首都师大附中 2024－2025 学年第一学期期中练习
初 二 数 学
参考答案
第 I 卷（共 24 分）
一、选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
1．D
2．D
3． A
4．D
5． B
6．C
7．D
8． B
第 II 卷（共 76 分）
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9． 6a3b
10．（x 1）（ x 1）
11．十
12．等边对等角
3
13． ．
2
14．19 或 17
15．18
第 1 页（共 11 页）
16．（1）汉诺塔；.....................1 分
（2）2 枚、4 枚或 6 枚．........................2 分
（只答对 1 个或 2 个正确答案给 1 分，有错误答案不给分）
三、解答题（本题共 10 小题，共 52 分，第 17-19 每题 4 分，第 20-21 每题 5 分，
第 22 题 4 分，第 23-24 每题 6 分，第 25-26 每题 7 分）
17．计算： 3 8 ( 1)2024 ( 3.14)0．
解：原式 2 1 1 ……………………………………………3 分
2．……………………………………………4 分
18．分解因式： ax2 6ax 9a．
解： ax2 6ax 9a
a(x2 6x 9) ……………………………………………2 分
a(x 3)2 ．……………………………………………4 分
19．已知 a2 a 2，求代数式 (a 2)(a 2) a(a 2)的值．
解：由题意， (a 2)(a 2) a(a 2)
a2 4 a2 2a
2a2 2a 4 ……………………………………………3 分
当 a2 a 2时，
原式 2(a2 a) 4
2 2 4
4 4 0．……………………………………………4 分
第 2 页（共 11 页）
20.如图，已知 AB AD， AC AE ， BAD CAE ，求证： ABC ADE ．
证明： BAD CAE ，
BAD DAC CAE DAC ，即 BAC DAE ，………………………1 分
在 ABC 和 ADE 中，
AB AD
BAC DAE ，……………………………………………4 分
AC AE
ABC ADE(SAS) ．……………………………………………5 分
21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A(0,1)， B(2,0)，C(4,3)．
（1）若点D 与点C 关于 y 轴对称，则点D 的坐标为 ；在平面直角坐标系中，
画出与△ABC关于 y 轴对称的△AED；
（2）已知 P 为 x轴上一点，若△ABP为等腰三角形，则点 P 有 个．
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解：（1） 点 D 与点C 关于 y 轴对称，
点 D 的坐标为 ( 4,3)．……………………………………………1 分
如图， 即为所求．……………………………………………3 分
故答案为： ( 4,3)．
（2）4 个……………………………………………5 分
22.如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角 A 36 在 AC 上作一点 D，使 DBC A
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).
第 4 页（共 11 页）
解：如图所示.
……………………………………………4 分
23．如图， ABC 是等边三角形，BD是中线，延长 BC 至 E ，使CE CD ，DF BE ，
垂足为点 F ．
（1）求证： DB DE ；
（2）若CF 4，求 ABC 的周长．
（1）证明： ABC 为等边三角形， BD是中线，
1
ACB 60 ， CBD ABC 30 ，…………………………………1 分
2
CE CD，
1
CDE E ACB 30 ，……………………………………………2 分
2
CBD E 30 ．
DB DE ；……………………………………………3 分
第 5 页（共 11 页）
（2）解： DF BE ，
DFC 90 ， FDC 90 C 30 ，…………………………………4 分
CF 4，
DC 2CF 8．……………………………………………5 分
ABC 为等边三角形， BD是中线，
AB BC AC 2DC 16，
ABC 的周长 AB AC BC 3 16 48．……………………………6 分
24. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”
时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：
(a b)2 a2 2ab b2 （如图1) ．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度
解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题
图 1 图 2 图 3
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图 2 可得等式： ，利用图 2 得到的结论，解决问题：若 a b c 15，
2 2 2
ab ac bc 35，则 a b c ；
（2）如图 3，若用其中 x张边长为 a的正方形， y 张边长为b 的正方形， z 张边长分
别为 a、b 的长方形纸片拼出一个面积为 (2a b)(a 2b)长方形（无空隙、无重叠地拼
接），则 x y z ；
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解：（1）利用正方形面积公式 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2；
故答案为： a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2；…………………………2 分
若 2 2 2a b c 15， ab ac bc 35，则 a b c 225 2 35 155；
故答案为：155；………………………………………4 分
（ ）长方形面积为 (2a b)(a 2b) 2a2 2b22 5ab 可得： x 2， y 2 ， z 5，
所以 x y z 9 ；
故答案为：9；………………………………………6 分
25.如图，在△ABC 中， AD 是 BC 边上的高，点C 与点C 关于直线 AB对称，点E
是线段 BC 上的点， AE AC .
（1）求证： EAC EBC 180 ；
（2）连接CE ，过点D作 DF AB于 F ，交CE 于点G .
①依题意补全图形；
②用等式表示线段CG与 EG的数量关系，并证明.
