2024-2025学年四川省眉山市仁寿一中南校区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省仁寿一中南校区高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知二项式的展开式中的系数是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于的学生所占的百分比为( )
参考数据：若，则，，．
A. B. C. D.
5.已知定义域为的奇函数满足，，则( )
A. B. C. D.
6.高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度
病毒数量万个
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为时，病毒数量为( )
参考公式：
A. B. C. D.
7.设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是( )
A. B. 或 C. D.
8.体积为的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为虚数单位，复数满足，则( )
A. 的虚部为 B.
C. 在复平面内的对应点位于第一象限 D.
10.已知奇函数的定义域为，若，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. D. 的一个周期为
11.下列结论中，错误的结论有( )
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的零点为和，则 ______．
13.口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用表示取出的两个球中白球的个数，则的数学期望 ______．
14.，，，都有，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体中，为的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知等差数列的公差，且满足，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
“十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都建设年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分成都蓉城队年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
用表示成都蓉城队七月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知函数的定义域为，对任意，都满足，且当时，，且．
求，的值；
用函数单调性的定义证明在上单调递增；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若恒成立，求的取值范围；
若数列满足，记为数列的前项和证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：证明：连接，设，连接，则为中点，
在中，因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图：
设正方体的棱长为，
则，，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则，所以，取，
所以与平面所成角的正弦值为：
，．
16.解：因为，，所以，所以；
，
所以数列的前项和，
所以．
17.解：设事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”．
则，
所以成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为．
由题意可知的所有可能取值为，，，，，，
，
，
．
所以的分布列为：
所以的期望．
18.解：令，则有，
即，
又因为当时，，
所以；
令，，
则有，
所以，；
证明：设，，，
则，，
令，则有，
又因为，
所以，
令，
则有，
即有，
当时，，
所以；
当时，，
则，
所以，
综上，，，
所以
，
因为，所以，
所以，
即，
，
所以函数在上单调递增；
因为在上单调递增，
，
等价于，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
即，
解得，
所以的取值范围为．
19.解：当时，，
，
故当单调递减；
当单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意，．
．
当时，在单调递减，
由，，不合题意；
当时，在单调递减，单调递增．
由恒成立，得．
．
即．
令，
恒成立，
所以在单调递减，且．
故当，，符合题意，
当，，不合题意．
综上，的取值范围为．
证明：由，
得，且．
由可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
两边取对数得，由上述不等式得：
，
于是，
所以．
当时，，不等式成立；
当时，
即当时，不等式成立．
综上，得证．
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