摩擦力而处于平衡，故摩擦力应与拉力与重力分力的合力平衡，运动方向与f的方向相反，如图所示
当F撤去后，合力方向与F方向相反，与v的方向由一定的夹角，大于90°，所以物体做曲线运动，速度的方向改变后，f的方向也改变，所以合力的方向也改变，故将做非匀变速曲线运动，最终将停在斜面上。
故选CD。
17．ACD
【详解】A．炮弹1做平抛运动，竖直方向有
故A正确；
B．水平方向有
解得M点与P点的水平距离为
故B错误；
C．炮弹1做平抛运动，炮弹2做竖直上抛运动，若要拦截成功，则两炮弹必定在空中相遇，以竖直方向做自由落体运动的物体为参考系，炮弹2匀速上升，所以相遇时间
水平方向上，炮弹1做匀速直线运动，与炮弹2相遇的时间
故C正确；
D．拦截成功时，有
则
故D正确。
故选ACD。
18．AD
【详解】A．由排球在竖直方向做自由落体运动可得
解得
故A正确；
B．由平抛运动规律有
则
结合图像可知图（b）所示图像的斜率
联立解得
故B错误；
C．从底线处发球，恰能过网的情况下有
得
又
联立求得此时
故若能过网，必然需满足
由于h值未知，故无法判断球能否过网，故C错误；
D．球不出界时，球最远可扣到对方场地底线与边线交点处，排球做平抛运动，平抛运动时间为
而初速度
水平位移
由几何关系可知
联立解得
故D正确。
故选AD。
19．AD
【详解】A．水滴竖直速度有
水平速度
所以水滴喷出时的速度
故选项A正确；
B．水滴运动时间
所以两辆消防车喷嘴处的水平距离
故选项B错误；
CD．根据加速度定义式
则
即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，但是速率的改变量不相等，故选项C错误，选项D正确。
故选AD。
20．BD
【详解】设网球飞出时的速度为，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离
故BD正确，AC错误。
故选BD。
21． D A 0.8 不是
【详解】（1）[1][2]A．每次由静止释放小球的位置不同，小球每次从斜槽末端抛出时的速度大小不同，即小球每次运动的抛物线轨迹不同，从而使记录的点迹呈现无规律的情况，会造成乙图中出现的错误；
B．小球与斜槽之间摩擦太大对实验无影响，不会出现图甲、乙中的错误；
C．小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度太高，从斜槽末端抛出时速度较大，会使记录的点迹所描绘的抛物线开口较大，不会出现图甲、乙中出现的错误；
D．斜槽末端不水平，使小球抛出时速度方向不水平，会造成甲图中出现的错误。
故第一个空选D；第二个空选A。
（2）①[3]在竖直方向，则有
可得
在水平方向有
解得
②[4]在竖直方向，可得小球在b点的竖直速度为
则从抛出点到b点的运动时间为
因为，所以a点不是抛出点。
22． 1.0 2.2 9.6
【详解】（1）[1]因小球水平方向做匀速直线运动，因此速度为
（2）[2]竖直方向做自由落体运动，因此A点的竖直速度可由平均速度等于时间中点的瞬时速度求得
所以A点的速度为
（3）[3]由竖直方向的自由落体运动可得
代入数据可得
23．sin α=
【详解】敌舰运动到被击中点的位移
x1=stan α
敌舰运动到被击中点的时间
t1=
炮弹的位移
x2=
炮弹击中敌舰的时间
t2=
而
t1=t2
联立解得
sin α=
24．（1）3s；（2）1.5s
【详解】（1）运动员从A点到B点做平抛运动，水平方向的位移
竖直方向的位移
又有
代入数据解得
（2）如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行
解得
25．（1），；（2）
【详解】（1）小球从D点运动到P点的过程做平抛运动，如图所示
有
，
解得
该过程中小球竖直方向上的位移大小
解得
又
解得
（2）设物块沿斜面下滑的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
根据匀变速直线运动的规律可知，A、P两点间的距离
解得
又
解得
26．
【详解】设小球释放点距木板上端的水平距离为x，自由落体过程以速度v落到木板上反弹，则
小球反弹后做平抛运动，经时间t落到底端，木板的长度为l，由题意可得
解得
27．
【详解】小球的速度vA的方向为竖直向下，对vA沿斜面向下和垂直斜面向下进行正交分解，设沿斜面向下的分速度为v1，垂直斜面向下的分速度v2，分解如下图所示
根据正交分解可得
楔形木块速度vB的方向为水平向右，对vB沿斜面向上和垂直斜面向下进行正交分解，设沿斜面向上的分速度为v3，垂直斜面向下的分速度为v4，分解如下图所示
根据正交分解可得
由于小球A和楔形木块B在垂直斜面方向紧紧挤压在一起，因此在垂直斜面方向上二者的分速度相等，即
联立解得
28．（1）0.3s；（2）40N
【详解】（1）设小球自抛出至落到斜面上的时间为，则小球水平位移
竖直位移
位移间的关系为
联立并代入数据解得
（2）设小球受到的平行MN的恒定水平风力大小为
F=ma
小球沿MN方向的位移
小球落在斜面上的时间不变
小球的位移
联立并代入数据解得
N
29．
【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为
设抛出瞬间小球的速度为，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为、，根据平抛运动位移公式有
令，则有
已标注的线段、分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
30．（1）；（2）；（3），或，
【详解】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知
青蛙做平抛运动，设时间为，有
联立解得
，
（2）若蛙和虫同时开始运动，时间均为，则虫的水平分加速度和竖直分加速度分别为
，
相遇时有
解得
则最小的坐标为
若蛙和虫不同时刻出发，轨迹相切时，青蛙的平抛运动有
，
可得轨迹方程为
虫的轨迹方程为
两轨迹相交，可得
整理可知
令，即
解得
虫在x轴上飞出的位置范围为
（3）设蛙的运动时间为，有
解得
，
若青蛙两次都向右跳出，则
解得
，
若青蛙一次向左跳出，一次向右跳出，则
解得
，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第八章　机械能守恒定律综合练习
一、单选题
1．如图所示，中国女子跳水奥运冠军全红婵从十米跳台起跳到全身入水过程中，下列说法正确的是（　　）
A．她的机械能保持不变
B．下落过程中重力做正功
C．整个过程只有重力做功
D．手入水后她的动能开始减少
2．如图所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，在某次高处作业时，升降机因吊索突然断裂急速下降，最终在弹簧的作用下触地级冲减速。弹簧始终没有超过弹性限度，忽略所有摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地到运动至最低点的过程中（　　）
A．速度不断减小
B．加速度不断减小
C．先是重力做正功、弹力做负功，然后是重力做负功、弹力做正功
D．升降机在最低点时，系统（升降机、弹簧和地球）重力势能和弹性势能之和最大
3．一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动，当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为（ ）
A．tanθ和 B．和 C．tanθ和 D．和
4．如图所示为某汽车启动时发动机功率P随时间t变化的图像，图中为发动机的额定功率，汽车所受阻力恒定，若汽车在时恰好达到最大速度，下列说法正确的是（　　）
A．时间内汽车做匀加速直线运动，时刻的速度等于
B．时间内汽车做加速度减小的加速直线运动，时刻的速度小于
C．时间内汽车做加速度减小的加速直线运动，时刻的速度等于
D．时间内汽车做匀速直线运动，时刻的速度等于
5．我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（　　）
A．小球的速度大小均发生变化 B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功 D．细绳的拉力大小均发生变化
6．小明用额定功率为、最大拉力为的提升装置，把静置于地面的质量为的重物竖直提升到高为的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零，取，则提升重物的最短时间为（　　）
A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s
7．北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，木块A置于上表面水平的木块B上，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中，A、B始终保持相对静止，下列说法正确的是（　　）
A．B对A的摩擦力对A做负功
B．A所受的合力对A做正功
C．B对A的弹力对A做正功
D．A对B的作用力对B做正功
9．如图，AB、AC两光滑细杆组成的直角支架固定在竖直平面内，AB与水平面的夹角为30°，两细杆上分别套有带孔的a、b两小球，在细线作用下处于静止状态，细线恰好水平。某时刻剪断细线，在两球下滑到底端的过程中，则（　　）
A．a、b两球重力做功相同
B．a、b两球平均速度相同
C．a、b两球重力大小之比为
D．a、b两球重力做功的平均功率之比为
10．如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（　　）
A． B． C． D．
11．2022年9月16日长沙某中国电信大厦发生火灾，这不仅对消防人员是一个极大的考验，同时对消防车的性能要求也特别高。重庆南开中学某兴趣小组对一辆自制电动消防模型车的性能进行研究。这辆小车在水平的直轨道上由静止开始以恒定加速度启动，达到额定功率之后以额定功率继续行驶。25s到35s近似为匀速直线运动，35s关闭发动机，其v-t图像如图所示。已知小车的质量为10kg，，可认为在整个运动过程中小车受到的阻力大小不变。下列说法正确的是（　　）
A．小车受到的阻力大小为10N
B．0~5s内小车的牵引力大小为20N
C．小车在全过程中的位移为390m
D．小车发动机的额定功率为120W
12．某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（　　）
A．m=0.7 kg，f=0.5 N B．m=0.7 kg，f=1.0N
C．m=0.8kg，f=0.5 N D．m=0.8 kg，f=1.0N
14．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（　　）
A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B．A上滑时、弹簧的弹力方向不发生变化
C．下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
15．如图所示，质量分别为m和2m的小物块Р和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为（　　）
A．μmgk B． C． D．
16．风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为时，输出电功率为，风速在范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为，空气密度为，风场风速为，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（　　）
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B．单位时间流过面积的流动空气动能为
C．若每天平均有的风能资源，则每天发电量为
D．若风场每年有风速在范围内，则该发电机年发电量至少为
17．固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
18．如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
19．下列关于各图中机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，ω越来越大，小球慢慢升高，小球的机械能仍然守恒
20．竖直平面内有两个半径不同的半圆形光滑轨道，如图所示，A、M、B三点位于同一水平面上，C、D分别为两轨道的最低点，将两个相同的小球分别从A、B处同时无初速度释放。则（　　）
A．通过C、D时，两小球对轨道的压力大小相等
B．通过C、D时，两小球的线速度大小相等
C．通过C、D时，两小球的角速度大小相等
D．通过C、D时，两小球的向心加速度相等
21．如图所示，木块质量为M，放在光滑水平面上，一质量为m 的子弹以初速度水平射入木块中，最后二者一起以速度v 匀速前进。已知子弹受到的平均阻力为f，子弹射入木块的深度为d，木块移动距离为s。则下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
22．物体做自由落体，Ek代表动能，Ep代表重力势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
23．如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体和用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量，时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。时刻轻绳突然断开，物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取时刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．物体和的质量之比为 B．时刻物体的机械能为
C．时刻物体重力的功率为 D．时刻物体的速度大小
24．如图所示，汽车在拱形桥上由A匀速率运动到B，以下说法正确的是（　　）
A．牵引力与克服摩擦力做的功相等
B．合外力对汽车不做功
C．牵引力和重力做的总功大于克服摩擦力做的功
D．汽车在上拱形桥的过程中克服重力做的功转化为汽车的重力势能
25．如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，物体和质量均为m。放在倾角的斜面上，套在竖直杆上，和通过定滑轮与轻绳相连，与滑轮间的细线与斜面平行。若将从与定滑轮等高位置A由静止释放，当落到位置B时，获得最大速度，且绳子与竖直方向的夹角为，已知定滑轮与轻杆的距离为d，和均可看成质点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大速度为
B．的最大速度为
C．可以求得下滑的最大距离
D．下滑的过程，的机械能先增大后减小
26．如图甲所示，足够长的水平传送带以速度v=2.5m/s沿顺时针方向运行。可视为质点的物块在t=0时刻以速度v0=5m/s从传送带左端开始沿传送带转动方向运动，物块的质量m=2kg，物块在传送带上运动的部分v-t图像如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，则在0~1s内（　　）
A．物块先做匀减速运动，再做匀速运动 B．传送带对物块做的功为18.75J
C．物块与传送带的动摩擦因数为μ=0.5 D．物块的动能减少了31.25J
27．如图所示，A、B两小球通过绕过轻质光滑定滑轮的不可伸长的细线相连，A球放在足够长的固定光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数50N/m的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A球，并使连接A、B球的细线刚刚拉直但无拉力作用，且保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A球的质量为4kg，B、C球的质量均为1kg，取重力加速度大小，开始时整个系统处于静止状态。释放A球后，A球沿斜面下滑至速度最大时C球恰好离开地面。在此过程中，弹簧一直在弹性限度内且B球未触碰定滑轮，下列描述正确的是（　　）
A．A球的最大速度为
B．斜面的倾角为
C．C球刚离开地面时，B球的加速度最大
D．从释放A球到C球刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能先增加后减少
28．如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　）
A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功
29．冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
三、实验题
30．如图1所示，某同学用此装置做验证动能定理实验，方法是验证相同的橡皮筋对小车做功等于小车动能变化量。他这样操作：当小车在1条橡皮筋的作用下沿木板滑行时，橡皮筋对小车做的功记为W。当用2条、3条…橡皮筋重复实验时，保持每次橡皮筋形变量一样，分别记每次实验中橡皮筋所做的功为2W、3W…。对应每次橡皮筋弹开小车后的速度可由纸带求出，电源频率为50Hz。
（1）本实验 （填“需要”或“不需要”）平衡摩擦力；
（2）橡皮筋对小车做功后使小车获得的速度可由打点计时器打出的纸带测出。根据第五次的纸带（如图2所示）可以看出小车接在纸带的 （填“左边”或“右边”）。求得小车获得的速度为 m/s（保留两2位有效数字）；
（3）根据多次测量数据画出的W—v2图像如图3所示，图线不过原点的原因是 。
31．某实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。将一钢球用细线系住悬挂在铁架台上，钢球静止于A点。在钢球底部竖直粘住一片宽度为的遮光条。在A点正下方固定一光电门，将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间可由计时器测出，取作为钢球经过A点的瞬时速度。记录钢球每次下落的高度和计时器示数，计算并比较钢球在释放点和A点之间重力势能变化量的大小与动能变化量的大小，就能验证机械能是否守恒。
（1）用计算钢球动能变化量的大小，用刻度尺测量遮光条宽度，示数如图乙所示，其读数为 。某次测量中，计时器的示数为0.0100s，则钢球经过A点时的速度 （保留3位有效数字）。
（2）表为该实验小组的实验结果：
4.892 9.786 14.69 19.59 29.38
5.04 10.1 15.1 20.0 29.8
从表中发现与之间存在差异，可能造成该差异的原因是 。
A．用计算钢球重力势能变化量的大小时，钢球下落高度为释放时钢球球心到球在点时底端之间的竖直距离
B．钢球下落过程中存在空气阻力
C．实验中所求速度是遮光条的速度，比钢球速度略大
32．某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为，其上可放钩码）、刻度尺，当地重力加速度为，实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量及系统总机械能的减少量，结果如下表所示：
0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为 J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的数据所缺数据为 ；
（3）若M为横轴，为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出图像 ；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则物块与木板之间的摩擦因数为 （保留两位有效数字）
四、解答题
33．如图所示，质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平地面夹角为θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物体移动的距离l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2。求：
（1）拉力F所做的功W1；
（2）摩擦力Ff所做的功W2；
（3）弹力FN所做的功W4。
34．如图所示，不可伸长的轻质细绳一端系一物块B，另一端绕过定滑轮系若物块A。开始外力托着A，使A、B均处于静止状态，绳刚好处于伸长状态。已知物块A的质量、物块B的质量，物块A离水平地面高度，重力加速度大小，不计绳与定滑轮的摩擦及空气阻力。当撤去外力后，物块A加速下落，碰地后速度为零。求：
（1）物块A碰地前瞬间速度大小v；
（2）物块A加速下落过程的机械能变化量；
（3）以水平地面为参考平面，物块B能上升的最大高度H。（上升过程中物块B不会与滑轮相碰）
35．如图所示，半径R＝0.4m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角＝37°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上。质量m＝0.1kg的小物块（可视为质点）从空中A点以v0＝3m/s的速度水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动直到静止。g取10m/s2。
（1）A、B两点的高度差；
（2）小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小。
36．在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
37．放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1=0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2=0.4m的位移，其F－x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功。
38．如图所示，在竖直平面内有一装置由四分之一圆弧轨道，水平直轨道，螺旋细圆管轨道，水平直轨道，圆心角可调的圆弧轨道组成。的半径和长度均为R，EF的半径为。一滑块从A点以竖直向下的初速度开始运动，经过并滑上。已知滑块质量，，滑块与的动摩擦因数，其余轨道均光滑，各部分轨道间平滑连接。
（1）若，滑块第1次经过圆管轨道C点时，对轨道的压力大小；
（2）若滑块始终在轨道上运动，则的大小范围；
（3）若滑块恰好能过D点，设滑块抛出后离抛出点F的水平位移为x，设圆心角为α，求x的最大值。
39．在2022年北京冬奥会U型场地技巧决赛中，我国选手谷爱凌以绝对优势夺得金牌。如图所示，比赛所用的高山滑雪U型池由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平直轨道连接而成，圆柱面轨道与轴处处垂直，轨道倾角为17.2°，其长度约为，半径约为，轨道总宽度约为。为测试赛道，将一质量为的滑块，在P处由静止释放，滑块以的速度从M点冲出U型池，沿竖直平面ABCD运动一段时间后在N点落回。已知P、M两点间直线距离为，，，则：
（1）P点至M点过程中，滑块减少的机械能△E；
（2）若忽略一切阻力，求到达Q点时滑块对轨道的压力F；
（3）第一问中，滑块从P点至M点减少的机械能为△E，若滑块以进入U型池，假设仍能到达M点，试分析：是否能求出到达M点时滑块的动能。若能求出，求出动能的数值，若求不出，请说明原因。
40．如图（a），一倾角的固定斜面的段粗糙，段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知段长度为，滑块质量为，滑块与斜面段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，。求：
（1）当拉力为时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B点时的动能；
（3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
41．如图，一倾角为的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？
42．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
43．如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小；
（4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【详解】AC．全红蝉从起跳到全身入水过程中，除了重力做功外，还有空气阻力做功，入水后，还有水的阻力做功，机械能不守恒，AC错误；
B．下落过程中重力是做正功的，B正确；
D．手入水后，刚开始水的阻力小于重力，她还是加速下落，动能增加，直到阻力大小等于重力时，速度达到最大，之后，阻力大于重力，做减速运动，动能减小，D错误。
故选B。
2．D
【详解】AB.升降机在从弹簧下端触地到运动至最低点的过程中，开始阶段，重力大于弹力加速度方向向下，大小随弹力增大而减小，升降机先向下做加速运动，当弹簧弹力增大到和重力相等时，加速度减为零，速度大于最大，然后弹力继续增大，弹力大于重力，加速度向上，大小随弹力增大而增大，升降机向下减速，当速度减为零时，达到最低点，所以整个过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故AB错误；
C.升降机在从弹簧下端触地到运动至最低点的过程中，重力一直竖直向下，弹簧弹力一直向上，升降机位移一直向下，所以重力一直做正功，弹簧弹力一直做负功，故C错误；
D.对系统（升降机、弹簧和地球），只有重力和弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，即升降机的动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，升降机在最低点时，升降机的动能最小，则系统（升降机、弹簧和地球）重力势能和弹性势能之和最大，故D正确。
故选D。
3．D
【详解】当物块上滑的初速度为v时，根据动能定理，有
当上滑的初速度为时，有
联立以上两式可得
，
故选D。
4．C
【详解】在时间内，根据
而
可知
由于图像可知，汽车的牵引力保持不变，做匀加速直线运动，到时刻，达到额定功率；在时间内，随着速度的增加，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，到时刻，恰好达到最大速度，此时
可知
因此在时刻的速度小于。
故选C。
5．C
【详解】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球的速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A错误，C正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据和（重力不变）可知小球的向心加速度和拉力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD错误。
故选C。
6．C
【详解】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好为零，重物在第一阶段做匀加速上升过程，根据牛顿第二定律可得
当功率达到额定功率时，设重物的速度为，则有
此过程所用时间和上升高度分别为
重物以最大速度匀速时，有
重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为
设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为，该过程根据动能定理可得
又
联立解得
故提升重物的最短时间为
C正确，ABD错误；
故选C。
7．D
【详解】运动员从a到c根据动能定理有
在c点有
FNc ≤ kmg
联立有
故选D。
8．B
【详解】A．A的加速度沿侧面向下，所受合力沿斜面向下，B对A的摩擦力水平向左，与A的运动方向成锐角，对A做正功，A错误；
C．B对A的弹力竖直向上，与A的运动方向成钝角，对A做负功，C错误；
D．斜面对系统的支持力垂直于斜面，与系统的运动方向垂直，系统的机械能守恒，所以B的机械能守恒，则A对B的作用力对B不做功，D错误；
B．A做加速运动，其动能增加，根据动能定理，A所受的合力对A做正功，B正确。
故选B。
9．D
【详解】AC．受力分析如下图所示，设细线的拉力为T
根据平衡条件得
同理可得
所以两球的质量之比为
故两球重力大小之比为
小球滑到底端的过程中重力做的功为
由于所以两球下滑到底端过程中竖直方向上下降的高度相同，故重力做功之比为
故AC错误；
