2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，或，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，总有，则为( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3.函数的图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
6.若单位向量，满足，向量满足，且向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数为实数为偶函数，记，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若函数的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向左平行移动个单位长度得函数的图象，则函数在区间内的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
9.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构正八面体是每个面都是正三角形的八面体，如图所示若此正八面体的棱长为，若它的内切球的表面积为，外接球表面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
11.已知，则 ______．
12.已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是______．
13.若，则 ______．
14.数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 ______．
15.在矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线、于，，则______，若，，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若．
(ⅰ)求的面积；
(ⅱ)求．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且满足数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
求数列与的通项公式．
若，数列的前项和为，恒成立，求的范围．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点，点是线段上一点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角的余弦值；
Ⅲ若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度．
19.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，其前项的和为数列是公比大于的等比数列，，．
求数列和的通项公式；
记，，求数列的前项和；
记，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，直线与相切于点，
(ⅰ)求的极值，并写出直线的方程；
(ⅱ)若对任意的都有，，求的最大值；
Ⅱ若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
参考答案
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16.解：，
由正弦定理得．
，
，，
，，
；
若，，
由余弦定理得，
即，，，
的面积为；
(ⅱ)由正弦定理，得，
，，
，
，
．
17.解：，可得，解得，
时，，即为，
可得数列为首项和公比均为的等比数列，即有，；
数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
可得，即为，解得，
又，可得，；
，
，
，
两式相减可得
，
化简可得，
即有，
恒成立，可得．
即的范围是．
18.解：因为底面是正方形，平面，所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
证明：
设平面的法向量为．
则，令，则，，
所以，
因为，所以，所以平面；
由题知，平面的一个法向量为，
由知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则；
因为点是伐段上一点，且，
所以设，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
解得：或舍，此时，所以，则，
所以的长度为．
19.解：由题意可得：，解得，．
设等比数列的公比为，，，
，，解得，
．
，，
，
数列的前项和．
，
数列的前项和
20.解：Ⅰ时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是，没有极大值，
又，，
故直线的方程为，即；
对任意都有，
即恒成立，由，故，故，
由知在单调递增，
故，可得，即，
当时，的最小值是，故的最大值是；
Ⅱ证明：要证，只需证明即可，
由题意，是方程的两个不相等的实数根，
，，消去，整理得：，
不妨设，令，则，
故只需证明当时，，即证明，
设，则，
于是在单调递增，从而，
故，故．
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