2024-2025学年上海市松江二中高三（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市松江二中高三（上）学情调研数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有，则( )
A. B. C. D.
3.在直二面角的棱上取一点、过分别在，内的同侧作与成的直线，则这两条直线所夹的角为( )
A. B. C. D.
4.设非空集合，满足给出下列两个命题：
存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；
存在无穷多个非空集合对，使得方程无解．
则下列判断正确的是( )
A. 均成立 B. 成立，不成立
C. 不成立，成立 D. 均不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.不等式的解集为 ．
6.已知复数在复平面内对应的点的横坐标为，则 ______．
7.向量在方向上的数量投影为______．
8.已知点是角的终边上一点，则 ______．
9.已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积为______．
10.的二项展开式中的常数项为______结果用数值表示
11.魔都是上世纪二三十年代上海的别称之一国庆期间，甲、乙两人相约来到上海旅游，两人分别从，，，四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______．
12.若不等式对于任意实数都成立，则实数的取值范围是______．
13.如图，椭圆的右焦点和上顶点分别为和，连接并延长交椭圆于，记的面积为，的面积为，且，则椭圆的离心率为______．
14.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是______．
15.某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域建为水上项目区，则三角形区域的最大面积为______平方百米．
16.已知首项的无穷等差数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得，则数列公差的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，点是的中点．
求绕旋转一周形成的几何体的体积；
点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
若向量，，其中记函数，若函数的图象上相邻两个对称轴之间的距离是．
写出函数的解析式，并求出的严格减区间．
求实数和正整数，使得，在上恰有个零点．
19.本小题分
某校高一年级有男生人，女生人为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为的样本，并观测样本的指标价单位：，计算得男生样本的身高平均数为，方差为下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序
身高
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差参考数据：，，．
若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
20.本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为点、，为双曲线上的动点，点．
求点到的两条渐近线的距离之积；
求经过点的双曲线的切线方程；
设点在第一象限，且在渐近线的上方，直线，分别与轴交于点，过点作的两条切线，分别与轴交于点，在的上方，证明：．
21.本小题分
若函数在区间上有定义，在区间上的值域为，且，则称是的一个“值域封闭区间”．
已知函数，区间且是的一个“值域封闭区间”，求的取值范围；
已知函数，设集合．
求集合中元素的个数；
用表示区间的长度，设为集合中的最大元素证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.或
17.解：如图，绕旋转一周形成的几何体为以为底面半径的圆锥，
由，，
，，，
，点为的中点，
，且，
，，且，
平面，绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，
以为高的圆锥，
绕旋转一周形成的几何体的体积为：
．
平面，，
，
，，是等腰直角三角形，
是的中点，，
以为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
由，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，，
，
直线与平面所成角的大小为．
18.解：因为，，
所以
，
由图象上相邻两个对称轴之间的距离是，得，
所以，解得．
所以．
令，解得，；
所以的严格减区间为；
画出在上的草图：
可见，当时，在恰有个零点，
所以，要使在上恰有个零点，只需即可，
此时．
当时，在恰有个零点，
所以，要使在上恰有个零点，此时．
19.解：因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本人的身高平均数为，方差为，女生样本人的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
因，，则，
即，约为，
由样本数据知，，为离群值，
剔除后，女生样本人的身高平均数为：，
由，
可得，则剔除后，女生样本人的身高的方差为：．
20.解：设点，所以，两个渐近线方程为，
所以点到的两条渐近线的距离之积为；
由题意得切线方程斜率存在，设经过点的切线方程为，
联立，消去得，
因为直线与双曲线相切，所以，
所以，所以切线方程为；
证明：设，，因为，，
所以直线的方程为，直线的，
所以，，
设过且与双曲线相切的直线方程为，
联立，消去得，
所以，所以，
设直线，的斜率分别为，，所以，
所以的方程为，所以，
同理的方程为，所以，
所以，
，
所以，所以，
所以，所以．
21.解：因为，
可得，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
此时的值域为，
所以，
即，
解得，
则的取值范围为；
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
所以当时，，不存在零点；
因为函数在单调递减，
所以，
又，
所以存在唯一的，使得，
当时，，不存在零点，
综上所述，函数存在两个零点，
即集合中元素的个数为；
证明：由得，
假设长度为的闭区间是的一个“值域封闭区间”，
则对，，
当时，由得在上单调递增，
所以，
即，不满足条件；
当时，由得在上单调递增，
所以，
即，不满足条件；
当时，闭区间，
又显然在单调递增，
所以
由知，，
所以，满足条件．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”．
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