B．由于平均速度是矢量，a、b两球平均速度方向不相同，因此两球平均速度不同，故B错误；
D．设从斜面下滑的高度为，则有
解得
同理
所以两球下滑的时间之比为
故两球重力做功的平均功率之比为
故D正确。
故选D。
10．D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
11．C
【详解】AB．根据图线可知，小车做匀加速运动，加速度大小为
小车做匀减速运动，加速度大小为
根据牛顿第二定律有
，
解得小车受到的阻力和0~5s内小车的牵引力大小分别为
，
故AB错误；
D．发动机的额定功率为
故D错误；
C．由图可知，小车位移为
对小车运动的全过程，根据动能定理有
其中
解得
故C正确。
故选C。
12．A
【详解】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有
即
下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek-x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大。
故选A。
13．A
【分析】本题结合图像考查动能定理。
【详解】0~10m内物块上滑，由动能定理得
整理得
结合0~10m内的图像得，斜率的绝对值
10~20 m内物块下滑，由动能定理得
整理得
结合10~20 m内的图像得，斜率
联立解得
故选A。
14．B
【详解】B．由于A、B在下滑过程中不分离，设在最高点的弹力为F，方向沿斜面向下为正方向，斜面倾角为θ，AB之间的弹力为FAB，摩擦因素为μ，刚下滑时根据牛顿第二定律对AB有
对B有
联立可得
由于A对B的弹力FAB方向沿斜面向上，故可知在最高点F的方向沿斜面向上；由于在最开始弹簧弹力也是沿斜面向上的，弹簧一直处于压缩状态，所以A上滑时、弹簧的弹力方向一直沿斜面向上，不发生变化，故B正确；
A．设弹簧原长在O点，A刚开始运动时距离O点为x1，A运动到最高点时距离O点为x2；下滑过程AB不分离，则弹簧一直处于压缩状态，上滑过程根据能量守恒定律可得
化简得
当位移为最大位移的一半时有
带入k值可知F合=0，即此时加速度为0，故A错误；
C．根据B的分析可知
再结合B选项的结论可知下滑过程中F向上且逐渐变大，则下滑过程FAB逐渐变大，根据牛顿第三定律可知B对A的压力逐渐变大，故C错误；
D．整个过程中弹力做的功为0，A重力做的功为0，当A回到初始位置时速度为零，根据功能关系可知整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量，故D错误。
故选B。
15．C
【详解】Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足
剪断轻绳后，Q始终保持静止，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此Р相对于其初始位置的最大位移大小为
故选C。
16．D
【详解】AB．单位时间流过面积的流动空气体积为
单位时间流过面积的流动空气质量为
单位时间流过面积的流动空气动能为
风速在范围内，转化效率可视为不变，可知该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比，AB错误；
C．由于风力发电存在转化效率，若每天平均有的风能资源，则每天发电量应满足
C错误；
D．若风场每年有风速在的风能资源，当风速取最小值时，该发电机年发电量具有最小值，根据题意，风速为时，输出电功率为，风速在范围内，转化效率可视为不变，可知风速为时，输出电功率为
则该发电机年发电量至少为
D正确；
故选D。
17．C
【详解】如图所示
设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得
联立可得
可得
故C正确，ABD错误。
故选C。
18．D
【详解】图中连线与水平方向的夹角，由几何关系可得
可得
设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知
解得
故D正确，ABC错误。
故选D。
19．BC
【详解】A．甲图中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧的弹性势能增大，物体A机械能减小，所以物体A机械能不守恒，A错误；
B．乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功代数和为零，机械能守恒，B正确；
C．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，两功代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；
D．丁图中小球的动能增加，重力势能也增加，故机械能增加，机械能不守恒（拉力对小球做正功），D错误。
故选BC。
20．AD
【详解】B．对任意一小球研究，设半圆轨道的半径为r，根据机械能守恒定律得
解得
可知两小球到达C、D两点时线速度大小和半径有关。由于r不同，故v不相等。故B错误；
D．通过圆轨道最低点时小球的向心加速度为
联立，可得
可知通过C、D时，两小球的向心加速度与半径无关。故D正确；
A．根据牛顿第二定律得
解得
则轨道对小球的支持力大小相等，根据牛顿第三定律，可知小球对轨道的压力大小与半径无关，则通过C、D时，两小球对轨道的压力大小相等。故A正确；
C．由
可得
可知通过C、D时两小球的角速度大小不等。故C错误。
故选AD。
21．BD
【详解】ABC．子弹进入木块过程中产生的热量为
又根据能量守恒可知
所以
故AC错误，B正确；
D．对木块由动能定理有
故D正确。
故选BD。
22．BD
【详解】A．设物体的质量为m，初始时离地高度为H，根据自由落体运动规律可知，下落的速度为
下落的高度为
在物体由释放到下落h高度的过程中，根据机械能守恒定律有
重力势能Ep随运动时间t的变化关系为
由此可知，Ep与t呈二次函数关系，其图像为一条抛物线，且开口向下，故A错误；
B．Ep与v呈二次函数关系，其图像为一条抛物线，且开口向下，故B正确；
C．Ep与h呈一次函数关系，其图像为一条向下倾斜的直线，故C错误；
D．Ep与Ek呈一次函数关系，其图像为一条向下倾斜的直线，故D正确。
故选BD。
23．BCD
【详解】A．开始释放时物体Q的加速度为，则
解得
选项A错误；
B．在T时刻，两物体的速度
P上升的距离
细线断后P能上升的高度
可知开始时PQ距离为
若设开始时P所处的位置为零势能面，则开始时Q的机械能为
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为
则此时物体Q的机械能
此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为，选项B正确；
CD．在2T时刻，重物P的速度
方向向下；此时物体P重力的瞬时功率
选项CD正确。
故选BCD。
24．BD
【详解】A．汽车由A匀速率运动到B，牵引力做正功，摩擦力与重力做负功，根据动能定理得
牵引力等于克服摩擦力与重力做的功，故A错误；
B．根据动能定理可知，汽车由A匀速率运动到B的过程中，动能变化为0，所以合外力对汽车不做功，故B正确；
C．牵引力、重力和摩擦力的总功为0，牵引力和重力做的总功等于克服摩擦力做的功，故C错误；
D．根据重力做功量度重力势能的变化，功是量度能的变化，所以汽车在上拱形桥的过程中克服重力做了多少功，就有多少外界能量转化为汽车的重力势能，故D正确。
故选BD。
25．AC
【详解】A．物体沿杆竖直下滑，令其最大速度为v，则的速度与沿绳方向的速度大小相等，如图所示
可得的速度大小
下滑过程，系统机械能守恒，则有
解得
A正确；
B．当速度最大时，受力平衡，则有
可知
表明之后还在加速，即速度达到最大时，的速度不是最大，B错误；
C．设下滑的最大距离为，则有
因此可以求得下滑的最大距离，C正确；
D．下滑的过程，绳子的拉力对其一直做负功，的机械能一直减小，D错误。
故选AC。
26．AC
【详解】A．由题意知，传送带足够长，所以物块先匀减速到与传送带共速，之后再与传送带一起匀速直线运动，A正确；
BD．由动能定理得，传送带对物块做的功为
物块的动能减少了18.75J，BD错误；
C．由图像可知，t=0.5s时物块与传送带共速，则加速度为
又由牛顿第二定律知
解得
C正确；
故选AC。
27．AD
【详解】BC．A球速度最大时，C球刚离开地面时，此时A、B 球的加速度为零，满足
代入数据可得
BC错误；
A．初始状态，弹簧的压缩量
C球刚离开地面时，弹簧的伸长量
A球的最大速度时，运动的距离
根据整个系统机械能守恒，可知
联立解得A球的最大速度
A正确；
D．从释放A球到C球刚离开地面的过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能先减少后增加，因此A、B两小球组成的系统机械能先增加后减少，D正确。
故选AD。
28．ABD
【详解】A．小车从M到N，依题意有
代入数据解得
故A正确；
B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为
则摩擦力做功为
则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确；
C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为
故C错误；
D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有
摩擦力做功为
联立解得
则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。
故选ABD。
29．CD
【详解】设斜面倾角为，游客在倾斜滑道上均减速下滑，则需满足
可得
即有
因，所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，可得
滑行结束时停在水平滑道上，即在摩擦因数去最小时能停在滑道上，由全程的动能定理有
要求进入水平滑道，因此最大的动摩擦因数能够进入水平滑道，即
综合需满足
和
故选CD。
30． 需要 左边 2.0 平衡摩擦力过度
【详解】（1）[1]实验目的是研究橡皮筋对小车做功等于小车动能变化量，所以需要平衡摩擦力，使橡皮筋对小车拉力为合外力。
（2）[2][3]由纸带左密右疏可知，小车接在纸带的左边，并可以求得被橡皮筋弹开后的速度为
（3）[4]橡皮筋对小车做功为0时，小车依旧可以获得动能，说明平衡摩擦力过度，重力做正功。
31． 1.50 1.50 C
【详解】（1）[1]刻度尺的分度值为，需估读一位，所以读数为；
[2]钢球经过A点的速度为
（2）[3]A．表中的与之间存在差异，且有；若钢球下落高度为释放时钢球球心到球在A点时底端之间的竖直距离，测量的高度偏大，则偏大，故A错误；
B．若钢球下落过程中存在空气阻力，则有重力势能减少量大于动能增加量，即，故B错误；
C．实验中所求速度是遮光条的速度，比钢球速度略大，导致，故C正确。
故选C。
32． 0.980 0.588 0.40（0.38~0.42）
【详解】（1）[1]四个钩码重力势能的减少量为
（2）[2]对滑块和钩码构成的系统，由能量守恒定律可知
其中系统减少的重力势能为
系统增加的动能为
系统减少的机械能为，则代入数据可得表格中减少的机械能为
（3）[3]根据表格数据描点得的图像为
[4]根据做功关系可知
则图像的斜率为
解得动摩擦因数为
（0.38~0.42）
33．（1）16 J；（2）－8.4 J；（3）0
【详解】（1）根据功的定义可知拉力F所做的功
代入数据得：
（2）摩擦力Ff所做的功
其中
解得：
（3）物体在竖直方向上没有位移，所以弹力FN不做功，即做功为0
34．（1）m/s；（2）75J；（3）7.5m
【详解】（1）从开始释放到物块A落地，由机械能守恒定律
解得
v=m/s
（2）物块A加速下落过程的机械能变化量
（3）物块A落地后，物块B做竖直上抛运动，则还能上升的高度为
物块B能上升的最大高度
H=h+h′=7.5m
35．（1）0.8m；（2）10.45N
【详解】（1）小物块从A点抛出做平抛运动，则
联立解得
A、B两点的高度差
解得
（2）B点速度
从B到C根据动能定理得
C点受力分析得
解得
根据牛顿第三定律得物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小为。
36．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（3）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
37．20J
【详解】由F－x图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即
38．（1）0.6N；（2）；（3）
【详解】（1）由动能定理得
解得
在C点，根据牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律，对轨道压力大小0.6N。
（2）从圆管某点返回到达A点时的速度为零，由动能定理，得
解得
由动能定理可得
解得
则的大小范围
（3）恰过D到F离开，由动能定理得
离开F点后斜抛运动，所以到达最高点时动能最小此时速度水平此时
当，即时，有
39．（1）22.5J；（2）144N，方向垂直轨道向下；（3）见解析
【详解】（1）滑块从P点至M点过程中，由动能定理得
由几何关系得
解得
则滑块减少的机械能
（2）滑块从P点至Q点过程中，由动能定理得
解得
滑块运动可分解为沿轴方向的运动和垂直于轴圆柱面内的运动，沿轴方向的加速度
滑块到达底端Q点时，沿轴的速度满足
解得
滑块在垂直于轴圆柱面内的分速度与圆相切，则
解得
根据牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律得，滑块对轨道的压力大小为
方向垂直轨道向下。
（3）求不出滑块到达M点时的动能，因为整个过程中，滑块速度比第一问大，在轨道上运动时，减少的机械能比之前多。
40．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设小滑块的质量为m，斜面倾角为，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块受斜面的支持力大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为时滑块的加速度大小为。由牛顿第二定律和滑动摩擦力公式有
①
②
③
联立①②③式并代入题给数据得
④
（2）设滑块在段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有
⑤
式中、和、分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，，，，。设滑块第一次到达B点时的动能为，由动能定理有
⑥
联立②③⑤⑥式并代入题给数据得
⑦
（3）由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B点时，动能仍为。设滑块离B点的最大距离为，由动能定理有
⑧
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得
⑨
41．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可知小车在光滑斜面上滑行时根据牛顿第二定律有
设小车通过第30个减速带后速度为v1，到达第31个减速带时的速度为v2，则有
因为小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，故后面过减速带后的速度与到达下一个减速带均为v1和v2；经过每一个减速带时损失的机械能为
联立以上各式解得
（2）由（1）知小车通过第50个减速带后的速度为v1，则在水平地面上根据动能定理有
从小车开始下滑到通过第30个减速带，根据动能定理有
联立解得
故在每一个减速带上平均损失的机械能为
（3）由题意可知
可得
42．（1）；（2）6.5mg；（3）
【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得
F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
当时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
43．（1）、；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得
弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得
联立方程解得
（2）当A刚要离开墙时，设弹簧得伸长量为，以A为研究对象，由平衡条件得
若A刚要离开墙壁时B得速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙得过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得
结合第（1）问结果可知
根据题意舍去，所以恒力得最小值为
（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为，C的位移为，以B为研究对象，由动能定理得
以C为研究对象，由动能定理得
由B、C得运动关系得
联立可知
（4）小物块B、C向左运动过程中，由动能定理得
解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为
则坐标原点的加速度为
之后C开始向右运动过程（B、C系统未脱离弹簧）加速度为
可知加速度随位移为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长，减小，减小，弹簧恢复原长时，B和C分离，之后C只受地面的滑动摩擦力，加速度为
负号表示C的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C为研究对象，由动能定理得
脱离弹簧瞬间后C速度为，之后C受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得
解得脱离弹簧后，C运动的距离为
则C最后停止的位移为
所以C向右运动的图象为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第八章 机械能守恒定律
一．功
1．定义：力与力方向上位移的乘积或位移方向上的力与位移的乘积。
2．公式
3．对功的理解：
① 功的单位是J（焦耳）
② 功是标量，没有方向，有正负之分
③ 为力与_________方向之间的夹角
④ 该公式适用于恒力做功的计算，也可以适用于变力做功的分析
4．功的正负
① 当，，力对物体做正功，力体现为动力；
② 当，，力不做功；
③ 当，，力对物体做负功，力体现为_________，或者说物体_________这个力做功。
二．功率
1．物理意义：描述力对物体做功的_________。
2．公式
3．功率的分类
① 平均功率：或
② 瞬时功率：
三．机车启动
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和v－t 图像
OA段 过程分析 不变F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间
AB段 过程分析
运动性质 以做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 以做匀速直线运动
四．重力势能
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的_________无关。
2．重力做功的表达式
3．重力势能的产生：物体因举高而具有的能量。
4．重力势能的表达式
为相对于零势能面的高度。
5．重力做功和重力势能的关系
① 当物体从高处运动到低处时，重力做_________，重力势能_________，即；
② 当物体由低处运动到高处时，重力做_________，重力势能_________，即，重力做负功也可以说成物体_________重力做功。
五．弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。弹簧被拉伸或被压缩时，就具有了弹性势能。
六．动能定理
1．动能的定义：物体因运动而具有的能量。
2．动能的表达式
3．动能定理的内容：物体所受合外力做功之和等于动能的变化量。
4．动能定理定理的表达式
5．动能定理的适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到变力作用，或者做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，也能得到动能定理。
七．机械能守恒定律
1．动能和势能的相互转化
① 重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
② 弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。
2．机械能
① 定义：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
② 机械能的改变：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
3．机械能守恒定律的表达式
理解角度 表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
做功的两个因素
① 作用在物体的力。
② 物体在力的方向上的位移。
【例题】
1．关于功的表述，正确的是（　　）
A．功的正负表示大小
B．做功的大小与参照系的选取无关
C．一个力对物体做负功，则该力一定阻碍物体运动
D．作用力做正功时，反作用力一定做负功。
2．如图所示，水平路面上有一辆质量为的汽车，车厢中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为maL
C．车对人的摩擦力做的功为 D．车对人的作用力大小为ma
3．如图所示，一个质量为m=2kg的物体受到与水平方向成37°角斜向上方的力F=10N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l=2m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10m/s2，cos37°=0.8，sin37°=0.6，求：
（1）拉力F所做的功W1；
（2）地面对物体的摩擦力Ff所做的功W2；
（3）重力G所做的功W3；
（4）地面对物体的支持力FN所做的功W4；
（5）合力F合所做的功W。
【练习题】
4．如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是（　　）
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
5．某人把一质量为m的物体向上抛出，物体到达高为h的最高点后落回到抛出点。若物体在上升和下落过程中所受到的空气阻力大小均为F阻，重力加速度为g，则物体在整个过程中（　　）
A．重力做功为-mgh
B．重力做功为-2mgh
C．阻力做功为-F阻h
D．阻力做功为-2F阻h
6．如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10N/kg，则对这一过程，下列说法正确的是（　　）
A．人拉绳子的力做功为1000J
B．人拉绳子的力做功为2000J
C．料车受到的重力做功为2000J
D．料车受到的合力对料车做的总功为0
【易错题小练习】
7．某物体在相互垂直的两个力和作用下，运动了一段距离做功为4J，做功3J，则此两力的合力做功，是（　　）
A．一定等于7J B．一定小于7J
C．一定大于7J D．可能等于
分析功率需要注意三个问题
1．判断求解哪个力的功率；
2．如果是平均功率要确定哪个过程，瞬时功率要确定哪个位置；
3．求解瞬时功率时，确定力和速度共线。
【例题】
8．在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动s，平均功率为P，如果将水平拉力增加为16F，使同一物体从静止开始移动s，平均功率为（ ）
A．4P B．16P C．32P D．64P
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间变化的关系如图乙所示，由此可知（g取10m/s2）（　　）
A．物体的加速度大小为2m/s2
B．F的大小为10.5N
C．4s末F的功率大小为42W
D．4s内F做功的平均功率为21W
【练习题】
10．体育课进行体能测试：原地尽力竖直起跳，连续1分钟。质量为的小李每次跳跃的过程中，脚与地面的接触时间为跳跃一次所需时间的，重心每次离开地面的高度均为。取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小李1分钟内跳跃的次数为40
B．小李起跳时的速度大小为
C．小李上升过程中克服重力做的功为
D．小李上升过程中克服重力做功的平均功率为
11．一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示，则（ ）
A．0~4s时间内水平拉力的做功大小为18J
B．0~6s时间内合外力的做功大小为4J
C．t=5s时合外力做功功率为4J/s
D．0~8s时间内物体克服摩擦力所做的功30J
【易错题小练习】
12．如图所示，质量为的小球，以的初速度，朝着一个倾角为的斜面平抛出去，它落到斜面上时的速度方向刚好和斜面垂直，则（　　）
A．该小球落到斜面上的瞬间重力对小球做功的瞬时功率为400W
B．该小球落到斜面上的瞬间重力对小球做功的瞬时功率为200W
C．整个平抛运动过程中重力对小球做功的平均功率为400W
D．整个平抛运动过程中重力对小球做功的平均功率为200W
13．如图所示，甲、乙为两个高度相同但倾角不同（α<β）的光滑斜面，固定在同一水平地面上。现有一质量为m的小物块分别从甲、乙斜面顶端由静止开始下滑到斜面底端，设此过程中小物块所受合外力对其所做的功分别为和，重力的平均功率分别为和，则它们之间的关系正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
恒力做功直接使用公式求解。
变力做功可以用以下几种方法求解：
1．微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
2．图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，
3．平均力法
当力与位移为线性关系，力可用平均值表示，代入功的公式得
4．转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功
【例题】
14．如图所示，质量为m的物体相对静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，物体相对斜面静止，则下列说法正确的是（　　）
A．重力对物体做正功 B．合力对物体做功为零
C．摩擦力对物体做负功 D．支持力对物体做正功
15．如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　）
A．重力做功为 B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力下做功为 D．空气阻力做功为
16．如图所示，建筑工地常使用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，设定某打桩机每次打击过程对圆柱体做功相同，圆柱体所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比（即，k为常量），圆柱体自重及空气阻力可忽略不计，打桩机第一次打击过程使圆柱体进入泥土深度为，则打桩机第n次打击过程使圆柱体进入泥土深度为（　　）
A． B． C． D．
17．如图所示，密度为ρ、边长为a的正立方体木块漂浮在水面上（h为木块在水面上的高度）。现用竖直向下的力F将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则此过程中木块克服浮力做功为（已知水的密度为ρ0、重力加速度为g）（　　）
A．ρa3gh B．
C．ρ0a3gh(a-h) D．
18．水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　）
A．拉力F对小球做的功为16π（J） B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【练习题】
19．如图1所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为（　　）
A．0 B．Fmx0 C．Fmx0 D．
20．如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为和，在这一周内摩擦力做的总功为，则下列关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