C' C'
A A
E E
B D C B D C
备用图
第 7 页（共 11 页）
答案：
（1）解：过点 A作 AH BC 于 H . C'
∵点C 与点C 关于直线 AB对称，
∴ ABC ABC .
H
∵ AD 是 BC 边上的高，
∴ AAD BC .
∵ AH BC ，
E
∴ AHE ADC 90 ， AH AD .
在 CRt△AHE 与Rt△ADC 中， B D
AE AC，
AH AD，
∴Rt△AHE≌Rt△ADC . …………………………………2 分
∴ HEA C .
∵ HEA AEB 180 ，
∴ C AEB 180 .
∵ C AEB EAC EBC 360 ，
∴ EAC EBC 180 . ……………………………………3 分
（2）①依题意补全图形，如图所示：
C'
A
F
E
G
B D C
…………………………4 分
第 8 页（共 11 页）
②答：CG EG . ………………………………………5 分
证明：连接HD，过点 E 作 EK∥BC 交FD 于 K .
∵ AH AD， BAH BAD , C'
∴ AB垂直平分HD .
∴ BH BD .
H
∴ BHD BDH .
∵ DF AB， A
∴点H ， F ，D共线. F
∵ EK∥ EBC ， K
∴ EKH BDH ， EKG CDG . G
∴ BHD EKH . B D C
∴ EH EK . ……………………………………………………………6 分
∵Rt△AHE≌Rt△ADC ，
∴ EH CD .
∴ EK CD .
在△EKG 与△CDG 中，
KGE DGC，
EKG CDG，
EK CD，
∴△EKG≌△CDG .
∴ EG CG .…………………………………………………7 分
第 9 页（共 11 页）
26.在平面直角坐标系 xOy中，已知点M ，点 N ，点 P ，若 MPN 90 且 PN PM ，
则称点 N 为点M 关于点 P 的“正矩点”.
（1）如图 1 所示的平面直角坐标系 xOy中，已知点 S(1,4) ，P1( 4,1)， P2 ( 2,4)，
1
P3 (2, ) ， P ( 1, 2)，其中点 S 关于原点O 的“正矩点”是 ； 4
2
图 1 备用图
（2）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,3) ，B(5,0) ，点D，E 分别为 x轴正半
轴，y 轴正半轴上的动点，点D关于点 E 的“正矩点”记为点C(x ，点C , yC ) C(xC , yC )
第 10 页（共 11 页）
在第一象限.
①当点 E 与 A重合，OD 小于 4 时，求点C 纵坐标 y 的取值范围； C
②当点 E ，D分别在线段OA，OB上运动时，直接写出符合题意的点C(x , y ) 形成C C
区域的面积.
答案：（1） P1,P ; …………………………………………………2 分 3
（2）①3 y 7 ；…………………………………………………5 分 c
②15…………………………………………………7 分
第 11 页（共 11 页）首都师大附中2024-一2025学年第一学期期中练习
初二数学
命题人：初二数学备课组审核人：初二数学备课组
第I卷（共24分)
-、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.如图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉样物弗里热”图片，与该
图片是全等形的是
A
2.下列计算正确的是
A.a2.a3=a6
B.(a2)3=a
C.2a.3a=5a2
6g2a+3a=5a
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于
B
点E,交BC于点D,连接AD,若∠B=35°，则∠CAD的度数为
20°
B.25°C.30°
D.35
4.如图，条笔直的河1，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，
然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是
B
第1页（共8贞）
5.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠I=∠2，BF=CE,则添加下列条件不能
使△ABC和△DEF全等的是
A
D
A.AC=DF
B.AB=DE
C.∠A=∠D
D.∠B=∠E
6.已知a2m-”=8,am=8,划a”的值是
B
A.6
B.7
C.8
D.9
7、某平板电脑支架虹图所示，EA=ED,∠AEC=140°，为了使用的舒适性，可
调整∠AEC的大小.若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是
A.增大16
B.减小16
C.增大8°
D.减小8°
8.如图，形如”形状的图形ABCD,O为对称轴所在直线的交点，其中BD1AC,
且BD
共点为E,F,G,H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等：
②该八边形各内角都相等：
E
S
③点O到该八边形各顶点的距离都相等：
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等：
A
B
D
上述结论中，所有正确结论的序号是
G
A.①③
B①④
分
C.②③
D.②④
C
第2页（共8页）
第I卷（共76分)
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9.计算a2.(-6ab)的结果是
10.因式分解：2-1=一·
11,一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形的边数为」
12.如图，为了让两个斜坡AB,AC与地面所成的两个锐角相同，工程人员在修
斜坡的时候，只需要让两个斜坡AB=AC即可，工程人员这种操作方法的依据
是
A
斜坡
斜坡
B
13.如图，在等边三角形ABC中，BC=4,D是AB的中点，过点D作DF⊥AC
于点F.过点F作FE⊥BC于点E,则EC的长为
B
E
B
第13题图
第15题图
14.已知等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为一
15.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=3,
AB=12,则△AOB的面积是
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