2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列结论中正确的是( )
A. 所有的集合都可以用列举法表示
B. 集合表示空集
C. 集合，，则
D. 已知，，，则
3.，则下列不等式不成立的是( )
A. B.
C. D.
4.设集合，，，，其中，，下列说法正确的个数是( )
对任意，是的子集，对任意，不是的子集；
对任意，是的子集，存在，使得是的子集；
存在，不是的子集，对任意，不是的子集；
存在，不是的子集，存在，使得是的子集．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合，，则 ______．
6.陈述句“或”的否定形式是______．
7.已知集合，，若，则实数 ______．
8.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为______．
9.已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为______．
10.若，则关于的不等式的解集为______．
11.已知，则集合的非空真子集的个数为______．
12.已知对任意恒成立，则 ______．
13.已知集合，则实数的取值范围是______．
14.若不等式的解集是，则的解集为______．
15.设集合，的所有非空子集的元素之和为，则 ______．
16.设集合，若非空集合同时满足：，，其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
求；
求．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求实数的取值范围；
取，设一元二次方程两个根为，，求，
19.本小题分
解决下列问题：
设，比较与的大小；
若，，，用反证法证明：和中至少有一个大于．
20.本小题分
集合，，，
试求实数的取值范围，使；
若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知集合为非空数集，定义，．
若集合，请直接写出集合和；
若且，集合满足，求的最小值；
若集合，，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.且
7.或
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，．
；
，
则．
18.解：由题意可得：，解得且，
所以的取值范围是；
当，可得，
所以，，
所以，．
19.解：，，
，
；
证明：假设和中都不大于，即，，
因为，，
所以，，
所以，，
两式相加得，即，与已知矛盾，
所以假设错误，
故和中至少有一个大于．
20.解：解不等式可得，解不等式可得或，
因此可得；
当时，，不合题意；
当时，解得，
若，可得，解得；
当时，解得，
若，可得，解得；
综上可知，实数的取值范围为或；
由可知或，
显然，且，
因此只需满足即可，
又因为为正数，
可知时，，因为，
可得，解得，
所以的取值范围为．
21.解：由和的定义，得，，，
，．
当时，因为，所以，．
所以由题中新定义知，，，这与矛盾；
当时，对任意，，此时，，所以，．
所以，，满足．
综上可得，满足题意的的最小值是．
证明：因为，．
所以，且．
显然中不包含负数，且一定包含，
因为，所以．
再由，，知，即．
由，知，即．
由，知，即．
所以，
综上，原命题得证．
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