21．如图所示，质量m=50kg的滑雪运动员从高度h=30m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ=37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ=0.1，则运动员滑至坡底的过程中，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计装备质量。求：
（1）滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
（2）滑雪运动员所受的摩擦力对他做了多少功？
【易错题小练习】
22．一个实心铅球与一实心木球质量相等（），将它们放在同一水平桌面上，则（　　）
A．铅球的重力势能小于木球的重力势能
B．铅球的重力势能等于木球的重力势能
C．铅球的重力势能大于木球的重力势能
D．选取不同零势能面，上述三种情况都有可能
23．如图所示，一条长、质量分布均匀的铁链放在水平地面上，铁链质量为10kg，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，克服铁链重力做功为多少？铁链的重力势能变化了多少？（重力加速度）
应用动能定理求解问题的三个注意事项
1．确定动能定理使用的初、末状态或初、末位置；
2．确定各力是否做功、做功的正负；
3．当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解。
【例题】
24．如图所示，将3个木板1、2、3固定在墙角，现将一个可以视为质点的物块分别从3个木板的顶端由静止释放，物块沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数均为μ。下列说法正确的是（　　）
A．物块沿着1和2下滑到底端时速度大小相等
B．物块沿着3下滑到底端时速度最大
C．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量最多
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多
25．如图所示，粗糙斜面上有两条等高线AB和CD，现用平行于斜面的力将停于AB线上的重物缓慢拉到CD线上，图示F1、F2为拉力的两种不同方向，其中F1沿斜面向上，则（ ）
A．沿F1方向所需力小，做功少 B．沿F1方向所需力小，做功多
C．沿F2方向所需力小，做功多 D．沿F2方向所需力小，做功少
【练习题】
26．如图所示，小物块在竖直平面内的恒力F作用下，沿倾角θ=30°的固定斜面向上运动的过程中，恒力F做功与物块克服重力做的功相等，下列说法错误的是（　　）
A．若斜面光滑，则小物块一定匀速上滑
B．若斜面粗糙，则小物块一定减速上滑
C．若斜面光滑，当F最小时，F与斜面的夹角α为零
D．若斜面粗糙，当摩擦力做功最小时，F与斜面的夹角α为60°
27．如图所示，水平面上O点的左侧光滑，O点的右侧粗糙。有8个质量均为m的完全相同的小滑块（可视为质点），用轻质的细杆相连，相邻小滑块间的距离为L，滑块1恰好位于O点左侧滑块，滑块2、3。。。。。。依次沿直线水平向左排开。现将水平恒力F作用于滑块1上，经观察发现，在第3个小滑块过O点进入粗糙地带后再到第4个小滑块过O点进入粗糙地带前这一过程中，小滑块做匀速直线运动，已知重力加速度为g，则下列判断中正确的是（　　）
A．滑块匀速运动时，各段轻杆上的弹力大小相等
B．滑块3匀速运动的速度是
C．第5个小滑块完全进入粗糙地带到第6个小滑块进入粗糙地带前这一过程中，8个小滑块的加速度大小为
D．最终第7个滑块刚能到达O点而第8个滑块不可能到达O点
机车启动需要注意的几个限制条件：
1．判断机车是以那种方式启动；
2．机车启动的功率最大达到额定功率；
3．机车匀速运动时，牵引力和阻力相等；
4．机车以恒定功率运行，牵引力做功表示为．
【例题】
28．“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，k为常量），动车组能达到的最大速度为，下列说法正确的是（　　）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
D．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为
29．起重机用钢缆把质量的重物从地面由静止竖直向上吊起到高度处，所用时间，此过程可看成两段连续的、对称的匀变速直线运动，即加速、减速时重物的加速度大小不变，重物到达处时速度恰好为0，取重力加速度大小。求：
（1）重物的加速度大小；
（2）钢缆对重物拉力的最大功率。
【练习题】
30．如图所示为某汽车启动时发动机功率P随时间t变化的图像，图中为发动机的额定功率，汽车所受阻力恒定，若汽车在时恰好达到最大速度，下列说法正确的是（　　）
A．时间内汽车做匀加速直线运动，时刻的速度等于
B．时间内汽车做加速度减小的加速直线运动，时刻的速度小于
C．时间内汽车做加速度减小的加速直线运动，时刻的速度等于
D．时间内汽车做匀速直线运动，时刻的速度等于
31．“复兴号”动车组列车是以中文命名的中国标准动车组，具有完全自主知识产权，达到世界先进水平的动车组列车。若某“复兴号”列车的额定功率为，列车的质量为，列车在水平路面上行驶时，阻力是车重的k倍，。列车在水平轨道上行驶，受到的阻力保持不变，重力加速度g取。
（1）若列车保持额定功率行驶，求列车能达到的最大速度；
（2）若列车由静止开始，保持以的加速度做匀加速运动，求这样的加速运动能维持的最长时间和25秒末列车的瞬时功率；
（3）若列车保持额定功率行驶，当列车行驶速度为时，求列车的加速度大小。
32．动车组是把动力车与非动力车按照预定的参数组合在一起的。如图所示，某实验用动车组由4节动车和4节拖车组成。总质量为。动车组可以提供的总额定功率，若动车组先以恒定加速度由静止开始做匀加速直线运动，达到额定功率后保持功率不变再做变加速直线运动，直至动车组达到最大速度并开始匀速行驶。行驶过程中所受阻力恒定。
（1）求动车组在匀加速运动阶段的总时间；
（2）若动车组在变加速运动阶段的总时间为400s，求变加速运动的位移大小。
动能定理和抛体运动、圆周运动结合时，能够将运动的过程用动能定理的形式表达出来，从而求解某状态或某位置的速度大小。
【例题】
33．质量为m的小球用长为l的细线悬于A点，初始时刻使小球在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g。由于空气阻力作用，小球的运动状态缓慢变化，最终静止在A点的正下方，在此过程中（　　）
A．绳的拉力始终小于等于mg
B．小球的线速度始终小于等于ωlsinθ
C．空气阻力做的功为mgl（1-cosθ）
D．重力做的功为mgl（1-cosθ）
34．如图所示，一个半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，直径水平，滑块与轨道内表面间的动摩擦因数为μ。一质量为m的小滑块（可看作质点）自P点正上方由静止释放，释放高度为R，小滑块恰好从P点进入轨道。小滑块滑到轨道最低点N时对轨道的压力为，重力加速度大小为g。则（　　）
A．小滑块恰好可以到达Q点 B．小滑块可能无法到达Q点
C． D．
35．如图，粗糙水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R一个质量为m的物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点并由静止释放后向右弹开，当它经过B点进入圆形导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C．物块与粗糙水平面AB之间的动摩擦因数为μ，AB部分长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．物块经过B点时的速度大小
B．物块经过B点时的速度大小
C．物块从B点运动至C点的过程中阻力做的功
D．物块在A点时弹簧的弹性势能
36．竖直平面内的U型轨道如下图所示，其中AB、CD段是半径的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长的粗糙水平轨道，且与圆弧轨道平滑连接。一个质量的滑块（可视为质点），从A点沿轨道滑下，且始终在U型轨道内运动。滑块与水平轨道BC的动摩擦因数，忽略空气阻力，。
（1）若滑块从A点由静止滑下，求首次运动到圆弧最低点B时受到轨道支持力的大小；
（2）若滑块从A点以的速度滑下，求首次从D点竖直向上飞出后能上升的最大高度h；
（3）若滑块从A点以的速度滑下，求最后停止的位置与B点的距离。
【练习题】
37．如图所示，半球形容器ABC固定在水平面上，AC是水平直径，一个物块从A点正上方由静止释放刚好能从A点进入容器，第一次从P点由静止释放，P点离A点高度为h，结果物块从C点飞出上升的高度为，第二次由Q点由静止释放，Q点离A点高度为物块与容器内壁间的动摩擦因数恒定，B为容器内壁最低点，容器的半径为h，则下列判断正确的是（ ）

A．第一次，物块由A点运动到C点的过程克服摩擦做的功为
B．第二次，物块运动到C点的速度刚好为零
C．第一次，物块运动到B点的最大动能为
D．第一次，物块从A点运动到B点克服摩擦力做的功大于从B点运动到C点克服摩擦力做的功
38．如图所示，有一光滑竖直轨道ABCD固定在水平地面上，它由两个半径均为R = 0.4m的四分之一圆弧轨道AB、CD以及竖直轨道BC拼接而成，AB段的下端A固定在地面上，CD段的上端D是整个轨道的最高点，BC段的长度L = 0.6m。不计空气阻力，重力加速度大小为g = 10m/s2。
（1）若一小球以某一水平速度vA从A端进入，恰好到达轨道最高点D，求小球的初速度vA；
（2）若小球进入A端的速度大小为v0 = 8m/s，竖直轨道BC可以在竖直方向伸缩调节（D端始终位于A端的正上方），小球从D端飞出后落地点距D端的水平距离为d，求当L取多少时，d有最大值。
动能定理和板块问题结合，需要注意一下几点：
1．先判断木块和木板的运动情况和摩擦力方向；
2．选定研究对象书写动能定理，速度和位移要针对同一参考系；
3．摩擦力做功需要注意判断是正功还是负功。
【例题】
39．如图所示，光滑水平面上放着足够长质量为M的木板B，木板B上放着质量为m木块A，A、B间动摩擦因数为μ。现用一水平拉力F作用在A上使其由静止开始运动，用f1代表B对A的摩擦力，f2代表A对B的摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　）
A．若时，则A、B一定会发生相对滑动
B．拉力F做的功一定等于A、B系统动能的增加量
C．拉力F和f1对A做的功之和一定等于A的动能的增加量
D． f2对B做的功一定等于B的动能的增加量
40．如图所示，木板L=5m，质量为M=2kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.4，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：
（1）滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
【练习题】
41．在光滑的水平面上放置着质量为M的木板，在木板的左端有一质量为m的木块，木块和木板间的动摩擦因数为μ。在木块上施加一水平向右的恒力F，使木块与木板都由静止开始运动，经过时间t两者分离，该过程恒力F做的功为W，系统的摩擦生热为Q。下列判断正确的是（　　）
A．若仅增大木板的质量M，则时间t增大
B．若仅增大小木块的质量m，则时间t增大
C．若仅减小木板的质量M，则恒力F做功W减少
D．若仅增大恒力F，则系统的摩擦生热Q减少
42．如图为某商家为吸引顾客设计的趣味游戏。4块相同木板a、b、c、d紧挨放在水平地面上。某顾客使小滑块以某一水平初速度从a的左端滑上木板，若滑块分别停在a、b、c、d上，则分别获得四、三、二、一等奖，若滑离木板则不得奖。已知每块木板的长度为L、质量为m，木板下表面与地面间的动摩擦因数均为，滑块质量为2m，滑块与木板a、b、c、d上表面间的动摩擦因数均为、、、，重力加速度大小为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等。
（1）若顾客获四等奖，求滑块初速度的最大值；
（2）若滑块初速度为，请通过计算说明顾客获几等奖；
（3）若顾客获得一等奖，求因摩擦产生的总热量Q的取值范围。
动能定理和传送带问题结合，需要注意以下几个问题：
1．传送带的传动速度是否恒定，传送带的传动方向；
2．物块与传动带的速度大小关系，物块所受摩擦力的方向；
3．物块与传动带是否能共速，判断时间和相对距离。
【例题】
43．如图甲所示，足够长的水平传送带以速度v=2.5m/s沿顺时针方向运行。可视为质点的物块在t=0时刻以速度v0=5m/s从传送带左端开始沿传送带转动方向运动，物块的质量m=2kg，物块在传送带上运动的部分v-t图像如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，则在0~1s内（　　）
A．物块先做匀减速运动，再做匀速运动 B．传送带对物块做的功为18.75J
C．物块与传送带的动摩擦因数为μ=0.5 D．物块的动能减少了31.25J
44．如图所示，倾角的传送带以大小为的速度顺时针匀速运行，一质量为的工件（视为质点）以大小为的初速度从传送带的底端A冲上传送带，并恰好能到达传送带的顶端B。工件与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　）
A．工件沿传送带上滑的时间为
B．工件返回A端时的速度大小为
C．工件在传送带上滑行的过程中，摩擦力对工件做的功为
D．工件在传送带上滑行的过程中，因摩擦产生的热量为
【练习题】
45．如图所示，传送带底端A点与顶端B点的高度差为h，传送带在电动机的带动下以速率v匀速运动。现将一质量为m的小物体轻放在传送带上的A点，物体在摩擦力的作用下向上传送，在到达B点之前，已经与传送带共速，物体与传送带因摩擦产生的热量为Q。则在传送带将物体从A送往B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体与传送带因摩擦产生的热量为
B．传送带对物体做功为
C．传送带对物体做功为
D．为传送物体，电动机需对传送带额外做功
46．如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1匀速向右运动，一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2（v2>v1）滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端。关于这一过程的下列判断，正确的有（　　）
A．滑块返回传送带右端的速率为v1
B．此过程中传送带对滑块做功为
C．此过程中电动机对传送带多做的功为
D．此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为
47．某工厂车间通过图示装置把货物运送到二楼仓库，为水平传送带，为倾角、长的倾斜轨道，与通过长度忽略不计的圆弧轨道平滑连接，为半径的光滑圆弧轨道，与在D点相切，为竖直半径，为二楼仓库地面（足够长且与E点在同一高度），所有轨道在同一竖直平面内。当传送带以恒定速率运行时，把一质量的货物（可视为质点）由静止放入传送带的A端，货物恰好能滑入二楼仓库，已知货物与传送带、倾斜轨道的动摩擦因数、货物与二楼仓库地面间的动摩擦因数为，g取，，，求：
（1）货物在二楼仓库地面滑行的距离；
（2）传送带把货物从A端运送到B端过程中因摩擦而产生的内能。
判断机械能守恒的方法
1．确定研究对象，是单个物体还是系统；
2．确定研究对象机械能的构成，尤其要注意研究对象是否包含弹性势能；
3．判断是否有力，即“外力”，做功影响研究对象的机械能，如果“外力”不做功，则研究对象的机械能守恒。
【例题】
48．如图所示，将小球放在竖直放置的轻弹簧上，把小球往下按至A位置，松手后，弹簧弹出小球，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球在上升过程中机械能守恒
B．小球在位置B时速度最大
C．从A到B过程中，小球动能和弹簧弹性势能之和先增大后减小
D．小球在位置A的加速度大于重力加速度g
49．由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度大于g
B．炮弹通过a点时的速度大于通过c点时的速度
C．炮弹到达最高点b的机械能等于它在a点的机械能
D．炮弹由O点运动到b点的时间等于由b点运动到d点的时间
【练习题】
50．如图所示，下列情景中，运动的火箭、物体、小球，其中机械能守恒的是（　　）
A．火箭升空的过程
B．力F拉着物体匀速上升
C．小球在水平面内做匀速圆周运动
D．小球在光滑的碗里做复杂的曲线运动
51．如图，某弹射装置竖直固定在水平桌面上，装置上的光滑杆下端固定有轻弹簧，弹簧处于原长时位于O点位置，弹簧上端放一滑块与弹簧不拴接。现用滑块将弹簧压缩至A点并锁定，解除锁定，滑块经O点到达B点时速度为零。则解除锁定后滑块由A运动至B点过程中（　　）
A．滑块的机械能守恒 B．滑块与弹簧构成的系统机械能守恒
C．滑块在O点速度最大 D．滑块的加速度先减小、后增大，再保持不变
机械能守恒定律有不同的表达形式，在实际处理问题的过程，根据题目的特点，选择合适的方程解决问题，尤其要注意涉及重力势能，需要注意零势能面的选择和位置。
【例题】
52．如图所示，不计空气阻力，取地面为参考平面，将质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为h0，当它将要落到离地面高度为h的平台上时，下列判断正确的是（　　）
A．它的总机械能等于
B．它的总机械能为mgh0
C．它的动能为mg(h0-h)
D．它的动能为
【练习题】
53．如图所示，在地面上以速度抛出质量为的物体，抛出后物体落到比地面低的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是（　　）
A．物体落到海平面时的势能为 B．重力对物体做的功为
C．物体在海平面上的动能为 D．物体在海平面上的机械能为
54．如图所示，两个相距0.2m的小环套在水平杆上以相同的初速度v1=2m/s向右滑行。不计阻力，，当两环高度下降0.25m，进入较低的水平杆运动时，两环相距（　　）
A．0.1m B．0.13m C．0.2m D．0.3m
【易错题小练习】
55．如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系质量为m的小球，小球的半径忽略不计，现让小球从A位置由静止释放，且轻绳与水平方向成30°，下列说法正确的是（　　）
A．小球刚释放时的加速度为g
B．小球运动到细绳与竖直方向成60°位置时的向心力为2mg
C．小球从静止释放到细绳与竖直方向成60°位置前的过程中，细绳对小球的作用力越来越大
D．小球运动到最低点时，细绳对小球的作用力大小为3.5mg
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
【例题】
56．如图所示，轻质弹簧上端固定下端系一物体，物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开。此过程中，物体克服手的支持力所做的功为W，不考虑空气阻力。关于此过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体重力势能减小量一定小于W
B．弹簧弹性势能增加量一定等于W
C．弹簧的弹性势能和物体的机械能总和增加了W
D．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能大于W
57．如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且。在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【练习题】
58．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是（　　）
A．mgh－mv2 B．mv2+mgh
C．－mgh D．
59．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴上，另一端与质量为的小球（可视为质点）相连，小球套在粗糙程度处处相同的直杆上。点距水平面的高度为h，直杆与水平面的夹角为，，为的中点，等于弹簧原长。小球从处由静止开始下滑，经过处的速度为，并刚好能到达处。已知重力加速度为，则下列说法正确的是（　　）
A．小球通过点时的加速度为
B．小球通过段与段摩擦力做功相等
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．到过程中，产生的内能为
60．如图（甲），倾角为θ的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O到最低点x3的过程中加速度a随位移x变化的关系如图（乙）所示。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，下列判定正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，滑块速度的最大值为
C．滑块运动过程中，加速度的最大值
D．滑块运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②由v＝ωr知，v与r成正比．
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
【例题】
61．如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m（M>m）的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中 （ ）
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
62．如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为。已知，以OC所在平面为参考平面，取。则下列说法中正确的是（　　）
A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒
B．铁链在初始位置时其重心高度
C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m
D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为
63．如图所示，一长直轻杆两端分别固定有两相同小球A、B，杆上O点固定一个水平转轴，杆可在竖直平面内绕轴无摩擦地转动。已知A、B到O的距离分别为2R和R。现在使球A获得一个水平的初速度，让球A、B在竖直平面内做圆周运动，当球A运动到最高点时杆对轴恰好无作用力。取重力加速度，不计空气阻力。
（1）A在最高点时，杆对球A的作用力方向是向上或是向下？不必说明理由；
（2）求A在最高点时，杆转动的角速度的大小；
（3）求A的水平初速度的大小。
【练习题】
64．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，当轻绳刚好被拉紧后，B球的高度为h，A球静止于地面。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不计，重力加速度为g，释放B球，当B球刚落地时，A球的速度大小为，则A球与B球的质量比为（　　）
A． B． C． D．
65．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，圆心O与右端P在同一水平面上。小球a、b通过不可伸长的轻绳连接，小球a质量为2m，小球b质量为m，两小球均可视为质点，重力加速度为g。起初外力使小球a静置于P端，轻绳伸直，小球b静止，然后撤去外力，将小球a、b同时从静止开始无初速度释放，不计空气阻力，则当小球a刚到达轨道最低点Q时速度大小为（　　）
A． B． C． D．
66．如图所示，长为2L的轻杆一端可绕O点自由转动，杆的中点和另一端分别固定两个质量均为m的小球A、B。让轻杆从水平位置由静止释放，在转动至竖直位置的过程中，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．杆对B球做的功为
B．重力对A球做功的功率先减小后增大
C．杆转动至竖直位置时，O点对杆的弹力大小为
D．杆转动至竖直位置时，B球的速度大小为
67．如图所示，不可伸长的轻绳一端系一质量为M的重物，另一端绕过光滑定滑轮系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，定滑轮与直杆的距离为d，定滑轮的大小不计。杆上的A点与定滑轮等高，现将环从A点由静止释放，环能下落的最低位置为B点，AB的距离为。不计一切摩擦，重力加速度为g，由此可知（　　）
A．环与重物的质量之比为：
B．环下落距离为时，环的速度为：
C．环从A到的过程，克服绳的拉力做的功等于此过程中重物增加的机械能
D．环到点时绳对重物的拉力等于重物的重力
68．如图所示，有一条柔软的质量为、长为的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
69．如图所示，两根圈定的光滑竖直杆与光滑水平杆交于O点，质量均为的小环P、Q分别套在两杆上，两小环用长的轻直杆连接，将两小环从轻直杆与水平方向夹角为时同时由静止开始释放，当轻直杆与水平方向夹角为时，P、Q速度大小分别为、；当P刚要到达O点前瞬间，P、Q速度大小分别为、。已知重力加速度g取，，，两小环均可视为质点，不计空气阻力，则（　　）
A． B． C． D．
1．功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功．
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
2．三个重要图像斜率的物理意义
(1)重力势能和距离图像的斜率表示重力；
(2)动能和距离图像的斜率表示合外力；
(3)机械能和距离图像的斜率表示除重力（或重力和弹力）以外的“外力”；
【例题】
70．从地面上高H处由静止释放一个小球，小球在运动过程中其机械能E随离地高度h的变化图线如图所示，取地面为参考平面，以竖直向下为正方向，下列关于物体的速度v、加速度a随时间t变化的图像，动能、重力势能随高度h变化的图像，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
71．现有一质量为m的物体从一定高度的斜坡自由下滑。如果物体在下滑过程中受到的阻力恒定，斜面倾角为30°，物体滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示（重力加速度g=10m/s2），下列说法正确的是（　　）
A．物体下滑过程中只有重力做功
B．物体下滑过程中受到的阻力为2400N
C．物体质量m为6kg
D．物体下滑时加速度的大小为4m/s2
【练习题】
72．北京冬奥会引发了全国的冰雪运动热潮。如图所示为某滑雪爱好者的滑雪场景，他由静止开始从一较陡斜坡滑到较为平缓的斜坡，假设整个过程未用雪杖加速，而且在两斜坡交接处无机械能损失，两斜坡的动摩擦因数相同。下列图像中x、Ek、E分别表示滑雪爱好者水平位移、动能和机械能，下列图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
73．如图甲所示，置于水平地面上质量为m的物体，在竖直拉力F作用下，由静止开始向上运动，其动能与距地面高度h的关系图像如图乙所示，已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　）
A．在过程中，F大小始终为mg
B．在和过程中，F做功之比为4：3
C．在过程中，物体的机械能保持不变
D．在过程中，物体的机械能不断减少
1．实验原理(如图所示)
通过实验，求出做自由落体运动物体的重力势能的减少量和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律。
2．实验器材
打点计时器、交变电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、铁架台(带铁夹)、导线．
3．实验过程
(1)安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连．
(2)打纸带
用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条(3～5条)纸带．
(3)选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带．
(4)进行数据处理并验证．
4．数据处理
(1)求瞬时速度
由公式可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3….
