2024-2025学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）段考
数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中的元素是的三边长，则一定不是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2.“关于的方程有实数根”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3.关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
4.已知集合，，且，则的值为 ．
5.满足的集合共有______个
6.已知：，：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______．
7.命题“存在，使得”的否定是______．
8.已知关于的不等式的解集为，则______．
9.集合有且仅有两个子集，则 ______．
10.已知全集，，，若，则______．
11.若关于的不等式的解集是，则的值为______．
12.设，，则中等号成立的充要条件是______．
13.设全集，给出条件：；若，则；若，则那么同时满足三个条件的集合的个数为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
设为实数，求关于的方程的解集．
15.本小题分
已知关于的不等式：．
若不等式的解集为，求的值；
若不等式的解集为，求的取值范围．
16.本小题分
设集合，．
若，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
若集合具有以下性质：，；若、，则，且时，则称集合是“好集”．
分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
设集合是“好集”，求证：若、，则；
对任意的一个“好集”，证明：若、，则必有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.对任意，都有
8.
9.或
10.
11.
12.且
13.
14.解：方程可化为，
时，，
若，则方程为，显然不成立，方程无解；
若，则方程为，方程的解为；
若时，解方程得；
综上，时，方程的解集为；
时，方程的解集为；
时，方程的解集为
15.解：关于的不等式：的解集为，
当时，不等式变为，不满足条件，故．
则和是的两个实数根，
，得．
若不等式的解集为，即恒成立．
当时，不等式变为，满足条件．
当 时，解得．
综上，即的范围为．
16.解：由得或，故集合
，，代入中的方程，
得或；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或；
对于集合，
．
，，
当，即时，满足条件；
当，即时，，满足条件；
当，即时，才能满足条件，
则由根与系数的关系得
矛盾；
综上，的取值范围是．
17.解：集合不是“好集”，理由是，，而，所以不是“好集”；
证明：因为集合是“好集”，所以，
若，，则，即，
所以，即；
证明：对任意一个“好集”，任取、；
若、中有和时，显然；
下设、均不含，，由定义得，，，
所以，所以，
由得，同理，
若或，显然；
若，且，则；
所以．
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