2024-2025学年山东省菏泽一中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽一中高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：，：，若，则的值为( )
A. B. C. D. 或
2.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B. 过点的直线方程都可以表示为：
C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
3.已知双曲线的上焦点为，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：，点关于直线的对称点落在椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知过定点的直线与圆：相交于，两点，当线段的长为整数时，所有满足条件直线的条数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于曲线：，下面说法正确的是( )
A. 若，曲线的长轴长为
B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是
C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D. 若曲线是椭圆且离心率为，则的值为
10.已知两圆方程为与，则下列说法正确的是( )
A. 若两圆外切，则
B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C. 若两圆的公共弦长为，则
D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是上的一点，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 不存在点为线段的中点
C. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D. 内切圆圆心的横坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______．
13.已知椭圆：的右焦点，是椭圆上的一个动点，点坐标是，则的最大值是______．
14.写出使得关于，的方程组无解的一个的值为______写出一个即可
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
16.本小题分
已知圆：．
求过点且与圆相切的直线方程；
已知点，则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知抛物线：，过的直线交抛物线于，两点，是坐标原点，．
求抛物线的方程；
若点是抛物线的焦点，求的最小值．
18.本小题分
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
求双曲线的方程；
若直线的斜率为，求弦长；
记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点．
求椭圆的标准方程；
试求面积的最大值以及此时直线的方程．
参考答案
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15.解：由于边上的高所在直线的方程为，其斜率为，则直线斜率为，
于是直线方程为：，又边上的中线所在直线的方程为．
由解得点坐标为：；
由所在直线的方程为，可设，则中点，
由于所在直线的方程为，则，解得，则，
于是，则直线：，与直线：联立解得：，
于是，故直线：，即．
16.解：由题意圆：，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线：，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为即，
综上，直线的方程为或；
假设圆上存在点，设，则：，
又，
即，的轨迹是圆心为，半径为的圆．
因为，
所以圆：与圆相交，
所以点的个数为．
17.解：由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立抛物线：的方程得：，
，
设，，则，．
又，
即，
所以，即，
所以抛物线的方程为．
由知：，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
18.解：因为双曲线的焦距为，
所以，
解得，
又，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
易知直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，
此时恒成立，
由韦达定理得，，
所以；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
此时，
因为，，
所以
．
故为定值，定值为．
19.解：根据题意可得：，，
又，解得，，，
故椭圆的标准方程为：．
当直线斜率为零时，显然不满足题意；
直线的斜率不为零，设其方程为：，联立椭圆方程：可得：，
设，的坐标分别为，，则，，，
点到直线的距离，，
令，则，
故，
对函数，，易知在单调递增，
所以在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；
故面积的最大值为，此时直线的方程．
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