(2)验证守恒
方案一：利用起始点和第n点计算
代入mghn和，如果在实验误差允许的范围内，mghn和相等，则验证了机械能守恒定律；
注意：应选取最初第1、2两点间距离接近2mm的纸带(电源频率为50 Hz)。
方案二：任取两点计算
①任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB；
②算出mvB2－mvA2的值；
③在实验误差允许的范围内，若mghAB＝mvB2－mvA2，则验证了机械能守恒定律。
方案三：图像法
测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算对应速度v，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出v2－h图像．若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律．
5．注意事项
(1)打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力；
(2)重物应选用质量大、体积小、密度大的；
(3)应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落；
(4)测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用，不能用或vn＝gt来计算；
(5)此实验中不需要测量重物的质量。
【例题】
74．如图所示，用质量为m的重物通过滑轮牵引小车，使它在长木板上运动，打点计时器在纸带上记录小车的运动情况。利用该装置可以完成“探究动能定理”的实验。
（1）在不挂重物的情况下，轻推一下小车，若小车拖着纸带做匀速运动，表明已经消除了摩擦力和其他阻力的影响。
（2）接通电源，释放小车，打点计时器在纸带上打下一系列点，将打下的第一个点标为O。在纸带上依次去A、B、C……若干个计数点，已知相邻计数点间的时间间隔为T。测得A、B、C……各点到O点的距离为x1、x2、x3……，如图所示。
实验中，重物质量远小于小车质量，可认为小车所受的拉力大小为mg，从打O点打B点的过程中，拉力对小车做的功W= ，打B点时小车的速度v= 。
（3）以v2为纵坐标，W为横坐标，利用实验数据作如图所示的v2–W图象。由此图象可得v2随W变化的表达式为 。根据功与能的关系，动能的表达式中可能包含v2这个因子；
（4）假设已经完全消除了摩擦力和其他阻力的影响，若重物质量不满足远小于小车质量的条件，则从理论上分析，图中正确反映v2–W关系的是 。
A． B． C． D．
75．某同学用图甲装置做“验证机械能守恒定律”的实验：
（1）做“验证机械能守恒定律”的实验步骤有：
A．把打点计时器固定在铁架台上，并用导线将打点计时器接在低压交流电源上
B．将连有重物的纸带穿过限位孔，用手提着纸带，让手尽量靠近打点计时器
C．松开纸带、接通电源
D．更换纸带，重复几次，选用点迹清晰且第1、2两点间距为的纸带
E．利用验证机械能守恒定律
在上述实验步骤中错误的是 ；
（2）某同学做此实验，不慎将一条选择好的纸带的前面一部分破坏了，他将剩下一段纸带上所有点进行标记，测出各个点间的距离如图乙所示，已知打点计时器工作频率为。设重锤的质量为，计时器打下2、5两点的过程中，重锤重力势能减小量 ，重锤动能增加量 （保留三位有效数字，重力加速度）。
（3）写出一条产生实验误差的原因： 。
76．晓强利用如图甲所示的装置完成了机械能守恒定律的验证，将体积较小的球由一定高度处静止释放，经过一段时间，小球通过固定在下侧的光电门，光电门记录了小球的挡光时间Δt﹔然后，多次改变光电门到释放点的距离h，将小球仍由原来的位置静止释放，重复操作多次，记录多组小球的挡光时间。
（1）实验时，下列正确的是 。
A．应选择直径较大的铝球
B．应选择直径较小的钢球
C．小球的释放点距离光电门越近越好
D．小球的释放点到光电门的距离适当远些
（2）如果小球的直径为d，则小球经过光电门时的速度为 ；如果重力加速度为g，若小球下落过程中的机械能守恒，则关系式 成立。
（3）如果利用得到的实验数据描绘图像，纵轴为、横轴为h，如图乙，图线的斜率为k，若小球的机械能守恒，则重力加速度g的表达式为g= 。
【练习题】
77．某实验小组利用如图（a）所示实验装置及数字化信息系统探究动能定理，轨道两端固定有位移传感器和力传感器，光电门固定在A点。已知重力加速度为g。实验过程如下：
（1）用天平测得滑块（包括遮光条）的质量为m，用游标卡尺测得遮光条的宽度为d。
（2）先测动摩擦因数。不安装弹簧，给滑块一初速度，让滑块沿轨道从A的左端向右运动，遮光条通过光电门时计时器记录的时间为，测出滑块停止的位置与A点的距离为x0，则滑块通过光电门时的速度为 ，滑块与轨道间动摩擦因数= （用题中所给已知或已测的物理量表示）。
（3）将弹簧一端连接力传感器，另一端连接滑块，将滑块拉到O点由静止释放，从释放滑块到遮光条通过光电门的过程中，传感器显示出弹簧弹力F随滑块位移x的变化情况如图（b）所示，、分别表示滑块在O点、A点时弹簧弹力的大小， 表示O到A的位移大小，遮光条通过光电门时记录的时间为 ，则此过程中合外力做的功= ，动能改变量= （用题中所给已知或已测的物理量表示）。
（4）改变滑块释放点O的位置，重复步骤（3），多次测量研究合外力做的功与动能改变量的关系，即探究动能定理。
78．如图为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。主要实验步骤如下：
A．测量垫块厚度h（每个垫块完全相同）及遮光片的宽度d；
B．接通气泵，将滑块轻放在气垫导轨上，调节导轨至水平；
C．在右支点下放垫块，改变气垫导轨的倾斜角度；
D．在气垫导轨右端支点正上方释放滑块，记录垫块个数和读出遮光片通过左端支点正上方光电门时所对应的挡光时间；
设当地的重力加速度为g，回答下列问题：
（1）若滑块的质量为m，右端垫片的个数为n，滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，滑块重力势能的减少量 ，滑块通过光电门时，遮光片挡光的时间为t，则滑块此时的动能 。
（2）若要符合机械能守恒定律的结论，垫块的个数 （用h、d、t、g表示），以n为纵坐标，以 为横坐标，其图像为线性图像，图像的斜率 。
79．某实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。将一钢球用细线系住悬挂在铁架台上，钢球静止于A点。在钢球底部竖直地粘住一片宽度为d的遮光条。在A的正下方固定一光电门。将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间t可由计时器测出。记录钢球每次摆下的高度h和计时器示数t。
（1）用刻度尺测量遮光条宽度，如图乙所示，读数为 cm。某次测量中，计时器的示数为0.00320s，则钢球经过A时的速度v= m/s（计算结果保留3位有效数字）。
（2）该实验小组在某次实验中测得减少的重力势能为1.034J，小球经A处的动能为1.143J。比较两者的大小，出现这一结果可能的原因有 。
A．释放时给了小球一个初速度
B．钢球下落过程中存在空气阻力
C．实验中用的是遮光条的速度，比钢球实际速度略大
D．所测钢球摆下高度h为释放时球心到球在A点时底端之间的高度差
80．某同学验证机械能守恒定律装置示意图如图所示。
水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨：导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过定滑轮的轻质细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点处有一光电门，可以测出遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到导轨底端C点的距离，s表示A、B两点间的距离，h表示A与C的高度差，b表示遮光片的宽度，可以将遮光片通过光电门的平均速度看做滑块通过B点时的瞬时速度。重力加速度为g，不考虑各处摩擦对实验的影响，将滑块自A点由静止释放，发现滑块沿导轨加速滑下。
（1）滑块通过光电门时的速度v= （用题目中给出的字母表示）
（2）根据上述实验方法，测得，，并多次改变A、B间的距离，测得滑块到B点时对应的速度v，作出的图像如图所示，已知重力加速度g取，则M= m。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】A．功是标量，功的正负表示做功的力是动力还是阻力，故A错误；
B．由于功的公式为
经典力学中，由于是惯性系，不考虑参考系造成的加速度，位移的大小与参考系的选择有关，则功的大小与参考系的选择也有关，故B错误；
C．一个力对物体做负功，则该力一定阻碍物体运动，故C正确；
D．作用力做正功时，反作用力不一定做负功，如冰面上的人互相推开，作用力和反作用力都做正功，故D错误。
故选C。
2．ABC
【详解】A．人对车的推力为F，在力F方向上车行驶了L，则推力F做的功为
故A正确；
B．人受到车对人的推力、摩擦力、支持力，支持力不做功，所以摩擦力与推力做的功即为车对人做的功，由牛顿第二定律可知二力的合力向左，大小为ma，车向左运动了L，故车对人做的功为
故B正确；
CD．竖直方向车对人的作用力大小为mg，则车对人的作用力
人在水平方向受到F的反作用力和车对人向左的摩擦力，则
可得
则车对人的摩擦力做的功为
故C正确，D错误。
故选ABC。
3．（1）16J；（2）-8.4J；（3）0；（4）0；（5）7.6J
【详解】（1）拉力F对物体所做的功为
W1=Flcos37°=10×2×0.8J=16J
（2）物体受到的摩擦力为
摩擦力Ff对物体所做的功为
（3）重力对物体做功
W3=Glcos90°=0
（4）支持力对物体做功
W4=FNlcos90°=0
（5）合力为
F合与l方向相同，所以合力F合所做的功
W=F合l=3.8×2J=7.6J
4．D
【详解】由于重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故三种情况下运动时，重力做的功相等，均为
故选D。
5．D
【详解】AB．由于重力做功只与物体的初、末位置有关，与物体所经过的路径无关，所以从抛出点至回到原出发点的过程中，重力做功为零，故AB错误；
CD．阻力对物体做功与物体经过的路径有关，上升和下降过程中阻力做的功都是-F阻h，所以空气阻力做的总功为-2F阻h，故D正确，C错误。
故选D。
6．BD
【详解】AB．工人拉绳子的力
工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移
人拉绳子的力做的功
故A错误，B正确；
C．重力做功
故C错误；
D．由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故D正确。
故选BD。
7．A
【详解】功是标量，合力做的功等于各力做功的代数和，则有
故选A。
8．D
【详解】根据物体做匀加速运动
平均功率为P为
联立解得
将水平拉力增加为16F，使同一物体从静止开始移动s，平均功率为
故选D。
9．BCD
【详解】A． 图像斜率表示加速度，故
故A错误；
B．受力分析得
解得
故B正确；
C．4s末F的功率大小为
故C正确；
D．4s内F做功的平均功率为
故D正确。
故选BCD。
10．D
【详解】A．小李每次跳跃腾空的时间
完成一次跳跃的时间
1分钟内跳跃的次数
故A错误；
B．小李起跳时的速度大小
故B错误；
C．小李上升过程中克服重力做的功
故C错误；
D．因此该过程中小李克服重力做功的平均功率
故D正确。
故选D。
11．AD
【详解】A．0~4s时间内拉力恒定为3N，位移为v-t图像的面积，则拉力做的功为
故A正确；
B．4s~6s时间内物体做匀速运动，受到的拉力与滑动摩擦力平衡，滑动摩擦力等于2N，合力为0做功为0，0～4s是滑动摩擦力等于2N，合力为1N，则0～6s合力做的功为
故B错误；
C．t=5s时物体匀速运动，合外力为0，合外力做功的功率也为0，故C错误；
D．根据B选项分析，滑动摩擦力为2N，则0~8s时间内，物体克服摩擦力所做的功为
故D正确。
故选AD。
12．AD
【详解】AB．小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，故小球击中斜面前瞬间，速度方向与竖直方向的夹角为
解得
此时重力做功的功率为
选项A正确，B错误；
CD．平抛运动的时间为
下降的高度为
重力做功的平均功率
选项C错误，D正确。
故选AD。
13．B
【详解】依题意，可知小滑块沿光滑斜面下滑的过程中，只有重力对其做功，所以小物块所受合外力对其所做的功等于重力所做的功，均为
所以
物块沿甲斜面下滑时，根据牛顿第二定律有
又因为
联立可得，物块沿甲斜面下滑时所用时间为
同理可得，物块沿乙斜面下滑时所用时间为
因为
所以
由于物块沿两斜面下滑过程中，重力做的功相等，根据重力的平均功率
可得
故选B。
14．BCD
【详解】A．重力竖直向下，位移水平向右，故重力对物体不做功，故A错误；
B．合力为0，故合力对物体做功为零，故B正确；
C．摩擦力沿斜面向上，与位移的夹角为钝角，故摩擦力对物体做负功，故C正确；
D．支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，故支持力对物体做正功，故D正确。
故选BCD。
15．BC
【详解】A．重力做功与初末位置的高度差有关，所以重力做功为
WG=mgL
故A错误；
B．因为绳的拉力FT始终与球的运动方向垂直，所以不做功，故B正确；
CD．F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和，即
WF阻=-（F阻△x1+F阻△x2+…）=-F阻πL
故C正确，D错误。
故选BC。
16．D
【详解】由题意可知，阻力f与深度h成正比，其图像，如图所示
对于力—位移图像来说，其图像与坐标轴围成的面积等于力所做的功，每次打桩机对圆柱体做的功相同，如图所示可得，每次围成的面积相同，根据边长比的平方等于面积比，有
整理得
故选D。
17．B
【详解】木块漂浮在水面上时有
F浮=G=ρga3
木块上表面刚浸没时受到的浮力为
F′浮=ρ0ga3
浮力做的功为
W=h=ga3h（ρ＋ρ0）
故选B。
18．A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°
Wn=Flncos37°
故
故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD错误。
故选A。
19．C
【详解】在F-x图像中，图线与x轴所围面积的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，面积
W=S===Fm·=Fmx0=
故选C。
20．D
【详解】小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，对每一小段圆弧有
Wi=-FfiΔxi
而小球在水平面内做圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力FN提供的，即
FN=F向=m
由于m、R不变，摩擦力对小球做负功，所以小球运动速率v减小，向心力减小，即FN减小，由Ff=μFN知，滑动摩擦力Ff也减小，经过每一小段圆弧，摩擦力做的功将逐渐减少，一周内有
W1>W2
W1和W2均为负功，有
W3=W1+W2
故选D。
21．（1）1.5×104J；（2）
【详解】由题意得：
（1）重力做的功为
=1.5×104J
（2）摩擦力大小为
则摩擦力做功为
22．A
【详解】两球质量相等，因铅球的密度较大，则体积较小，半径较小，放在同一桌面上时，铅球的重心较低，则重力势能较小。
故选A。
23．98J，增加了98J
【详解】铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了
因而克服铁链重力所做的功为
根据重力做功与重力势能的关系可知，铁链的重力势能增加了98J。
24．CD
【详解】A．设木板的长度为L，与竖直方向的夹角为，物块下滑到底端的过程，据动能定理可得
由于木板1和2在水平方向的投影x相同，物块沿着1下滑的高度h较大，可知沿着1到达底端的速度大于沿着2到达底端的速度，故A错误；
B．与物块沿着2下滑过程对比，物块沿着3下滑到底端的过程，h相同，x较大，故沿着3下滑到底端时速度最小，故B错误；
CD．据功能关系可得，产生的热量为
物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量最多，沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多，故CD正确。
故选CD。
25．C
【详解】由题可知，重物在被拉动的过程中受四个力的作用，其中支持力不做功，重力和摩擦力做负功，拉力做正功，而重物被缓慢拉到CD线上过程中，所有外力做功的代数和为零，但其中重物重力做功不变，摩擦力大小不变但在的作用下在斜面上发生的位移比在作用下的大，故在的作用下克服摩擦力做功较多，故在这个过程中做功较多；由受力关系可知
但在的作用时和之间有夹角，故其合力小于。
故选C。
26．B
【详解】A．若斜面光滑，合外力做功等于恒力F做功与重力做的功之和，当恒力F做功与物块克服重力做的功相等时，合外力做功为零，总功率保持为零不变，动能不变，A说法正确，不符合题意；
B．当恒力F垂直于斜面的分力使支持力为零时，摩擦力为零，动能仍保持不变，小物块匀速上滑，B说法错误，符合题意；
C．若斜面光滑，根据动能定理
使F最小，则
F与斜面的夹角α为零，C说法正确，不符合题意；
D．若斜面粗糙，摩擦力最小为0，支持力为0,有
因为恒力F做功与物块克服重力做的功相等，则
得
D说法正确，不符合题意。
故选B。
27．B
【详解】A.当滑块匀速运动时，处在光滑地带的滑块间的轻杆上的弹力都为零，处在粗糙地带上的滑块间的轻杆上弹力不为零，且各不相同，故A错误；
B.将匀速运动的8个小滑块作为一个整体，有
解得
从开始到第4个小滑块过O点进入粗糙地带前这一过程中，由动能定理得
解得
故B正确；
C.第5个小滑块完全进入粗糙地带到第6个小滑块进入粗糙地带前这一过程中，8个小滑块看作整体，由牛顿第二定律
解得加速度大小为
故C错误；
D.假设第7个滑块刚好能到达O点，由动能定理有
解得
＜0
故第7块滑块不能到达O点，故D错误。
故选B。
28．D
【详解】A．若动车组做匀加速启动，则加速度不变，而速度增大，则阻力也增大，要使合力不变则牵引力也将增大，故A错误；
B．若动车组输出功率均为额定值，则其加速
随着速度增大，加速度减小，所以动车组做加速度减小的加速运动，故B错误；
C．对动车组根据动能定理有
所以克服阻力做的功
故C错误；
D．当动车组的速度增大到最大vm时，其加速度为零，则有
若总功率变为2.25P，则同样有
联立两式可得
故D正确。
故选D。
29．（1）；（2）。
【详解】（1）由已知条件知，重物做匀加速直线运动的时间为，加速的距离为，有
解得
（2）重物做匀加速直线运动的速度最大时，钢缆对重物拉力的功率最大，设重物做匀加速直线运动时的最大速度为，钢缆对重物的拉力大小为，则有
解得
30．C
【详解】在时间内，根据
而
可知
由于图像可知，汽车的牵引力保持不变，做匀加速直线运动，到时刻，达到额定功率；在时间内，随着速度的增加，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，到时刻，恰好达到最大速度，此时
可知
因此在时刻的速度小于。
故选C。
31．（1）100m/s；（2）50s,；（3）
【详解】解：（1）当列车的牵引力与阻力大小相等时，列车速度达到最大，列车做匀速运动，根据力的平衡可知牵引力
列车能达到的最大速度
（2）列车从静止开始以的加速度做匀加速运动，设这种加速运动能达到的最大速度为，所需的时间为t，当列车达到速度时，列车的实际功率恰好达到额定功率，根据功率公式有
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
25秒末列车的速度
25秒末列车的瞬时功率
（3）设列车速度为时牵引力大小为，加速度大小为，根据功率公式可知
根据牛顿第二定律
32．（1）200s；（2）m
【详解】（1）设动车组在运动中所受阻力为f，动车组的牵引力为F，动车组以最大速度匀速运动时
F=f
动车组总功率
设动车组在匀加速阶段所提供的牵引力为F′，匀加速运动的末速度为v′，由牛顿第二定律有
动车组总功率
运动学公式
解得匀加速运动的时间
s
（2）设动车组变加速运动的位移为x，根据动能定理
解得
m
33．BD
【详解】A．对小球进行受力分析，设绳子的拉力为F，则由题意可得
随着θ减小，拉力F一直大于重力，故A错误；
B．由题意及几何关系可得
由可得，小球的线速度始终小于等于ωlsinθ，故B正确；
CD．由题意，重力做功为
由动能定理可知，动能的变化量和重力所的功全部用来克服空气阻力做功，即
由于小球动能变化量大于零，则空气阻力做的功大于mgl（1-cosθ），故C错误，D正确。
故选BD。
34．C
【详解】AB．小滑块滑到轨道最低点N时，根据向心力公式有
从释放到N点，根据动能定理有
从释放到Q点，根据动能定理有
由于轨道存在摩擦力，在NQ段比PN段等高位置速度小，向心力要小，滑块受到的支持力小，摩擦力小所以有
联立解得
，
故AB错误；
CD．将PN部分微元处理，若干个割线等效处理成斜面，则在斜面做功为
实际下滑过程中 每一处都是曲面，支持力大于重力的垂直分量，故
即
解得
故C正确，D错误。
故选C。
35．BD
【详解】AB．物块经过B点进入轨道瞬间，由牛顿第二定律得
其中
解得
故A错误，B正确；
C．物块恰能到C点，有
B到C由动能定理得
得阻力的功为
C错误；
D．A到B由动能定理得
得弹簧的弹性势能
D正确。
故选BD。
36．（1）60N；（2）0.8m；（3）1.5m
【详解】（1）根据机械能守恒
根据牛顿第二定律
解得
（2）从A到D的过程中，根据动能定理
滑块从D点做竖直上抛运动，由运动学公式
得
（3）设滑块在BC段通过的总路程为s，对全程，由动能定理
得
分析得
可知，此时滑块距B点1.5m。
37．AD
【详解】A．根据动能定理
解得克服摩擦力做功
故A正确；
B．第二次，由于物块运动到某一位置速度小于第一次物块在该位置的速度，因此正压力小于第一次的正压力，摩擦力小于第一次的摩擦力，因此从A到C克服摩擦力做功小于，根据动能定理可知，物块到达点的速度不为零，故B错误；
C．第一次，物块由A运动到B克服摩擦力做的功大于B到C摩擦力做的功，大于，因此到B点的最大动能小于
故C错误；
D．第一次，物块从A运动到C的过程中，从A运动到B过程中与从B运动到C过程中在等高位置，物块从A运动到B过程中的速度大，因此正压力大，摩擦力大，因此物块从A点运动到B点克服摩擦力做的功大于从B点运动到C点克服摩擦力做的功，故D正确。
故选AD。
38．（1）；（2）0.8m
【详解】（1）由题知，小球恰好到达轨道最高点D，则有
小球从A点到D点根据动能定理有
联立解得
（2）小球由A到D点，根据机械能守恒，有
小球从D点飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律，在水平方向
d = vt
在竖直方向
联立解得
当时，d有最大值，解得
39．CD
【详解】A．根据牛顿第二定律得
解得
若时，则A、B一定会发生相对滑动，A错误；
B．拉力F做的功等于A、B系统动能的增加量与产生的热量之和，B错误；
C．根据动能定理，拉力F和f1对A做的功之和一定等于A的动能的增加量，C正确；
D．根据动能定理， f2对B做的功一定等于B的动能的增加量，D正确。
故选CD。
40．（1）2m/s2，7m/s2；（2）10.2J；（3）80.28J
【详解】（1）滑块与木板取得相同的速度前，对滑块和木板根据牛顿第二定律分别有
解得
，
（2）设经过t1时间两者速度相等，根据运动学规律有
解得
此时两者的共同速度为
到达共同速度前，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
到达共同速度后，假设两者可以以相同的加速度做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
解得
此时滑块所受摩擦力大小为
即假设不成立，所以到达共同速度后两者做加速度不同的匀减速运动，对滑块和木板分别有
解得
，
易知木板先停止运动，从达到共速到各自停下的过程中，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
根据功能关系可得
（3）两者共速后，设木板经t2停止运动，则
木板停下时，滑块的速度为
从开始至木板刚停止时，根据能量守恒定律有
解得
41．B
【详解】A．根据牛顿第二定律得，木块m的加速度
木板M的加速度
设木板长为L，根据
解得
若仅增大木板的质量M，m的加速度不变，M的加速度减小，则时间t减小。故A错误；
B．由A的分析知，若仅增大小木块的质量m，则m的加速度减小，M的加速度增大，则t变大，故B正确；
C．由A的分析知，若仅减小木板的质量M，m的加速度不变，M的加速度增大，则时间t增大，由
知力F方向上的位移x增大，故恒力F做功W增加，故C错误；
D．系统摩擦生热Q等于小物块克服摩擦力做的功
若仅增大恒力F，则系统的摩擦生热Q不变，故D错误。
故选B。
42．（1） ；（2） 二等奖；（3）
【详解】（1）若顾客获四等奖，刚好到a木板右侧时，滑块初速度最大为，滑块与木板之间的摩擦力为
地面对abcd木板的摩擦力
由于则木板静止不动，对滑块
解得
（2）由可知滑块可以滑上b木板，当滑块到b木板上时，地面对bcd木板的摩擦力
滑块与木板之间的摩擦力为
由于则木板静止不动。
当滑块滑到b木板的右侧时，设速度为，对滑块
