2024-2025学年山西省太原市现代双语学校南校高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年山西省太原市现代双语学校南校高三（上）月考
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则“是函数为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.若函数满足对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在中，角，，的对边分别是，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知的定义域为，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，所有正确的结论是( )
A. 若，，则
B. 命题的否定是：，
C. 若且，则
D. 若，，则实数
10.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且则下列选项中说法正确的有( )
A. 为奇函数 B. 周期为
C. D. 是奇函数
11.定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象在处的切线方程为
C.
D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
13.已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立若对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知内角，，的对边分别为，，，为的中点，为的中点，延长交于点，若，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
二次函数满足，且．
求的解析式；
若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若函数在上的最大值为，求实数的值；
若函数在上有唯一的零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
函数是定义在上的奇函数，当时，．
Ⅰ求时，的解析式；
Ⅱ问是否存在这样的正数，，当时，的值域为？若存在，求出所有的，的值；若不存在说明理由．
18.本小题分
已知，，函数的周期为，当时，函数有两个不同的零点，．
求函数的对称中心的坐标；
实数的取值范围；
(ⅱ)求的值．
19.本小题分
“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．
利用恒等式和，求函数和的最小值．
在中，角、、对应的边为、、：
求证：；
已知实数，满足，求二元函数的最大值．
参考答案
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15.解：由题意设，
由得；
由得，
即恒成立，故，则，
故；
因为当时，的图象恒在图象的上方，
所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，
令，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
16.解：因为，
令，则，
因为，所以，
所以，．
当，即时，此时当，即时，取最大值，
即，解得，满足；
当，即时，
此时当时，即时，取最大值，即，解得，满足．
所以实数的值为或．
因为，所以，
因为函数在上有唯一的零点，且在是增函数，
所以函数在，上有唯一的零点，
令，因为，，
当，即时，满足题意
当，则时，此时，
令，解得或，不满足；
当时，且此时无解；
综上，实数的取值范围为．
17.解：Ⅰ由题意，当时，，
令，得，故有，
又函数是定义在上的奇函数，有，
，
时，；
Ⅱ当时，，
若存在这样的正数，，则当时，，
所以，
在内单调递减，
，即，是方程的两正根，
，
，
．
18.解：由题意，
．
因为函数的周期为，所以所以，
由，得，
所以的对称中心为．
由，得，
作出函数在上的图像，如图所示．
由图可知，，所以的取值范围为，
由图可知，，所以．
19.解：设，，则，
因为，所以，所以，所以，
即的最小值为；
当时，
，
表示点到点和的距离之和，
所以；
当时，
，
表示点到点和的距离之差，
所以．
综上，的最小值为：．
证明：因为，
所以
，证毕；
在中，令，则且，
因为，设，，
所以，
可得，
则
，
其表示点到点和的距离之差再加上，
所以，
当且仅当，
即时等号取得，此时满足．
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