2024-2025学年广东省江门市新会一中高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市新会一中高三（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为
11.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 是递增数列 B. 是等比数列
C. 当是偶数时， D. ，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则的值为______．
13.已知、、分别为的三个内角、、的对边，，且，则面积的最大值为______．
14.非空集合关于运算满足：对任意、，都有存在使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：
非负整数，为整数的加法
偶数，为整数的乘法
平面向量，为平面向量的加法
二次三项式，为多项式的加法
虚数，为复数的乘法
其中关于运算为“融洽集”的是______写出所有“融洽集”的序号
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，为边上一点，且，求的长．
16.本小题分
已知．
若过，求的解集；
存在使得、、成等差数列，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．
求；
求；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
19.本小题分
设为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”．
判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由：
有穷数列数列：，，，，，；
无穷数列，通项公式为．
若数列为“五彩的”且严格单调递增．
证明：数列和公差相等；
证明：数列一定为等差数列．
参考答案
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15.解：由题意及正弦定理可得：，
故，
又，故，而，
则；
在中，由余弦定理可得：，
故，
，
所以
，
因为，即，
所以．
故．
16.解：由过可得，
则，解得负值舍去，
因为在上是严格增函数，，
则，解得，
故所求解集为；
因为、、成等差数列，
所以，即有解，化简可得，
则且，
故在上有解，
又，故在上，，
故，解得或，
又，所以，
故的取值范围为．
17.解：设，，，则根据余弦定理得，
即，解得负舍，
则，；
因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得；
因为，且，所以，
由知，
因为，则，所以，
则，
．
18.解：函数，
当时，，，
，切点坐标为，
切线的斜率为，
曲线在点处的切线方程为：
，整理得：．
函数，，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值，
，
令，得，
当时，，当时，，
函数的增区间为，减区间为，
，
，
令，，
在上单调递减，
，等价于，
的取值范围是．
19.解：不是．
中，，，不是等差数列，不是“五彩的”．
是．
，，
，，
符合定义是“五彩的”．
证明：对正整数，设，，
其中，为正整数，整数，满足，，
由于数列单调递增，则对于任意正整数，，
即，
即，
同除以并令趋近正无穷得，即证．
对于正整数，设，
由数列单调递增，知，
又因为，
故数列必然存在最大项，最小项，
下证即可，设正整数使得，
一方面，由于数列以为公差，
，
另一方面，，
从而，
又，
，
同理可得，即，即证．
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