可知滑块会滑上c木板，地面对cd木板的摩擦力
可知cd木板恰好不动，根据运动学公式
解得
可知滑块停止在c木块上，顾客获二等奖；
（3）若滑块恰好到d木块时，因摩擦产生的总热量最少
当滑块到d木板上时，木板d受到地面的摩擦力
滑块与木板之间的摩擦力为
由于，则木板d会发生滑动，木板的加速度为
滑块在木板上的加速度
当木块刚好到d木板右侧时滑块、木板共速，摩擦力产生的热量最多，设这种情况下，滑块滑上d木板时的速度为，根据速度关系
可得
根据位移关系可得
解得
滑块和木板到达共同速度后，一起做匀减速运动，直至静止，根据能量守恒定律可得产生的热量
所以顾客获得一等奖，求因摩擦产生的总热量Q的取值范围
43．AC
【详解】A．由题意知，传送带足够长，所以物块先匀减速到与传送带共速，之后再与传送带一起匀速直线运动，A正确；
BD．由动能定理得，传送带对物块做的功为
物块的动能减少了18.75J，BD错误；
C．由图像可知，t=0.5s时物块与传送带共速，则加速度为
又由牛顿第二定律知
解得
C正确；
故选AC。
44．AC
【详解】A．工件所受重力沿传送带向下的分力大小
滑动摩擦力大小
当工件的速度大于传送带的速度时，工件受到沿传送带向下的滑动摩擦力，因此工件匀减速上滑，上滑的加速度大小
工件从A端上滑至与传送带速度相同的时间
此后工件继续匀减速上滑，上滑的加速度大小
从工件与传送带达到共同速度至工件到达B端的时间
因此工件沿传送带上滑的时间
故A正确；
B．A、B两端的距离
设工件返回A端时的速度大小为，则有
解得
故B错误；
C．根据动能定理可知，工件在传送带上滑行的过程中，摩擦力对工件做的功
故C正确；
D．工件从B端下滑至A端的时间
工件在传送带上滑行的过程中，因摩擦产生的热量
故D错误。
故选AC。
45．BD
【详解】A．设物体相对传送带滑动时的加速度大小为a，则物体从放上传送带到速率达到v所经历的时间为
t时间内物体和传送带的位移大小分别为
物体相对于传送带滑动的位移大小为
设传送带倾角为θ，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，则根据牛顿第二定律可得
物体与传送带因摩擦产生的热量为
故A错误；
BC．根据功能关系可知，传送带对物体做功等于物体机械能的增加量，即
故B正确，C错误；
D．根据能量守恒定律可知，为传送物体，电动机需对传送带额外做功为
故D正确。
故选BD。
46．ABD
【详解】A．滑块先在摩擦力作用下向左减速运动，速度由v2减小到0，再在摩擦力作用下向右加速运动，由于v2>v1，速度先增加到v1与传送带间无相对运动而摩擦力消失，之后再以速度v1匀速运动到传送带右端，故A正确；
B．由动能定理知此过程中传送带对滑块所做功等于滑块动能变化量，即
W=－
故B正确；
D．由功能关系可知，此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量等于摩擦力与相对路程的乘积，以传送带为参考系，滑块以初速度v2+v1向左匀减速运动，加速度
故摩擦产生的热量为
故D正确；
C．由能量守恒，此过程中电动机对传送带所做功等于摩擦产生的热量与滑块获得的动能
或由功能关系可知，电动机对传送带多做的功等于传送带克服摩擦力所做功，即
故C错误。
故选ABD。
47．（1）0.5m；（2）3200J
【详解】（1）由题意，贷物恰好能滑入二楼仓库则在圆轨道的最高点E，恰好由重力提供向心力，得
mg=
所以
vE＝2m/s
货物到达仓库后在运动的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得
代入数据得
s=0.5m
（2）货物从B到达E的过程中重力和摩擦力做功，由动能定理得
代入数据得
vB=8m/s
货物在传送带上加速时，沿水平方向的摩擦力提供加速度，由牛顿第二定律得
ma=μ1mg
所以
a =2m/s2
货物从开始运动到速度等于8m/s的过程中的位移为x，则
2ax＝vB2
代入数据得
x=16m
该过程中的时间
t=＝4s
该过程中传送带的位移
x′=vt=48m
货物相对于传送带的位移
所以传送带把货物从A端运送到B端过程中因摩擦而产生的内能
48．D
【详解】A．小球从A到B的过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球机械能增大，故A错误；
B．小球所受合力为零时速度最大，此时弹簧处于压缩状态，所以该位置在A、B之间，故B错误；
C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，从A到B的过程中，小球重力势能一直增大，所以小球动能和弹簧弹性势能之和一直减小，故C错误；
D．易知小球上升至B点时的速度不为零，设从A到B弹簧弹力对位移的平均值为，根据动能定理有
所以
根据胡克定律可知，从A到B，弹簧弹力与小球位移成线性关系，且小球在B点时弹簧弹力为零，所以
即
在A点，根据牛顿第二定律有
解得
故D正确。
故选D。
49．AB
【详解】A．由于在最高点b，除了受重力外还受到向后的空气阻力，因此加速度大于g，故A正确；
B．从a到c的过程中，由空气阻力做负功，机械能减少，炮弹通过a点时的速度大于通过c点时的速度，故B正确；
C．炮弹从a到b点时由空气阻力做负功，机械能减少，炮弹到达最高点b的机械能小于它在a点的机械能，故C错误；
D．由于空气阻力的作用，炮弹由O点运动到b点和由b点运动到d点并不对称，运动时间并不相同，故D错误。
故选AB。
50．CD
【详解】A．火箭升空过程中，做加速运动，重力势能增大，动能增大，机械能增大，故A错误；
B．力F拉着物体匀速上升过程中，重力势能增大，动能不变，机械能增大，故B错误；
C．小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不变，小球机械能守恒，故C正确；
D．小球在光滑的碗里做复杂的曲线运动，只有重力对小球做功，小球机械能守恒，故D正确。
故选CD。
51．BD
【详解】A．由于有弹簧的弹力做功，故滑块的机械能不守恒，故A错误；
B．将滑块与弹簧看成一个系统，由于杆表面光滑，故滑块与弹簧构成的系统机械能守恒，故B正确；
C．当弹簧的弹力大小与重力大小相等时，加速度为零，速度最大，而O点是弹簧的原长点，故滑块在O点的速度不是最大，故C错误；
D．滑块从A到O，刚开始弹簧的弹力大于重力，则有
由于形变量减小，故加速度减小，方向向上；然后，加速度为零，速度最大，之后弹簧的弹力小于重力，则有
由于形变量进一步减小，故加速度增大，方向向下，之后O到B，只受重力作用，加速度为g，保持不变，故D正确。
故选BD。
52．AD
【详解】A．在运动的过程中机械能守恒，因此它落到平台上时的总机械能等于初始状态的总机械能，因此它的总机械能等于，A正确；
B．由于到达最高点时，只有水平分速度，因此在最高点时的总机械能可表示为
B错误；
CD．根据机械能守恒可知
因此它落到平台上时的动能为
从最高点到高度h处由动能定理可得
C错误，D正确。
故选AD。
53．BCD
【详解】A．以地面为参考平面，则物体落到海平面时的势能为，选项A错误；
B．重力对物体做的功为，选项B正确；
C．根据动能定理，物体在海平面上的动能为
选项C正确；
D．物体在地面上时的机械能为，物体的机械能守恒，则在海平面上的机械能为，选项D正确。
故选BCD。
54．D
【详解】设小环进入较低的水平杆时的速度为v2，根据机械能守恒定律得
解得
两个小环达到较低杆的时间差为
进入较低的水平杆运动时，两环的距离为
故选D。
55．AD
【详解】A．小球刚释放瞬间只受重力作用，故小球刚释放时的加速度为g，故A选项正确；
B．由于小球和细绳在水平方向以上，且初速度为零，所以小球先做自由落体运动，等细绳和小球运动到再次与O点距离为L的B点时，绳立即绷紧，设小球到达B点的速度为，此速度可分解为沿着绳子方向的速度，沿着圆周切线方向运动的速度，分速度在细绳绷紧瞬间消失，小球以分速度沿着圆周开始做圆周运动，直至最低点C点，设小球在C点的瞬时速度为，如图所示，小球运动到轻绳与竖直方向成60°角位置即B点，绷紧前，根据
所以此位置小球的向心力为
故B选项错误；
C．小球从静止释放到细绳与竖直方向成60°位置前的过程中，小球做自由落体运动，细绳对小球的作用力为零，故C选项错误；
D．小球从B点开始做圆周运动到达C点的过程中，根据动能定理
得出
再根据牛顿第二定律，有
解得
故D选项正确。
故选AD。
56．B
【详解】A．从A到B，由动能定理可得
解得
所以物体重力势能的减小量一定大于W，故A错误；
B．根据动能定理知
设到B处时弹簧的伸长量为h，由平衡条件可得
故
即
弹簧弹性势能增加量一定等于W，故B正确；
C．支持力对物体做负功，所以物体与弹簧组成的系统机械能减少W，故C错误；
D．若将物体从A处由静止释放，由A到B根据动能定理
而
则物体到达B处时的动能为W，故D错误。
故选B。
57．BCD
【详解】A．因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且，可知M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则在小球从M点运动到N点的过程中，弹簧的弹性势能先增大，后减小再增大；弹簧的弹力对小球先做负功，后做正功再做负功，故A错误；
B．当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，小球受到的合力为重力，小球的加速度为重力加速度；当弹簧恢复到原长时，小球只受重力作用，小球的加速度为重力加速度；故有两个时刻小球的加速度等于重力加速度，故B正确；
C．弹簧长度最短时，即弹簧处于水平方向，此时弹簧弹力与速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，故C正确；
D．由于M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，可知M和N两点处弹簧的压缩量等于伸长量，M和N两点处弹簧的弹性势能相等，根据系统机械能守恒可知，小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，故D正确。
故选BCD。
58．A
【详解】根据系统机械能守恒可得
根据弹力做功与弹性势能的变化，有
所以
故选A。
59．BC
【详解】A．在B点时弹簧在原长，则到达B点时的加速度为
A错误；
B．AB段与BC段关于B点对称，则在两段上弹力的平均值相等，则摩擦力平均值相等，摩擦力做功相等，B正确；
CD．设小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为Wf，小球的质量为m，弹簧具有的最大弹性势能为Ep。根据能量守恒定律得，对于小球A到B的过程有
A到C的过程有
mgh=2Wf
解得
，
即弹簧具有的最大弹性势能为；A到C过程中，产生的内能为
C正确，D错误。
故选BC。
60．BCD
【详解】A．由图（乙）所示图象可知，当小滑块运动到x2时，小滑块的加速度为零，小滑块所受合外力为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为（x2-x1），则有
k（x2-x1）=mgsinθ
解得弹簧的劲度系数为
故A错误；
B．由图（乙）所示图象可知，当小滑块运动到x2时，小滑块的加速度为零，速度打到最大值，根据能量守恒，得
联立解得
选项B正确；
C．由图（乙）所示图象可知，当小滑块运动到x3时，小滑块的加速度最大，根据牛顿第二定律
联立解得
选项C正确；
D．由图（乙）所示图象可知，当小滑块运动到x3时，弹簧的弹性势能有最大值，根据能量守恒，有
故D正确。
故选BCD。
61．CD
【详解】试题分析：由于“粗糙斜面ab”，故两滑块组成系统的机械能不守恒，故A错误；由动能定理得，重力、拉力、摩擦力对M做的总功等于M动能的增加，故B错误；除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化，故C正确；除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化，摩擦力做负功，故造成机械能损失，故D正确
考点：机械能守恒定律，动能定理的应用．
62．C
【详解】A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误；
B．根据几何关系可知，铁链长度为
铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h，根据机械能守恒有
代入数据解得
故B错误；
C．铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降
故C正确；
D．铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒有
解得
故D错误。
故选C。
63．（1）向下；（2）；（3）
【详解】（1）A在最高点时，杆对球B的作用力方向是向上，由牛顿第三定律知，球B对杆的作用力方向是向下。以杆为研究对象得，球A对杆的作用力方向是向上，由牛顿第三定律知，杆对球A的作用力方向是向下。
（2）设A在最高点时，杆对球A、B的作用力大小分别为、，则
对A
对B
得
（3）设A在最高点时，A、B的速度分别为、；设A在最低点时，B的速度，则
对A从最低点运动到最高点的过程中，取O点为零势能点，由机械能守恒定律
解得
64．B
【详解】B球下落的过程中，由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒
解得
故选B。
65．D
【详解】设小球a刚到达轨道最低点Q时速度为v，则由题意可得，此时小球b的速度为
对整个过程，由机械能守恒可得
解得
故选D。
66．C
【详解】AD．根据机械能守恒定律得
解得
根据动能定理得
解得
AD错误；
B．重力的功率为 ，杆水平时和杆竖直时vy=0，因为vy先增大后减小，所以重力对A球做功的功率先增大后减小，B错误；
C．杆竖直时，根据牛顿第二定律得
解得
C正确。
故选C。
67．ABC
【详解】Ａ．环从A到B的运动中，由系统的机械能守恒可得
解得
A正确；
B．环下落距离为时，设此时环的速度为v，则重物的速度为
在此运动中，对系统，由机械能守恒定律可得
解得
B正确；
C．由功能原理可知，环从A到Ｂ的过程，克服绳的拉力做的功等于此过程中重物增加的机械能，C正确；
D．由于重物的质量大于环的质量，环到Ｂ点后，接着在重物的作用下，又要返回，环和重物都有加速度，所以绳对重物的拉力不等于重物的重力，D错误。
故选ABC。
68．BD
【详解】AB．若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒可得
解得链条刚离开桌面时的速度为
B正确，A错误；
CD．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有
D正确，C错误。
故选BD。
69．ACD
【详解】当轻直杆与水平方向夹角为时，根据机械能守恒
又
得
，
当P刚要到达O点前瞬间，根据机械能守恒
此时与轻杆垂直，沿杆方向的速度分量为0，则
得
故选ACD。
70．D
【详解】A．由题可知，小球在下落过程中，机械能逐渐减小，所以小球受竖直向上的阻力，且图线切线的斜率为空气阻力，下落过程中斜率增大，空气阻力增大，根据牛顿第二定律可得
阻力增大，所以加速度减小，小球做加速度减小的加速运动，故A错误；
B．小球加速度的变化是由于空气阻力发生变化，而阻力不是均匀增大，所以加速度也不可能均匀减小，故B错误；
C．当高度为H时，速度为零，动能为零，当高度为0时，小球的速度不为零，故C错误；
D．图线的斜率表示重力，所以斜率不变，且当高度减小时，重力势能减小，故D正确。
故选D。
71．D
【详解】A．物体的机械能在减小，机械能不守恒，所以下滑过程中不只是只有重力做功，A错误；
B．下滑过程中机械能的减少量等于克服阻力做的功，所以有
B错误；
CD．设坡底时速度为，所以有
，，
联立解得
，
C错误，D正确。
故选D。
72．BC
【详解】如图，设两滑道与水平面夹角分别为α、β
则在第一段上动能有
设第一段末动能为，水平位移为x1，则在第二段上动能有
由于α>β，则可知图像如下
克服摩擦力做功等于机械能减少量，由于x表示水平位移，则在斜面上克服摩擦力做功有
可知当动摩擦因数一定时，克服摩擦力做功大小与角度无关，与水平位移成正比，设初始机械能为E1，因此全程有
作图如下
故选BC。
73．B
【详解】A．0~h0过程中，Ek-h图像为一段直线，由动能定理得
解得
F=2mg
故A错误；
B．由A可知，在0~h0过程中，F做功为2mgh0，在h0~2h0过程中，由动能定理可知
解得
WF=1.5mgh0
因此在0~h0和h0~2h0过程中，F做功之比为4：3，故B正确；
C．在0~2h0过程中，F一直做正功，故物体的机械能不断增加，故C错误；
D．在2h0~3.5h0过程中，由动能定理得
WF′-1.5mgh0=0-1.5mgh0
解得
WF′=0
故F做功为0，物体的机械能保持不变，故D错误。
故选B。
74． mgx2 A
【详解】（2）[1][2]小车拖动纸带移动的距离等于重物下落的距离，又小车所受拉力约等于重物重力，因此拉力对小车做的功：
小车做匀变速直线运动，因此打B点时小车的速度为打AC段的平均速度，则有：
（3）[3]由图示图线可知：
纵截距为：
则随变化的表达式为
（4）[4]若重物质量不满足远小于小车质量，则绳子对小车的拉力实际不等于重物的重力，由
和
可得：
由动能定理得：
而：
则实际图线的斜率
重物质量与小车质量不变，速度虽然增大，但斜率不变，且为正比例函数。
故选A。
75． BC##CB 1.06m 1.03m 存在空气阻力
【详解】（1）[1]B.应该保证重物尽量靠近打点计时器，而不是手。
C.应该先接通电源，然后释放纸带。
故选BC。
（2）[2]根据重力势能的公式，则有
[3]根据平均速度和动能的公式，则有
（3）[3]重力势能的变化量大于动能变化量有可能是因为存在空气阻力消耗能量导致。
76． BD##DB
【详解】（1）[1]AB．选用材质密度较大的小球，可以减小空气阻力的影响，小球直径较小能提高实验的精确度，故A错误，B正确；
CD．小球的释放点距离光电门的距离适当远些，可以减小距离的误差，，故C错误，D正确。
故选BD。
（2）[2] 根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度知，小球经过光电门时的速度为
[3] 若小球下落过程中的机械能守恒，则
则
（3）[4]由，可得
则斜率
所以重力加速度
77．
【详解】（2）[1]滑块通过光电门时的速度为
[2]根据牛顿第二定律知
根据运动学公式
解得
（3）[3]弹簧弹力做功为
摩擦力做功为
则合外力做的功为
[4]遮光条通过光电门计时器的速度
动能改变量为
78．
【详解】（1）[1]右端垫片的个数为n，则两端的竖直高度差为nh，滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，滑块重力势能的减少量
[2]滑块通过光电门的速度为
则此时滑块的动能为
（2）[3][4][5]若要符合机械能守恒定律的结论，则有
即
变形得
由上式可知，变形得
故若以n为纵坐标，以为横坐标，则其图像为线性图像，图像的斜率
79． 1.20 3.75 AC##CA
【详解】（1）[1][2]用刻度尺测量遮光条宽度，刻度尺分度值为0.1cm，以cm为单位，估读到小数点后第2位，由乙图可知读数为
d=1.20cm
某次测量中，计时器的示数为0.00320s，则钢球经过A时的速度
（2）[3] 测得减少的重力势能为1.034J，小球经A处的动能为1.143J，即减少的重力势能小于A处的动能。
A．释放时给了小球一个初速度，则小球具有初动能，可导致小球在A处的动能大于减少的重力势能，A正确；
B．钢球下落过程中存在空气阻力，可导致减少的重力势能大于小球在A处的动能，B错误；
C．实验中用的是遮光条的速度，比钢球实际速度略大，可导致计算小球在A处的动能时偏大，C正确；
D．所测钢球摆下高度h为释放时球心到球在A点时底端之间的高度，可导致计算重力势能减少量时偏大，D错误。
故选AC。
80． 3
【详解】（1）[1]将遮光片通过光电门的平均速度看做滑块通过B点时的瞬时速度，则有
（2）[2]滑块自A点由静止释放到B点的运动中，滑块、遮光片和砝码组成的系统重力势能的减少量
系统动能的增加量为
若系统的机械能守恒，则有
整理可得
由图像的斜率
代入数据解得
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第六章圆周运动
一．描述圆周运动的物理量
1．周期、频率、转速
周期：做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，用T表示；周期的倒数为频率，频率用f表示；
转速：转速是单位时间内物体转过的圈数，用n表示；
周期、频率和转速的关系为：T=_______=_______
2．线速度
定义：描述圆周运动的物体运动_______的物理量，是矢量，方向和半径_______，和圆周_______。
定义式：v=_______
3．角速度
定义：描述物体绕_______转动快慢的物理量
定义式：ω=_______，单位rad/s
4．线速度和角速度的关系：v=_______
5．向心加速度
定义：描述线速度_______变化快慢的物理量，方向指向圆心。
定义式：an=_______=_______=_______=_______
6．向心力
作用效果：产生向心加速度，只改变速度的_______，不改变速度的_______。
大小：Fn=_______=_______=_______=_______
方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变
二．常见的传动方式
1．皮带传动：边缘处线速度大小相同
2．摩擦传动：边缘处线速度大小相同
3．同轴转动：角速度、周期和频率相同
三．离心运动和近心运动
1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离_______的运动。
2．受力特点(如图)
①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动；
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐靠近圆心，做_______运动。
3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。
四．匀速圆周运动与变速圆周运动
1．匀速圆周运动：合外力完全提供_______。
2．变速圆周运动
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动；
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的_______。
五．水平面内的匀速圆周运动
1．汽车在水平路面转弯
2．火车转弯
3．圆锥摆
4．水平转台（光滑）
3．水平转台（粗糙）
六．竖直平面内的圆周运动
1．拱桥模型
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
向心力
对桥的压力 FN′= FN′=
结论 汽车对路面的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力
2．轻绳模型
比较项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
力学方程
临界特征 FT=0，即，得
的意义 物体能否过最高点的临界点
3．轻杆模型
比较项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
临界特征 v=0，即F向=0，此时FN=mg
的意义 FN表现为拉力还是支持力的临界点
研究传动问题时需要注意两个问题：
1．选取合适的模型，判断线速度和角速度是否有相等的关系；
2．根据判断线速度和角速度的关系，从而判断向心加速度的关系。
【例题】
1．如图所示，皮带传动装置右轮的半径为r，a是它边缘上的一点；左侧为一轮轴，大轮的半径为，小轮的半径为，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑，则（　　）
A．a点与c点的角速度相等
B．b点与d点的角速度相等
C．a点与d点的向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点
【练习题】
2．修正带是学生常用的学习工具之一，其结构如图所示，包括上下盖座、大小齿轮、压嘴座等部件，大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互啮合，a、b两点分别位于大小齿轮的边缘，则关于这两点的线速度大小、角速度关系说法正确的是（　　）
A．线速度大小相等，角速度不等 B．线速度大小不等，角速度相等
C．线速度大小相等，角速度相等 D．线速度大小不等，角速度不等
3．如图为一种“滚轮—平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可带动从动轴转动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦力的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是（　　）
A．n2＝n1 B．n1＝n2
C．n2＝n1 D．n2＝n1
