2024-2025学年陕西省西安市高三（上）联考数学试卷（二）（11月份）（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市高三（上）联考
数学试卷（二）（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则满足的实数的个数为( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，都是锐角，，则( )
A. B. C. D.
6.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知数列是正项数列，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图像与直线有个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，则( )
A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为 D. 若为的外心，则
10.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
11.已知为坐标原点，点在抛物线：上，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点点在点，的之间，则( )
A. 直线与抛物线相切
B.
C. 若是线段的中点，则
D. 存在直线，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中，，，，则 ______．
13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有张和张，乙手中有张和张，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为______．
14.已知函数，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某同学参加射击比赛，每人配发颗子弹射击靶由内环和外环组成，若击中内环得分，击中外环得分，脱靶得分该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛．
若已知该同学得分为分的情况下，求该同学只射击了发子弹的概率；
设该同学最终得分为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的正切值．
17.本小题分
己知函数．
讨论函数的单调性；
证明不等式恒成立．
18.本小题分
如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正为坐标原点的边长为．
求，的值；
求出的通项公式；
设曲线在点处的切线斜率为，求证：．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，右顶点为，为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点．
求的方程；
证明：直线恒过定点；
若直线与，轴分别交于点，，且为中点，求的值．
参考答案
1.
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8.
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11.
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13.
14.或
15.解：记“该同学得分为分”为事件，“该同学只射击发子弹为事件”，则，
，所以；
可能的取值为，，，，，，，
，，，
，，
，，
故分布列：

．
16.解：证明：，
，
又是的中点．
，
，，
设的中点为，连接，，
面，面，
，
，，
，，平面，
平面．
如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．
则，，
易知，，
故，，
设平面的法向量为，
由得，
取，得．
又平面的法向量为，
，
二面角的平面角的正切值为．
17.解：，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减．
设函数，即证恒成立，
则，
可知在上单调递增，
又由，
所以在上有唯一实数根，且，
则，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，结合，知，
所以，
则，
即不等式恒成立．
18.解：依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，
为正三角形，且，点在曲线上，
所以，即整理得，，
解得，
所以，；
解：令为数列的前项和，是正三角形，点，
，于是点在曲线上，
则，即，
当时，，
相减得：，整理得，
因为，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，
所以，
所以数列的通项公式是；
证明：由知，当时，，
则点的横坐标，显然满足上式，
因此，
由求导得，，于是，
当时，，
所以．
19.解：由题右顶点，则，
又，解得，则，
所以双曲线的方程为：；
证明：由题，直线的斜率不为，
则可设直线：，，，
联立方程 ，消去得，
则，即，则，，
因为以为直径的圆经过点，
所以，即，
所以，
即，化简得，
则，
当时，直线，经过点，不符条件，舍去，
所以，直线，过定点，
所以直线恒过定点；
由知，，
所以，，
在直线中，令，则，即，
又为中点，
所以，代入，解得：，
所以，解得：，
所以，
即．
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