2024-2025学年湖南省高一（上）期中数学模拟试卷（提高卷）（含答案）

2024-2025学年湖南省高一（上）期中数学模拟试卷（提高卷）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
2.已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.函数是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( )
A. B.
C. D.
6.已知连续函数满足：，，则有，当时，，，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. 在上的最大值是
D. 不等式的解集为
7.定义域和值域均为常数的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是( )
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解
8.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过定点
B. 若不等式的解集为或，则
C. 函数的最小值为
D. 函数的单调增区间为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______．
10.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
11.已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．
四、解答题：本题共11小题，共132分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断并证明在上的单调性；
若存在实数，使得不等式有解，求实数的取值范围．
13.本小题分
已知函数对任意的，，都有，且当时，．
求证：是上的增函数；
若，解不等式．
14.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数的值；
判断在上的单调性，并用定义证明；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
15.本小题分
如果存在常数，对于任意，都有成立，那么称该函数具有“变换”．
判断函数，是否具有“变换”，并说明理由．
已知具有“变换”，求的值．
如果是定义域为的奇函数，当时，且具有“变换”，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在区间上的奇函数，且，．
求函数的解析式；
判断并证明函数在区间上的单调性；
解不等式．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的值域；
若关于的方程有三个不等实数根，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，，且函数有三个零点．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知为偶函数，为奇函数，且满足．
求，；
若，且方程有三个解，求实数的取值范围．
20.本小题分
我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．
已知函数，求该函数图象的对称轴方程；
若函数的图象关于直线对称，且当时，．
求的解析式；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知是定义在区间上的奇函数，且，若，，时，有．
Ⅰ判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
Ⅱ若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知为偶函数，为奇函数，且满足．
求，；
若方程有解，求实数的取值范围；
若，且方程有三个解，求实数的取值范围．
参考答案
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12.解：因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，解得，
所以；
在上为单调递增函数，证明如下：
证明：任取，，使，
则
，
因为，
所以，，，
所以，
即，，
所以在上为单调递增函数，
又因为为奇函数，
所以在上为单调递增函数，
所以在上为单调递增函数；
由可知，在上单调递增，
设，则，
所以将问题转化为存在，使得有解，
令，，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为．
13.解：证明：设，，且，
则，即，
所以，
所以，
所以是上的增函数．
因为，所以，
在上式中取，，则有，
因为，所以，
于是不等式等价于，
又由，知是上的增函数，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为．
14.解：因为函数是定义在上的奇函数，所以；
所以，经检验，该函数为奇函数；
在上单调递增，
证明如下：任取，
，
其中，，
所以，即，
故在上单调递增；
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集，
而由知：，
当时，在上单调递减，在上单调递增，，
所以，即，
当时，在上单调递增，在上单调递减，，
所以，即，
综上所述，．
15.解：因为，所以，
由，得，
显然当时，上式恒成立，所以具有“变换”．
因为，所以，
由，得，显然当时，上式恒成立，
所以具有“变换”．
因为具有“变换”，所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，即时，上式化为，不恒成立．
当时，有或．
综上，当或时，函数具有“变换”．
根据题意，当时，，
由奇函数的对称性可知，当时，，
当时，在上单调递增，显然满足条件．
当时，可得函数图象如图所示：
由图可知，此时在上不单调，
若需满足，可先求出图象中不单调部分所对应的横向的最大距离．
设函数与直线最左侧交点为，最右侧交点为，
由，得，
由，得，
所以，
由不等式，得，
当且仅当，即时，取得等号．
所以当时，．
所以图象中不单调部分所对应的横向的最大距离为．
由，得．
综上，实数的取值范围为．
16.解：由题意可知，所以，
又，，所以，，
所以；
函数在区间上是增函数，理由如下：
任取，
则，
，，
，即，
函数在区间上为增函数．
由题意易证，故是奇函数，
不等式可化为，
，又在区间上单调递增，
，
解得，
不等式的解集为．
17.解：由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
的值域为；
设，又，则，
如图所示：
方程有个不等实数根，即，
则方程有两个不等实数根，，
不妨设，，
设函数，
或
实数的取值范围为．
18.解：Ⅰ由题意设，
要使函数有三个零点，即有三个不同的交点，
作出函数和的图象，如图所示：
由图象得，解得，
故的取值范围为；
Ⅱ对任意的，总存在，使得成立，
，
，
由Ⅰ得函数有三个零点，即，则，
在上递增，
，
又，
若，即，则在上单调递增，
，
，，故；
令，解得，
若，即，
则，
恒成立，；
若，即，则，
，解得，
，
综上所述，，
故实数的取值范围为．
19.解：因为为偶函数，为奇函数，所以，，
由，
得，
即，
可得，
可得；
由，
方程，
可得或，
即或，
当时，由下图可得与的图象有两个交点，
所以要使方程有三个解，
只需有一解即可，
即与的图象只有一个交点即可，
由图象可得或，
解得或．
综上，实数的取值范围为．
20.解：因为，
因为，
令，则该函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，函数图象的对称轴方程为．
因为函数的图象关于直线对称，且当时，，当时，，则，
所以，．
当时，，因为函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，
因为，则，
不等式两边平方可得，即，解得，因此，不等式的解集为．
21.解：Ⅰ函数在上是增函数．
设，
是定义在上的奇函数，
又，，
由题设有，
即，
所以函数在上是增函数．
Ⅱ由Ⅰ知，
对任意恒成立，
只需对恒成立，即对恒成立，
设，则，
，
，
解得或．
的取值范围是．
22.解：根据题意，
是偶函数，是奇函数，
且，
，，
，即；
由解得，
解得；
方程有解，
则有解，、
令，当且仅当时取等号，
在有解，
即，
当时，不成立，
当时，，
当且仅当时取等号，
故的取值范围为；
，
令，则，
函数的图象，如图所示为：
方程有三个解，
有两个根，且，或者，，或者，
当，，有，
，解得满足题意，
则，解得，
则，存在两个值满足，
当时，
记，
，
解得，
故的取值范围为．
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