4．英语听力磁带盒的示意图如图所示，A、B为缠绕磁带的两个轮子，其半径均为r。当放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径。现在进行倒带，使磁带绕到A轮上，可以认为此过程A轮是主动轮，B轮是从动轮，主动轮的角速度不变。经测定磁带全部绕到A轮上需要的时间为t，当B轮的角速度也为时所用的时间记为，此时磁带的线速度记为v，磁带厚度均匀，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
匀速圆周运动的特点：
1．运动学特点：角速度恒定，线速度大小不变。
2．动力学特点：做匀速圆周运动的物体所受合外力完全提供向心力。
所以，分析匀速圆周运动的关键点在于通过受力分析判断哪些力提供向心力。
【例题】
5．当老鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力。已知当质量为m的老鹰以速率v匀速水平盘旋时，半径为R，则其向心力为（　　）
A．mv2R B． C． D．
【练习题】
6．旱冰爱好者在地面上滑行如图所示，若他正沿圆弧弯道以不变的速率滑行，则他（　　）
A．做匀速运动 B．所受的合力为0
C．受到重力和向心力 D．向心力方向不断变化
7．一质点沿螺旋线自外向内运动，如图所示，已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该质点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．质点运动的线速度越来越大 B．质点运动的向心力越来越大
C．质点运动的角速度越来越大 D．质点所受的合力不变
8．我市某公园有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为（小于），当模型飞机以恒定角速度绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A．模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力
B．旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直
C．旋臂对模型飞机的作用力大于
D．若仅减小夹角，则旋臂对模型飞机的作用力减小
【易错题小练】
9．如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（）
A． B．
C． D．
10．已知飞镖到圆盘的距离为L，且对准圆盘边缘上的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，求：
（1）飞镖打中A点所需的时间；
（2）圆盘的半径r；
（3）圆盘转动角速度的可能值。
1．如图所示
向心力
且，解得
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力
和运动所需向心力也越大。
【例题】
11．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个完全相同的小球A、B，细线上端固定在同一点，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动。已知A球细线跟竖直方向的夹角为30°，B球细线跟竖直方向的夹角为45°，下列说法正确的是（　　）
A．小球A和B的角速度大小之比为 B．小球A和B的线速度大小之比为
C．小球A和B的向心力大小之比为 D．小球A和B所受细线拉力大小之比为
【练习题】
12．如图所示，两根长度不同的细线分别系有1、2两个质量相同的小球，细线的上端都系于O点，细线长L1大于L2现使两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动，下列说法中正确的有（　　）
A．球2运动的角速度大于球1的角速度
B．球1运动的线速度比球2大
C．球2所受的拉力比球1大
D．球2运动的加速度比球1大
13．天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1 ≠ m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．球A、B运动的周期之比等于m2：m1
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2：m1
D．球A、B运动的线速度之比等于m2：m1
14．如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动的周期为 B．小球运动的线速度为
C．陶罐对小球的支持力为 D．小球运动的向心加速度为
15．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
A．转台的角速度一定等于 B．物块的线速度大小可能等于
C．物块所受合力的大小一定等于 D．陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg
【易错题小练】
16．如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度不可能是（）（ ）
A．2rad/s B．2.5rad/s C．3.5rad/s D．4rad/s
17．如图所示，用一根长为l的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ。设小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，重力加速度为g，求：
（1）若要小球刚好离开锥面，则此时小球的角速度为多大？
（2）细线的张力T与小球匀速转动的角速度有关，请通过计算在图中画出在不同取值范围的T-ω2的图象（要求标明关键点的坐标）。
水平转盘上的物体做匀速圆周运动，主要有一下几个关键点：
1．确定研究对象的受力特点；
2．研究对象所受力在水平方向的分力共同提供向心力；
3．判断研究对象发生的受力临界和滑动临界。
【例题】
18．如图所示，小木块a、b和c(均可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为，c的质量为，a与转轴的距离为，b、c与转轴的距离为且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为。若圆盘从开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是（ ）
A．b、c所受的摩擦力始终相等
B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C．b和c均未滑落时线速度一定相等
D．b开始滑动时的角速度是
【练习题】
19．如图所示，两个可视为质点的质量不等的木块A和B，A的质量大于B的质量，放在水平转盘上，A与圆心O、A与B距离都为L。木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，整个装置能绕通过转盘中心的转轴ab转动。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　）
A．当角速度增大过程中，B先滑动
B．当，A一定出现滑动
C．当，A与B都出现滑动
D．将A与B的位置对换后，由于A的质量大于B，还是B先滑动
20．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当，绳子一定有弹力
C．ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【易错题小练】
21．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　）
A．当转盘匀速转动时，物块P所受摩擦力方向为c方向
B．当转盘匀速转动时，物块P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为b方向
22．如图所示，水平圆盘上有A、B两个物块，中间用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。它们一起随圆盘绕竖直中心轴转动，转动角速度由零逐渐增大，转动半径，质量，A、B两物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．当时，绳中恰好出现拉力
B．A物块受到的摩擦力一旦达最大值，再增大，两个物块将一起相对圆盘滑动
C．要使A、B两物块与圆盘保持相对静止，的最大值为
D．当A、B两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，绳中的拉力为
23．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块处于静止状态，用长为L的细绳将物块连接在转轴上，细线与竖直转轴的夹角为θ，绳子刚好拉直且绳中张力为零。物块与转台间的动摩擦因数为μ（μ（1）当绳中刚出现拉力时，转台的角速度大小；
（2）若物块的角速度增大到时，保持角速度不变，求此时绳子的拉力？
1．火车转弯问题中，当火车所受重力和轨道支持力完全提供向心力时，火车在斜面方向对内、外轨均无作用力，
即
解得
为火车转弯的半径。
2．拱桥模型
拱桥模型主要研究物体在拱桥的最高点和最低点的向心力判断，在最高点，物体的向心加速度竖直向下，物体处于失重状态，支持力小于重力；
在最低点，物体的向心加速度竖直向上，物体处于超重状态，支持力大于重力。
【例题】
24．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以特定的行驶速度转弯时，内轨与外轨均不会受到轮缘的挤压。若此速度大小为v，两轨所在平面的倾角为，则下列说法正确的是（　　）
A．该弯道的半径为（g为重力加速度的大小）
B．火车以大小为v的速度转弯时，火车受到的合力为零
C．若火车上的乘客增多，则特定的转弯速度将增大
D．若火车速率大于v，则外轨将受到轮缘的挤压
25．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【练习题】
26．如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车转弯时的向心加速度大小为gtan θ
B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用
C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力
D．水杯受到指向桌面内侧的静摩擦力
27．游乐场里的过山车（可视为质点）如图所示，过山车无动力运动过程中先后经过A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．在A点时过山车处于失重状态 B．在A点时过山车所受向心力较大
C．在B点时过山车处于超重状态 D．在B点时过山车所受向心力较大
轻绳模型和轻杆模型最大的区别在于最高点物体的动力学分析，轻绳模型在最高点没有支撑作用，所以物体在最高点速度不能为0；轻杆模型在最高点有支撑作用，所以物体在最高点速度可以为0。
【例题】
28．如图，轻绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度是0
B．小球过最高点时，绳子拉力可以为零
C．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时的最小速度是
29．如图甲所示，一长为L的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）
A．图像函数表达式为
B．重力加速度
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较大的球做实验，图像上b点的位置向右移
【练习题】
30．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径远小于管道半径R，下列说法中正确的是（　　）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．运动到a点时小球一定挤压外侧管壁
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，某时刻内、外侧管壁对小球作用力可能均为零
31．如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（　　）
A．小球在运动过程中向心加速度不变
B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为
D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为2mg
物体做圆周的关键点在于判断哪些力提供向心力，解决物体做抛体运动的关键点在于运动的合成与分解，两种运动的联系点在不同运动过程之间的速度关系。
【例题】
32．小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m = 100g的小球（大小不计），甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球在某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离s后恰好无碰撞地落在邻近的一倾角为α = 53°的光滑固定斜面体上并沿斜面下滑。已知斜面体顶端与小球做圆周运动最低点的高度差h = 0.8m，绳长r = 0.3m，重力加速度g取10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。求：
（1）绳断时小球的速度大小v1和小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s；
（2）绳能承受的最大拉力F的大小。
【练习题】
33．如图所示，天花板上悬挂的电风扇绕竖直轴匀速转动，竖直轴的延长线与水平地板的交点为O，扇叶外侧边缘转动的半径为R，距水平地板的高度为h。若电风扇转动过程中，某时刻扇叶外侧边缘脱落一小碎片，小碎片落地点到O点的距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，则电风扇转动的角速度为（　　）
A． B． C． D．
34．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量为，g取。则（　　）
A．小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是
B．小球经过管道的B点时，受到上管道的作用力的大小是
C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是
D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离是
35．如图所示，水平放置的正方形光滑木板abcd，边长为2L，距地面的高度为，木板正中间有一个光滑的小孔O，一根长为2L的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球A、B，两小球在同一竖直平面内。小球A以角速度在木板上绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，B也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，O点正好是细线的中点，其中，不计空气阻力，取.求：
（1）小球B的角速度；
（2）当小球A、B的速度方向均平行于木板ad边时，剪断细线，两小球落地点之间的距离。
利用向心力演示仪探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
1．实验器材—向心力演示仪
当转动手柄1时，变速塔轮2和3就随之转动，放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处，短臂挡板就推压球，给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用，短臂向外时，长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧，使测力部分套管7上方露出标尺8的格数，便显示出了两球所需向心力之比。
2．实验方法—控制变量法
（1）使两物体的质量、转动的半径相同，探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系。
（2）使两物体的质量、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系。
（3）使两物体的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。
3．实验过程
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样，探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
4．实验数据的处理和结论
（1）图像法处理实验数据
分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。
（2）实验结论
根据控制变量法制作表格，根据实验结果填写表格如下
相同的物理量 不同的物理量 实验结论
1 m、r ω ω越大，F越大，F∝ω2
2 m、ω r r越大，F越大，F∝r
3 r、ω m m越大，F越大，F∝m
公式 F=mω2r
【例题】
36．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置。转动手柄，可使两侧变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在左右两塔轮上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以各自的角速度做匀速圆周运动，其向心力由挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
（1）下列实验的实验方法与本实验相同的是 。
A．验证力的平行四边形定则
B．验证牛顿第二定律
C．伽利略对自由落体的研究
（2）若长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。探究向心力和角速度的关系时，若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板 和挡板 处（选填“A”、“B”或“C”），则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为 。若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与 成正比。
（3）为了能探究向心力大小的各种影响因素，左右两侧塔轮 （选填“需要”或“不需要”）设置半径相同的轮盘。
（4）利用传感器升级实验装置，用力传感器测压力F，用光电计时器测周期进行定量探究。某同学多次改变转速后，记录一组力与对应周期数据，他用图像法来处理数据，结果画出了如图所示的图像，该图线是一条过原点的直线，请你分析他的图像横坐标x表示的物理量是 。
A．T B． C．T2 D．
37．如图所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。
（1）若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g；
①从受力情况看，小球做匀速圆周运动所受的向心力是 （选填选项前的字母）；
A．小球所受绳子的拉力 B．小球所受的重力 C．小球所受拉力和重力的合力
②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做此圆周运动的向心力大小 （用m、n、t、r及相关的常量表示）。用刻度尺测得细线上端悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大小 （用m、h、r及相关的常量表示）；
③保持n的取值不变，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们想用图像来处理多组实验数据，进而验证小球在做匀速圆周运动过程中，小球所受的合力F与向心力大小相等。为了直观，应合理选择坐标轴的相关变量，使待验证关系是线性关系。为此不同的组员尝试选择了不同变量并预测猜想了如图所示的图像，若小球所受的合力F与向心力大小相等，则这些图像中合理的是 （选填选项的字母）；
A． B． C． D．
（2）考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是 （选填选项前的字母）；
A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响
B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆周运动的半径
C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差
D．在这个实验中必须测量出小球的质量
【练习题】
38．探究向心力大小F与小球质量m、角速度和半径r之间关系的实验装置如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂的挡板提供，同时，小球对挡板的弹力使弹簧测力筒下降，从而露出测力筒内的标尺，标尺上露出的红白相间的等分格数之比即为两个小球所受向心力的比值。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为。
（1）在这个实验中，利用了 （填“理想实验法”“等效替代法”或“控制变量法”）来探究向心力的大小与小球质量m、角速度和半径r之间的关系；
（2）探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量 （填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板C与 （填“挡板A”或“挡板B”）处，同时选择半径 （填“相同”或“不同”）的两个塔轮；
（3）当用两个质量相等的小球做实验，调整长槽中小球的轨道半径是短槽中小球轨道半径的4倍，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为，则左、右两边塔轮的半径之比为 ；
（4）若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径为，逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比会 。（填“变大”、“变小”、“不变”或“无法确定”）
39．图甲是探究向心力大小与质量m、半径r、线速度v的关系的实验装置图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速，光电计时器可以记录转台每转一圈的时间。用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮将金属块与力传感器连接，金属块被约束在转台的凹槽中并只能沿半径方向移动，且跟转台之间的摩擦力忽略不计。
（1）某同学为了探究向心力与质量的关系，需要控制 和 两个变量保持不变；
（2）另一同学为了探究向心力与线速度的关系，用刻度尺测得金属块做匀速圆周运动的半径为r，光电计时器读出转动的周期T，则线速度大小为v= （用题中所给字母表示）；
（3）该同学多次改变转速后，记录了一系列力与对应周期的数据，并在图乙所示的坐标系中描绘出了图线，若已知金属块质量m=0.24kg，则金属块转动的半径r= m。（结果保留两位有效数字）
40．某同学利用图中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素。
①实验时，圆柱体和另一端的挡光杆随旋臂一起做圆周运动，通过力传感器测得圆柱体受到的向心力F，测出挡光杆经过光电门的挡光时间。
②测得挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为，圆柱体做圆周运动的半径为r。
③保持圆柱体的质量和转动半径不变，改变转速重复步骤①，得到多组F．的数据，研究F与v关系。
（1）圆柱体转动线速度 （用所测物理量符号表示）。
（2）实验中测得的数据如表：
1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
甲、乙、丙三图是根据上述实验数据作出的、、三个图像，那么研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是 。
（3）上述图像是保持时得到的，由图可得圆柱体的质量为 kg（保留两位有效数字）。
（4）若研究F与r的关系，实验时应使挡光杆经过光电门时的挡光时间 （选填“变”或“不变”）。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BCD
【详解】A．由题意可得，a、c两点是同缘转动，则线速度大小相等，由于，由
可得
选项A错误；
B．由于b、d两点共轴转动，因此
选项B正确；
C．由题意可得，a、c线速度大小相等，由
可得
d、c角速度相等，由
可得
故a点与d点的向心加速度大小相等，选项C正确；
D．a点与d点的向心加速度大小相等，b、c、d角速度相等，根据
