2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳校区高三（上）统练数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳校区高三（上）统练
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设为等比数列的前项和，已知，，则公比( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. ，
D. ，
8.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体图这两个三棱柱有一个公共侧面在底面中，若，，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.年月日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的，两点各放置一个传感器，分别实时记录，两点与物体的距离科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离时间”函数图像，分别如曲线，所示和分别是两个函数的极小值点曲线经过，和，曲线经过已知，，，并且从时刻到时刻的运动轨迹与线段相交分析曲线数据可知，的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及的速度大小分别为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数 ______；对应的点坐标为______；虚部是______；模长为______；共轭复数是______．
12.已知角在第二象限，且，则 ______．
13.在中，，，分别是角，，的对边，且，则角的取值范围为______．
14.设函数且给出下列四个结论：
当时，存在，方程有唯一解；
当时，存在，方程有三个解；
对任意实数且，的值域为；
存在实数，使得在区间上单调递增；
其中所有正确结论的序号是______．
15.已知数列的前项和为，且，给出下列四个结论：长度分别为，，的三条线段可以构成一个直角三角形：；，；其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ求不等式的解集；
Ⅲ从条件，条件，条件选择一个作为已知条件，求的取值范围．
在有恰有两个极值点；
在单调递减；
在恰好有两个零点．
17.本小题分
若同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：
求边的值；
求的面积．
条件：；
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，平面，，，分别是，的中点
Ⅰ证明：；
Ⅱ证明：平面；
Ⅲ求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，其中为常数且．
求曲线在处的切线方程；
讨论函数的单调区间；
当时，若过点的切线分别与轴和轴于，，两点，为坐标原点，记的面积为，求的最小值．
20.本小题分
已知在处的切线方程为．
求实数，的值；
证明：仅有一个极值点，且．
若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．
21.本小题分
已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的子列．若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．
设数列满足，，．
Ⅰ判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列：，，，，；数列：，，，．
Ⅱ数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为；
Ⅲ数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．
参考答案
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16.解：Ⅰ因为
，
所以的最小正周期为；
Ⅱ因为，即，
所以，
所以，，
解得，，
所以不等式的解集为：；
Ⅲ因为，所以，
选择，因为在有恰有两个极值点，
所以，
所以，
所以的范围为；
若选择，因为当时，函数递增，
所以在不可能单调递减，所以不符合题意；
选择，因为在恰好有两个零点，
所以，
所以，
即的范围为
17.解：若选，因为，由正弦定理得，
又因为，所以，所以，
由于，所以，又因为，
当时，或，
此时或，
当时，因为，所以，即不可能为钝角，
由条件知，，为钝角，
所以条件和条件不能同时满足，
因此有两种情况的解答：
选择条件，
因为不可能为钝角，
又因为，所以，
因为，且，
所以，
所以，即，
又因为，所以，，
在中，由正弦定理，
又因为，所以，
解得；
选择条件，
由条件知，，为钝角，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或舍；
选择条件，
由知，
又因为，所以，，
，
所以的面积为；
选择条件，
结合第可得，此时，
所以，
所以的面积为．
18.证明：Ⅰ因为平面，平面，所以．
因为，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
Ⅱ取的中点，连接、．
因为、分别是、的中点，所以，且．
在三棱柱中，，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：Ⅲ在三棱柱中，，
因为，所以．
在平面内，过点作，
因为，平面，所以，平面．
建立空间直角坐标系，如图．
则，，，，，．
，，．
设平面的法向量为，
则，即，
得，令，得，故．
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：因为函数的定义域为，
所以，
此时，
又，
则曲线在处的切线方程为，
即；
易知，
令，
解得，
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，
可得．
此时切线方程为，
令，
解得；
令，
解得．
所以，
设，，
可得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
则当时，的面积取得最小值，最小值为．
20.解：，，
所以，在处的切线方程为，
所以，；
证明：，，
当时，，单调递减；
“，
当时，“，单调递增；
，，
所以存在，使得，即且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以仅有一个极值点，使得，
因为，所以，所以；
，，
则当时，，单调递减，所以恒成立；
，
当，时，，单调递增，，，
所以存在使得，当时，，单调递减，
，不合题意；
当，时，，所以，
所以，不合题意；
综上，不存在使得恒成立．
21.解：Ⅰ数列不是的完全数列；数列是的完全数列．
理由如下：
数列：，，，，中，因为，所以数列不是的完全数列；
数列：，，，中，所有项的和都不相等，数列是的完全数列．
Ⅱ假设数列长度为，不妨设，各项为．
考虑数列的长度为，，的所有子列，一共有个．
记数列的长度为，，的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为，最大值为．
所以，．
所以其中必有两个子列的所有项之和相同．
所以假设不成立．
再考虑长度为的子列：，，，，，，满足题意．
所以子列的最大长度为．
Ⅲ数列的子列长度，且为完全数列，且各项为．
所以，由题意得，这项中任意项之和不小于．
即对于任意的，有，
即．
对于任意的，
设，则数列的前项和．
下面证明：．
因为
，
，
．
所以，当且仅当时，等号成立．
所以求的最大值为．
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