2024-2025学年河北省保定市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省保定市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )
A. B. C. D.
5.设函数为偶函数当，满足时，有最小值，则和的值分别是( )
A. ， B. C. D.
6.若中，角，，所对的边分别为，，，，，平分交于，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程至少有个不等的实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是( )
A. 与是一对异面直线
B. 若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则
C. 若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一
D. 过直线有且只有唯一平面与直线平行
11.若函数存在两个极值点，，下列说法正确的是( )
A. 时满足条件
B. 不存在实数使得，均为正整数
C. 当时，的最大值为
D. 对任意正整数，均存在对应的，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在处的切线斜率为，则实数的值为______．
13.函数的最小正周期是______，在上的单调递减区间是______．
14.已知递增数列共有项为定值且各项均不为零，末项若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式 ______用含和的式子表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，且，求的值；
设函数，求函数的值域．
16.本小题分
已知直三棱柱中，，且，点，分别为线段和的中点．
证明：平面；
求平面与平面的夹角．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求角；
若，求的值；
在的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值．
18.本小题分
已知函数，．
已知直线是曲线，的切线，求实数的值；
求函数的单调区间；
求证：恒成立．
19.本小题分
已知数列，其前项和为，对任意正整数，恒成立，且．
证明：数列为等比数列，并求实数的值；
若，数列前项和为，求证：；
当时，设集合，，，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．
参考答案
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15.解：，若，则，
可得，结合，可知为钝角．
因为，所以舍负．
所以，可得．
根据题意，可得，
所以，
可得
当时，，
当时，有最大值；当或时，有最小值．
所以在区间上的值域为
16.解：证明：平面，平面，
，
又，，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
又，
，
，，
即又，，平面，
平面．
如图所示，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
易得，，，，，，，
设平面的法向量，
则，，
取，则法向量，
由可知平面的法向量，
，
平面与平面的夹角为．
17.解：，由正弦定理，
可得，
，
即，又，
，又，
；
由得，由余弦定理，
可得，
又，，
即，，
则；
若，由可知，，，
，，
令，，
则，，
又由余弦定理得：，
当时等号成立，
的最小值为．
18.解：因为函数的定义域为，
可得，
令，
解得，
所以切点为，
此时，
解得；
易知，
当时，，，
所以，单调递减；
当时，，
因为，，
所以，
即单调递增，
此时，单调递增，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增；
证明：要证恒成立，
需证恒成立，
即证恒成立，
令，
可得，
令，
可得，
所以单调递增，
因为，
所以当时，，
即，单调递减；
当时，，
即，单调递增，
则．
故恒成立．
19.证明：令，得，则，
令，得，则，
又因为，所以；
所以，；
所以，
所以，即，
又因为，所以数列是公比为的等比数列，且；
证明：由知，，
所以，
所以数列前项和，
又，
要证，只需证，即；
设，则，；
当时，单调递增，所以，
所以，即，
所以；
解：当时，集合，
即，，，；
中元素的个数，等价于满足的不同解，
如果，则，与已知矛盾；
如果，则，与已知矛盾；
所以；
又因为，
所以，
即，，，，，共个不同的解，
所以数列的通项公式为．
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