可得向心加速度最小的是b点，选项D正确；
故选BCD。
2．A
【详解】根据题意可知，大小齿轮由于边缘啮合，所以边缘上的点的线速度大小相等，而齿轮的半径不一样，由公式可知，角速度的大小不等。
故选A。
3．A
【详解】从动轴的转速为n2，滚轮半径为r，则滚轮边缘的线速度大小为
v2＝2πn2r
平盘与滚轮接触处的线速度大小为
v1＝2πn1x
根据v2＝v1，得
2πn2r＝2πn1x
解得
n2＝n1
故选A。
4．AC
【详解】AB．磁带的总长度不变，磁带对应的圆环面积不变，设当两轮角速度相等时磁带的半径为，有
解得
则
选项A正确、B错误；
CD．此过程中磁带的线速度随时间均匀增加，则
解得
选项C正确、D错误。
故选AC。
5．B
【详解】根据向心力计算公式得
故选B。
6．D
【详解】A．匀速圆周运动的速度方向是时刻改变的，故匀速圆周运动是变速运动，故A错误；
B．合力提供做圆周运动所需要的向心力，故B错误；
C．向心力是效果力，不是旱冰爱好者受到的力，故C错误；
D．向心加速度大小不变，方向时刻改变，故D正确。
故选D。
7．BC
【详解】A．质点沿螺旋线自外向内运动，说明运动轨迹半径R不断减小，根据其走过的弧长s与运动时间t成正比，设其比值为k，则有
可知，线速度大小不变，故A错误；
B．根据
可知，v不变，R减小时，F向增大，故B正确；
C．根据
可知，v不变，R减小时，ω增大，故C正确；
D．合力方向不断变化，故合力不断变化，故D错误。
故选BC。
【点睛】根据线速度的定义，结合题意判断线速度的变化情况。再结合线速度与角速度和向心力的关系进行分析解答。
8．CD
【详解】A．当模型飞机以角速度绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和支持力的作用，而向心力属于效果力，由重力和支持力的合力产生，故模型飞机受到的力为重力和旋臂的作用力，故A错误；
B．旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，但在竖直方向和水平方向有分力，且竖直方向的分力等于重力，水平方向的分力提供向心力，故B错误；
C．由力的合成关系可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为
故C正确；
D．根据旋臂对模型飞机的作用力大小的表达式，若夹角减小，则旋臂对模型飞机的作用力减小，故D正确。
故选CD。
9．BD
【详解】因为电扇叶片有三个，相互夹角为，现在观察者感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过三分之一、或三分之二，或一周…，即转过的角度为
（1，2，3，…）
由于光源每秒闪光45次，则转动的角速度为
（1，2，3，…）
转速为
（1，2，3，）
所以，转速为，所以，转速为，故AC错误，BD正确；
故选BD。
10．（1）；（2）；（3）（k＝0，1，2，…）
【详解】（1）飞镖水平抛出，在水平方向做匀速直线运动，因此飞镖打中A点所需的时间
（2）飞镖击中A点时，A恰好在最下方，有
求得
（3）飞镖击中A点，则A点转过的角度满足
（k＝0，1，2，…）
故
（k＝0，1，2，…）
11．AC
【详解】AB．受力分析得
又
得
故相同。又
A正确，B错误；
C．向心力为
故
故C正确；
D．拉力为
得
故D错误。
故选AC。
12．B
【详解】CD．设细线与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为mg，加速度大小为a，细线的拉力大小为T，小球在竖直方向合力为零，则
①
在水平方向根据牛顿第二定律有
②
根据①②解得
因为，所以
，
故CD错误；
A．设小球的角速度大小为ω，在水平方向根据牛顿第二定律有
③
根据①③解得
因为两小球在同一水平面上做匀速圆周运动，则相同，所以两小球的角速度大小相同，故A错误；
B．球1的运动半径比球2的运动半径大，根据可知球1运动的线速度比球2大，故B正确。
故选B。
13．C
【详解】A．对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有
FTcosθ = mg
拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有
解得周期为
因为任意时刻两球均在同一水平面内，h相等，所以两球运动的周期相等，A错误；
B．小球的向心加速度
两球做圆周运动半径r不相等，所以两球向心加速度大小也不相等，B错误；
C．连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力为
Fn = FTsinθ = mω2lsinθ
则有
故m与l成反比，C正确；
D．小球线速度v = ωlsinθ，结合选项C有
D错误。
故选C。
14．B
【详解】ABD．设小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析可知
其中
可得
选项AD错误，B正确；
C．陶罐对小球的支持力为
选项C错误。
故选B。
15．B
【详解】AB．小物块绕轴上等高位置做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩擦力为0，则有
解得
则此时线速度为
当小物块受摩擦力不为0时，则角速度不等于，物块的线速度也不等于，故A错误，B正确；
CD．当小物块受摩擦力为0时，物块所受合力的大小为0，则小物块受弹力不等于，合力也不等于2mg，故CD错误。
故选B。
16．ACD
【详解】当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如下图
由牛顿第二定律得
mgtan30°=mω12r
半径为
r=Lsin30°
解得
当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如下图
由牛顿第二定律得
mgtan45°=mω22r
解得
由此可知当
故选ACD。
17．（1）；（2）见解析
【详解】（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
解得
（2）当时
当时，小球受三个力：重力、支持力、拉力。根据牛顿第二定律有
水平方向有
竖直方向有
联立解得
显然是线性关系
当，小球恰离开锥面，则
当时，球离开锥面，绳子与竖直方向的夹角为，则
得
即也是线性关系;因此画出图象如图所示
18．B
【详解】AB．当a、b和c均未滑落时，三个小木块的角速度相等，由静摩擦力提供向心力，可知a、b和c受到的静摩擦力分别为
，，
可知当a、b和c均未滑落时，三个小木块受到的摩擦力大小关系为
故A错误，B正确；
C．b和c均未滑落时，b和c的角速度相等，根据
由于b和c的半径相等，可知b和c的线速度大小相等，但方向不同，故C错误；
D．设b开始滑动时的角速度为，则有
解得
故D错误。
故选B。
19．AC
【详解】A．A、B均由静摩擦力提供向心力，即将滑动时
可得
由于A距离O点较远，可知当角速度增大过程中，B先滑动，故A正确；
B．A出现滑动的临界条件为
所以当时，还未发生滑动，故B错误；
C．B发生滑动的临界条件为
由B选项分析可知，当时，B发生滑动，且A也一定发生滑动，故C正确；
D．由发生滑动的临界条件
可知将A与B的位置兑换后，是A先滑动，故D错误。
故选AC。
20．ABD
【详解】A．当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有
解得
所以，当时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；
B．当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有
解得
可知当时，绳子有弹力，故B正确；
C．当时，B已达到最大静摩擦力，则ω在范围内增大时，B受到的摩擦力不变，故C错误；
D．ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，当时，绳上无拉力，则
当ω增大时，静摩擦力也增大；
当时，B的摩擦力不变，有
可知随着ω增大，绳上拉力增大，对A有
得
可知随着ω增大，A所受摩擦力也增大，故D正确。
故选ABD。
21．A
【详解】AB．当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿半径指向圆心O点，故A正确，B错误；
C．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，即物块P所受摩擦力方向可能为b方向，故C错误；
D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，故D错误。
故选A。
22．C
【详解】A．当B恰好达到最大静摩擦力的时候，对B
解得
当A恰好达到最大静摩擦力的时候，对A
解得
可知B先达到最大静摩擦力，当此时绳中无弹力，故A错误；
B．当A的摩擦力达到最大时，B的摩擦力也达到最大值，再增大，绳中拉力继续变大，因A所需的向心力更大，则A的摩擦力保持不变，B所需的向心力较小，所以B的摩擦力减小，直到为零后反向逐渐增大，当反向达到最大值，A、B将一起相对圆盘向A的方向滑动，所以当A的摩擦力达到最大时，再增大，两物体不是立即相对圆盘产生滑动，故B错误；
CD．由上述分析可知当A所受的摩擦力指向圆心达到最大且B所受的摩擦力达到最大背离圆心时，A、B将与圆盘发生相对滑动，设此时绳中拉力为，则对A
对B
解得
故C正确，D错误。
故选C。
23．（1）；（2）
【详解】（1）转台由静止加速时，静摩擦力提供向心力，且逐渐增大，当静摩擦力达到最大时，绳中刚要出现拉力，此时最大静摩擦力提供向心力，有
μmg=mω2Lsin θ
解得
ω=
（2）当转台对物块的支持力为零时，摩擦力为零，重力和拉力的合力提供向心力，设此时物块的角速度为ω0，有
得
ω0=<ω1=
所以当角速度增大到时物块已经离开转台。设绳子与竖直方向的夹角为α，设绳子的拉力为T，则有
解得
24．AD
【详解】A．火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得
解得
A正确；
B．火车以大小为v的速度转弯，是曲线运动，受到的合力为零时物体应该保持静止或匀速直线运动，B错误；
C．根据牛顿第二定律得
解得
可知火车规定的行驶速度与质量无关，C错误；
D．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不能够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，D正确；
故选AD。
25．C
【详解】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
物体处于失重状态，故AB错误，C正确；
D．由
解得
故D错误。
故选C。
26．AB
【详解】A．设玩具小熊的质量为m，则玩具受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆周运动的向心力F，如图所示
有
mgtanθ=ma
可知列车在转弯时的向心加速度大小为
a=gtanθ
A正确；
B．列车的向心加速度a=gtanθ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车与轨道均无侧向挤压作用，B正确；
CD．水杯的向心加速度a=gtanθ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，CD错误。
故选AB。
27．B
【详解】A．过山车在A点时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；
BD．向心力公式，由图可知
由机械能守恒定律可得
所以
在A点时所受向心力较大，故B正确，D错误；
C．过山车在B点时，加速度方向向下，处于失重状态，故C错误。
故选B。
28．B
【详解】AB．因为绳子只能提供拉力，所以当小球到最高点时，至少有重力提供此时的向心力，此时绳子拉力为零，因此最小速度不可能为零，A错误，B正确；
CD．若将轻绳换成轻杆，小球过最高点时，轻杆可对小球产生竖直向上的弹力，若此时小球速度为零，所需向心力为零，由力的平衡可知此时轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反，此时向心力为零，得最小速度为零，CD错误。
故选B。
29．B
【详解】A．当小球到达最高点时，根据牛顿第二定律，有
所以
故A错误；
B．由图可知，当F=0时，v2=b，即
所以
故B正确；
C．若绳长不变，小球质量较小时，斜率较小，故C错误；
D．图线上b点表示小球在最高点时只受重力的速度，即
解得
此速度的大小与小球质量无关，所以绳长不变，小球质量较大时，b点位置不移动，故D错误。
故选B。
30．BD
【详解】A．小球通过最高时受重力和内壁向上的支持力，若二者大小相等，小球的最小速度为零，故A错误；
B．小球运动到a点时，外壁对小球指向圆心的支持力提供小球做圆周运动的向心力，所以小球一定挤压外侧管壁，故B正确；
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，因为重力沿半径方向的分力指向外，所以必须是管道外壁对小球有沿半径指向圆心的作用力，才能使得径向的合力指向圆心，小球才能做圆周运动，故C错误；
D．当小球在水平线ab以上管道中运动时，重力可以提供向心力，所以内、外侧壁对小球作用力可能均为零，故D正确。
故选BD。
31．C
【详解】A．小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向始终指向圆心，一直改变，A错误；
B．当小球在最高点，以竖直向下为正，由牛顿第二定律
当小球恰好通过最高点
解得
所以当小球通过最高点时线速度大于时，为正，即杆对小球作用力竖直向下为拉力；当小球通过最高点时线速度等于时，为零，即杆对小球没有作用力；当小球通过最高点时线速度小于时，为负，即杆对小球作用力竖直向上为支持力，B错误；
C．当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向的分力应等于重力，水平方向分力提供向心力，故杆对小球的作用力
C正确；
D．若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则在C点
在D点
所以
若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则在C点
在D点
所以
D错误。
故选C。
32．（1）3m/s，1.2m；（2）4N
【详解】（1）由题意可知，小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以有
vy = v1tan53°
又
vy2= 2gh
代入数据得
vy = 4m/s
v1= 3m/s
故绳断时球的小球做平抛运动的水平速度为3m/s。
由于小球在竖直方向做自由落体运动，有
vy = gt1
得
则水平位移为
s = v1t1= 3 × 0.4m = 1.2m
（2）由牛顿第二定律
解得
F = 4N
33．D
【详解】小碎片脱离扇叶后做平抛运动，脱离到落地的水平位移为
做平抛运动的时间为
故脱离扇叶时的角速度为
D正确。
故选D。
34．A
【详解】AB．小球到达斜面时竖直分速度为
因为小球垂直撞在斜面上，则
解得小球经过B点的速度
在B点，根据牛顿第二定律得
解得轨道对小球的作用力
可知轨道对小球的作用力方向向上，大小为1N，即小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是，故A正确，B错误；
C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为
故C错误；
D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离为
故D错误。
故选A。
35．（1）2.5rad/s；（2）
【详解】（1）A和B的圆周运动半径分别为
其中θ为BO线与竖直方向的夹角，设绳子拉力为T，则对A有
对B有
解得
（2）当剪断细绳后，A先匀速运动L，后做平抛运动；B做平抛运动，A做圆周运动的线速度为
B做圆周运动的线速度为
半径为
做平抛运动过程中A的水平位移为
做平抛运动过程中B的水平位移为
如图为A、B两小球在轨迹的俯视图可知（其中包含A在正方向abcd上做的距离为L的匀速直线运动）
知A、B落地点间距
36． B A C 1：4 角速度的平方 需要 D
【详解】（1）[1]本实验所用的研究方法是控制变量法，与验证牛顿第二定律实验的实验方法相同。
故选B。
（2）[2][3][4]若探究向心力和角速度的关系时，则要保持质量和半径不变，即要将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C上。若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，因两轮盘边缘的线速度相同，则角速度之比为1：2 ，则向心力之比为1：4，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为1：4。
[5]若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与角速度的平方成正比。
（3）[6]为了能探究向心力大小的各种影响因素，因为要研究角速度一定时向心力与质量或半径的关系，则左右两侧塔轮需要设置半径相同的轮盘。
（4）[7]根据
纵标表示向心力F，则图像横坐标x表示的物理量是T2。
故选D。
37． C B ABC
【详解】（1） ①[1]小球在运动过程中受到重力和绳子的拉力，重力和绳子的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
故选C。
②[2]小球做圆周运动的周期为
根据向心力公式可知
联立可得
[3]令绳子和竖直方向的夹角为θ，根据三角形定则可知，小球的合力大小为
③[4]由上可知
解得
所以t2和h成正比。
故选B。
（2）[5]A．相同体积的小球，选择密度大一些的球，质量可以大一些，重力相较于阻力可以更大一些，可以减小空气阻力对实验的影响，故A正确；
B．相同质量的小球，选择体积小一些的球越近似可以看作一个几何点，越有利于在平面上的纸面上确定其位置，有利于确定其圆周运动的半径，故B正确；
C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差，故C正确；
D．实验中只需要确保质量不变即可探究向心力表达式，不需要测量质量，故D错误。
故选ABC。
38． 控制变量法 相同 挡板B 相同 4：1 不变
【详解】（1）[1]在此实验中，要分别探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，所以需要用到控制变量法。
（2）[2][3][4]探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，需要控制小球的质量和运动的角速度相同，所以应选择两个质量相同的小球和半径相同的两个塔轮，并将两个小球分别放在挡板C和挡板B处来控制半径不同。
（3）[5]当两个质量相等的小球做实验，调整长槽中小球的轨道半径是短槽中小球轨道半径的4倍，即
转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶2，即
根据可求得
由于左右两边塔轮用皮带转动，根据可知，左、右两边塔轮的半径之比为
（4）[6]皮带所在塔轮的半径为1∶1，两塔轮边缘的线速度大小相等，则可知钢球运动的角速度相同，有
逐渐加大转速，三个钢球所受向心力的大小都会增大，比例保持不变，则左右标尺露出的红色、白色等分标记之比保持不变。
39． 半径 线速度 0.27
【详解】（1）[1][2]向心力大小与质量m、半径r、线速度v三个物理量有关，探究向心力与质量的关系时，需要控制半径和线速度两个变量保持不变。
（2）[3]根据线速度与周期的关系可知
（3）[4]根据向心力公式
可知的斜率
代入
解得
40． 乙 0.17##0.18##0.19 不变
【详解】（1）[1]挡光杆转动的线速度
挡光杆与圆柱体转动的角速度相同，则圆柱体的线速度
（2）[2]根据
则研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是乙图像；
（3）[3]上述图像是保持时得到的，则
由图可得
可得圆柱体的质量为
m=0.18kg
（4）[4]若研究F与r的关系，实验时应保持质量和线速度不变，则应使挡光杆经过光电门时的挡光时间不变。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第六章圆周运动综合练习
一、单选题
1．做匀速圆周运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（　　）
A．线速度 B．角速度 C．周期 D．转速
2．下列关于匀速圆周运动的说法正确的是（　　）
A．匀速圆周运动是匀加速曲线运动
B．做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的
C．做匀速圆周运动的物体所受合外力就是向心力
D．随圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力的作用
3．和谐号动车经过一段弯道时，显示屏上显示的速率是216km/h。某乘客利用智能手机自带的指南针正在进行定位，他发现“指南针”的指针在5s内匀速转过了9°。则在此5s时间内，动车（　　）
A．转过的角度
B．转弯半径为
C．角速度为
D．向心加速度约为
4．如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动，若两球质量之比，那么A、B两球的（　　）
A．运动半径之比为 B．加速度大小之比为
C．线速度大小之比为 D．向心力大小之比为
5．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（　　）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
6．由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆与横杆链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆始终保持水平。杆绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
7．如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（　　）
A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N
8．质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是（　　）
A．秋千对小明的作用力小于
B．秋千对小明的作用力大于
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
9．如图所示一种古老的舂米机．舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起。然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。已知OC>OB，则在横梁绕O转动过程中（　　）
A．B、C的向心加速度相等
B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的线速度关系满足vBD．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力
10．如果小虫从B点滑落，且小虫顺着树枝滑落可近似看作匀速率的，那么在弧形树枝某位置切线的倾角为处，树枝对小虫的作用力大小及方向，正确的判断是（　　）
A．mg，竖直向上
B．大于mg，沿圆弧半径指向圆心
C．大于mg，与水平成角
D．大于mg，与竖直方向的夹角小于
11．如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动的周期为 B．小球运动的线速度为
C．陶罐对小球的支持力为 D．小球运动的向心加速度为
12．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的图定轴以恒定角速度转动，盘面上高转轴距离处有一质量的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩接力等于滑动摩擦力）。盘面与水平面的夹角为，取。若转动过程中小物体在最高点受到的摩擦力方向指内圆心，则该物块转至圆心等高处点时所受摩擦力大小可能为（　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，质量为m的小球套在粗糙直杆上，杆与水平面间始终保持角。初始时直杆静止，小球恰好静止在A点，AM间距为L。现使小球与直杆一起绕竖直轴MN以某一角速度匀速转动，小球仍处于A点且与直杆之间的摩擦力恰好为零。重力加速度为g。已知，。则（　　）
A．小球与直杆之间的动摩擦因数为
B．小球的角速度
C．小球受到的弹力大小为
D．当直杆以角速度转动时，小球受到的摩擦力方向沿杆向下
14．无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为的半圆弧与长的直线路径相切于B点，与半径为的半圆弧相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过和。为保证安全，小车速率最大为。在段的加速度最大为，段的加速度最大为。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在段做匀速直线运动的最长距离l为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则（　　）
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD=1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD=4∶1
16．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个完全相同的小球A、B，细线上端固定在同一点，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动。已知A球细线跟竖直方向的夹角为30°，B球细线跟竖直方向的夹角为45°，下列说法正确的是（　　）
A．小球A和B的角速度大小之比为 B．小球A和B的线速度大小之比为
C．小球A和B的向心力大小之比为 D．小球A和B所受细线拉力大小之比为
17．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径远小于管道半径R，下列说法中正确的是（　　）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．运动到a点时小球一定挤压外侧管壁
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，某时刻内、外侧管壁对小球作用力可能均为零
18．质量为m的小球由轻绳a、b分别系于轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb（且la≠lb），如图，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a沿竖直方向，绳b沿水平方向，当球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆停止转动，重力加速度为g，下列说法中错误的是（　　）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg+mω2la
C．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动
D．绳b未被烧断时，绳a上的拉力等于mg，绳b上的拉力为mω2lb
19．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱

A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
20．如图所示，皮带传动装置右轮的半径为r，a是它边缘上的一点；左侧为一轮轴，大轮的半径为，小轮的半径为，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑，则（　　）
A．a点与c点的角速度相等
B．b点与d点的角速度相等
C．a点与d点的向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点
21．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力作用下做匀速圆周运动，若小球到达点时突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是：（　　）
A．突然消失，小球将沿轨迹做离心运动
B．突然变小，小球将沿轨迹做离心运动
C．突然变小，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
D．突然变大，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
22．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时（　　）
A．球B的速度为 B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为 D．水平转轴对杆的作用力为
23．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
24．如图，矩形金属框竖直放置，其中、足够长，且杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过杆，金属框绕轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对杆静止，若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（　　）
A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大
三、实验题
25．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置。转动手柄，可使两侧变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在左右两塔轮上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以各自的角速度做匀速圆周运动，其向心力由挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
（1）下列实验的实验方法与本实验相同的是 。
A．验证力的平行四边形定则
B．验证牛顿第二定律
C．伽利略对自由落体的研究
（2）若长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。探究向心力和角速度的关系时，若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板 和挡板 处（选填“A”、“B”或“C”），则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为 。若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与 成正比。
（3）为了能探究向心力大小的各种影响因素，左右两侧塔轮 （选填“需要”或“不需要”）设置半径相同的轮盘。
（4）利用传感器升级实验装置，用力传感器测压力F，用光电计时器测周期进行定量探究。某同学多次改变转速后，记录一组力与对应周期数据，他用图像法来处理数据，结果画出了如图所示的图像，该图线是一条过原点的直线，请你分析他的图像横坐标x表示的物理量是 。
A．T B． C．T2 D．
26．图甲是探究向心力大小与质量m、半径r、线速度v的关系的实验装置图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速，光电计时器可以记录转台每转一圈的时间。用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮将金属块与力传感器连接，金属块被约束在转台的凹槽中并只能沿半径方向移动，且跟转台之间的摩擦力忽略不计。
（1）某同学为了探究向心力与质量的关系，需要控制 和 两个变量保持不变；
（2）另一同学为了探究向心力与线速度的关系，用刻度尺测得金属块做匀速圆周运动的半径为r，光电计时器读出转动的周期T，则线速度大小为v= （用题中所给字母表示）；
（3）该同学多次改变转速后，记录了一系列力与对应周期的数据，并在图乙所示的坐标系中描绘出了图线，若已知金属块质量m=0.24kg，则金属块转动的半径r= m。（结果保留两位有效数字）
四、解答题
27．如图所示，高速公路转弯处弯道半径R＝100 m，汽车的质量m＝1500 kg，重力加速度g＝10 m/s2。
（1）当汽车以v1＝20 m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
（2）若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？
（3）通过弯道路面内外高差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若汽车转弯时仍以（2）中的最大速率vm运动，则转弯处的路面应怎样设计？请计算说明。
28．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块处于静止状态，用长为L的细绳将物块连接在转轴上，细线与竖直转轴的夹角为θ，绳子刚好拉直且绳中张力为零。物块与转台间的动摩擦因数为μ（μ（1）当绳中刚出现拉力时，转台的角速度大小；
（2）若物块的角速度增大到时，保持角速度不变，求此时绳子的拉力？
29．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和以M点为圆心、半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于最低点A，一可视为质点的小球，从A点沿切线向左以某一初速度进入半圆轨道，恰好能通过半圆轨道的最高点M，然后落在四分之一圆轨道上的N点，不计空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求小球在M点时的速度大小；
（2）求M、N两点间的高度差；
30．用如图（a）所示的装置可以测定分子速率。在小炉O中，金属银熔化并蒸发。银原子束通过小炉的圆孔逸出，经过狭缝和进入真空的圆筒C。圆筒C可绕过A点且垂直于纸面的轴以一定的角速度转动。
（1）若已测出圆筒C的直径为d、转动的角速度为，银原子落在玻璃板G上的位置到b点的弧长为s，写出银原子速率的表达式；
（2）若，，s约为圆筒周长的，估算银原子速率的数量级；
（3）如图（b）所示，银原子在玻璃板G上堆积的厚度各处不同。比较靠近b处与靠近e处的银原子速率哪个大，并说明理由。
31．如图所示，将小球从A点对准竖直放置的圆盘的上边缘B点水平抛出，圆盘绕圆心O以的角速度匀速转动，小球运动到圆盘的边缘时速度方向正好与圆盘的边缘相切于D点，且速度大小与圆盘边缘的线速度相等，O、D的连线与竖直方向的夹角为60°，取重力加速度大小，不计空气阻力。求：
（1）小球从A点运动到D点所用的时间及圆盘的半径；
（2）小球从A点运动到D点的过程中，圆盘转过的角度（用弧度表示）；
（3）A、D两点间的距离。
32．如图甲所示，长的轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。
（1）小球运动到最高点时，求轻杆对小球的作用力F1；
（2）小球运动到水平位置A时，求轻杆对小球的作用力大小F2；
（3）若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图乙所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间t。
33．2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】A．线速度的大小不变，但方向变化，故A正确；
B．角速度大小和方向都是不变的，故B错误；
C．匀速圆周运动的周期是固定不变的，故C错误；
D．匀速圆周运动的转速不变，故D错误。
故选A。
2．C
【详解】A．匀速圆周运动的线速度大小不变，方向变化，是变加速运动，A错误；
B．做匀速圆周运动的物体，受到的合力始终指向圆心，方向时刻变化，故所受合外力是变力，B错误；
C．做匀速圆周运动的物体，由于速度大小不变，所以所受合外力只改变速度方向，指向圆心提供向心力，C正确；
D．物体在水平面上，一定受到重力和支持力作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的静摩擦力，且静摩擦力提供向心力，D错误。
故选C。
3．C
【详解】A．转过的角度，根据
A错误；
C．角速度为
C正确；
B．根据
解得
B错误；
D．根据
D错误。
故选C。
4．D
【详解】AC．根据题意可知，两个小球角速度大小相等，由绳子的拉力提供向心力，则根据向心力公式有
可得运动半径之比为
则线速度大小之比为
故A、C错误；
BD．两个小球做匀速圆周运动，由绳子的拉力提供向心力，绳子拉力大小相等，所以两个小球向心力大小相等，则向心力大小之比为，则根据牛顿第二定律可得两个小球的加速度之比为
故B错误，D正确；
故选D。
5．C
【详解】纽扣在转动过程中
由向心加速度
故选C。
6．A
【详解】A．由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变，A正确；
B．由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，P点的加速度方向时刻指向O点，B错误；
C．Q点在竖直方向的运动与P点相同，相对于O点在竖直方向的位置y关于时间t的关系为
y = lOPsin( + ωt)
则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动，C错误；
D．Q点相对于O点在水平方向的位置x关于时间t的关系为
x = lOPcos( + ωt) + lPQ
则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动，D错误。
故选A。
【点睛】
7．B
【详解】在最低点由
知
T=410N
即每根绳子拉力约为410N，故选B。
8．A
【详解】在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为 ，秋千对小明的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有
由于小明的速度为0，则有
沿垂直摆绳方向有
解得小明在最高点的加速度为
所以A正确；BCD错误；
故选A。
9．C
【详解】AB．由题图可知，B与C属于共轴转动，则它们的角速度是相等的，即
ωC＝ωB
向心加速度
a＝ω2r
因OC>OB，可知C的向心加速度较大，故AB错误；
C．由于OC>OB，由v＝ωr可知C点的线速度大，故C正确；
D．舂米锤对稻谷的作用力和稻谷对舂米锤的作用力是一对作用力与反作用力，二者大小相等，故D错误。
故选C。
10．D
【详解】小虫的运动可认为做匀速圆周运动，如图所示
沿切线方向有
垂直于切线方向有
可得树枝对小虫的作用力大小为
由图受力可知，树枝对小虫的作用力方向与竖直方向的夹角小于，与水平方向的夹角不一定等于。
故选D。
11．B
【详解】ABD．设小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析可知
其中
可得
选项AD错误，B正确；
C．陶罐对小球的支持力为
选项C错误。
故选B。
12．C
【详解】当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得
解得
当物体转到与圆心等高的位置，摩擦力应等于向心力与重力分力的合力；需要的向心力为
则摩擦力为
转动过程中小物体在最高点受到的摩擦力方向指内圆心，故在最高点应满足
解得
当物体转到与圆心等高的位置需要的向心力为
则摩擦力为
故该物块转至圆心等高处点时所受摩擦力大小应满足
故选C。
13．BD
【详解】A．小球静止时，受力分析，有
解得
故A错误；
B．小球转动时
解得
故B正确；
C．小球转动时
故C错误；
D．当小球的角速度时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，摩擦力方向沿杆向下，故D正确。
故选BD。
14．B
【详解】在BC段的最大加速度为a1=2m/s2，则根据
可得在BC段的最大速度为
在CD段的最大加速度为a2=1m/s2，则根据
可得在CD段的最大速度为
可知在BCD段运动时的速度为v=2m/s，在BCD段运动的时间为
AB段从最大速度vm减速到v的时间
位移
在AB段匀速的最长距离为
l=8m-3m=5m
则匀速运动的时间
则从A到D最短时间为
故选B。
15．BC
【详解】AB．该车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A错误，B正确；
CD．当A轮与D轮组合时，由两轮的齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转动4周，因此两轮的角速度之比为
ωA∶ωD=1∶4
C正确，D错误。
故选BC。
16．AC
【详解】AB．受力分析得
又
得
故相同。又
A正确，B错误；
C．向心力为
故
故C正确；
D．拉力为
得
故D错误。
故选AC。
17．BD
【详解】A．小球通过最高时受重力和内壁向上的支持力，若二者大小相等，小球的最小速度为零，故A错误；
B．小球运动到a点时，外壁对小球指向圆心的支持力提供小球做圆周运动的向心力，所以小球一定挤压外侧管壁，故B正确；
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，因为重力沿半径方向的分力指向外，所以必须是管道外壁对小球有沿半径指向圆心的作用力，才能使得径向的合力指向圆心，小球才能做圆周运动，故C错误；
D．当小球在水平线ab以上管道中运动时，重力可以提供向心力，所以内、外侧壁对小球作用力可能均为零，故D正确。
故选BD。
18．ABC
【详解】D．绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C点，对小球受力分析，受重力G，a绳子的拉力F1，b绳子的拉力F2，根据牛顿第二定律和平衡条件有
F1=mg
F2=mω2lb
小球的线速度为
v=ωlb
故D正确；
AC．绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故AC错误；
B．在最低点时
Fa-mg=m
解得
Fa=mg+m＞F1
则a绳中张力突然增大到mg+m，故B错误。
本题选错误的，故选ABC。
19．BD
【详解】由于座舱做匀速圆周运动，由公式，解得：，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：，故D正确．
20．BCD
【详解】A．由题意可得，a、c两点是同缘转动，则线速度大小相等，由于，由
可得
选项A错误；
B．由于b、d两点共轴转动，因此
选项B正确；
C．由题意可得，a、c线速度大小相等，由
可得
d、c角速度相等，由
可得
故a点与d点的向心加速度大小相等，选项C正确；
D．a点与d点的向心加速度大小相等，b、c、d角速度相等，根据
可得向心加速度最小的是b点，选项D正确；
故选BCD。
21．AD
【详解】A．若F突然消失，小球不再受向心力作用，将沿线速度方向，即圆的切线方向飞出，故A正确；
BC．若F突然变小，小球受的合力小于需要的向心力，小球将做离心运动，但由于力F仍然存在，故小球仍做曲线运动，即可能沿Pb方向做离心运动，故BC错误；
D．若F突然变大，小球受的合力大于需要的向心力，小球将逐渐向圆心靠近，即小球将沿轨迹逐渐靠近圆心，故D正确。
故选AD。
22．AD
【详解】A．球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，重力提供球B做圆周运动的向心力，则有
解得
A正确；
B．球A和球B通过轻杆连接，两者具有共同的角速度，则
解得
B错误；
CD．设杆对球A的作用力为，根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知，轻杆受到球A向下的拉力，且球B对杆无作用力，则水平转轴对杆的作用力为，C错误，D正确。
故选AD。
23．BD
【详解】AB．根据平抛运动的规律
解得
可知若h1=h2，则
v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则
选项A错误，B正确；
C．若，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项C错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落地的时间相等，则
相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为
相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D正确。
故选BD。
24．BD
【详解】对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向
而
可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变。则A错误，B正确；
水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力FN背离转轴，则
即
当转速较大时，FN指向转轴
即
则因 ，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大。则C错误；
根据
可知，因角速度变大，则小球受合外力变大。则D正确。
故选BD。
25． B A C 1：4 角速度的平方 需要 D
【详解】（1）[1]本实验所用的研究方法是控制变量法，与验证牛顿第二定律实验的实验方法相同。
故选B。
（2）[2][3][4]若探究向心力和角速度的关系时，则要保持质量和半径不变，即要将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C上。若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，因两轮盘边缘的线速度相同，则角速度之比为1：2 ，则向心力之比为1：4，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为1：4。
[5]若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与角速度的平方成正比。
（3）[6]为了能探究向心力大小的各种影响因素，因为要研究角速度一定时向心力与质量或半径的关系，则左右两侧塔轮需要设置半径相同的轮盘。
（4）[7]根据
纵标表示向心力F，则图像横坐标x表示的物理量是T2。
故选D。
26． 半径 线速度 0.27
【详解】（1）[1][2]向心力大小与质量m、半径r、线速度v三个物理量有关，探究向心力与质量的关系时，需要控制半径和线速度两个变量保持不变。
（2）[3]根据线速度与周期的关系可知
（3）[4]根据向心力公式
可知的斜率
代入
解得
27．（1）；（2）；（3），见解析
【详解】（1）由题意，根据向心力公式
解得所需向心力
（2）当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有
解得最大速率
（3）若汽车转弯时仍以（2）中的最大速率vm，且要求汽车刚好不受径向的摩擦力作用，则转弯处的路面应设计成“外高内低”的情况，设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图所示，根据牛顿第二定律有
解得
即转弯路面的倾角
28．（1）；（2）
【详解】（1）转台由静止加速时，静摩擦力提供向心力，且逐渐增大，当静摩擦力达到最大时，绳中刚要出现拉力，此时最大静摩擦力提供向心力，有
μmg=mω2Lsin θ
解得
ω=
（2）当转台对物块的支持力为零时，摩擦力为零，重力和拉力的合力提供向心力，设此时物块的角速度为ω0，有
得
ω0=<ω1=
所以当角速度增大到时物块已经离开转台。设绳子与竖直方向的夹角为α，设绳子的拉力为T，则有
解得
29．（1）；（2）
【详解】（1）小球恰好能通过半圆轨道的最高点M，则有
解得小球在M点时的速度大小为
（2）小球从M到N做平抛运动，则有
，
由几何关系可得
联立可得
解得
或（舍去）
30．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）依题意，圆筒C转动的周期为
银原子运动的时间为
银原子速率的表达式为
联立，可得
（2）依题意，有
银原子速率为
速率的数量级为。
（3）根据
知靠近b处s较小，银原子速率较大。
31．（1），0.4m；（2）；（3）
【详解】（1）小球从A点运动到D点，设时间为t，初速度为 ，圆盘的半径r，则
把小球在D点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据几何知识
解得
（2）根据
解得转过的角度
（3）小球从A点运动到D点，平抛运动的水平位移
A、D两点间的距离
解得
32．（1）杆对球的作用力的大小为3N，方向竖直向上；（2）；（3）
【详解】（1）假设F1的方向向上，对小球有：
解得
所以杆对球的作用力的大小为3N，方向竖直向上；
（2）小球运动到水平位置时，杆对球的竖直方向分力
水平分力
故杆对球的作用力大小
代入数据解得
（3）小球将做平抛运动，运动轨迹如图中实线所示，有
代入数据解得
33．（1）；（2），甲
【详解】（1）根据速度位移公式有
代入数据可得
（2）根据向心加速度的表达式
可得甲、乙的向心加速度之比为
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为
代入数据可得甲、乙运动的时间为
，
因，所以甲先出弯道。
答案第1页，共2页
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