2024-2025学年湖南省株洲市世纪星高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲市世纪星高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，点在边上，，记，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则当时，有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
5.已知两直线：和：，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
7.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，其中，则( )
A. 直线过定点
B. 当时，直线与直线垂直
C. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
D. 若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为
10.如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与所成的角为
C. 平面
D. 直线与平面所成的角为
11.已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则 ______．
13.直线过一个定点，则该点坐标为______．
14.“”是“直线和直线平行”的______条件填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程要求把直线的方程化为一般式：
直线与直线平行；
直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为；
直线在两坐标轴上的截距相等．
16.本小题分
长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，年月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图，观察图中信息，回答下列问题：
根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第百分位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从成绩在第组和第组的学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少有人成绩优秀的概率．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
求及的面积；
若为边上一点，且，求的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，，，，．
证明：平面平面．
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
若点是的动点，上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.充分不必要
15.解：设直线的方程为为常数，代入点得，
所以直线的方程为，即；
设直线的方程为，则，，
由解得，，，故直线的方程为，即；
若直线的截距为，设直线的方程为，将点代入直线方程可得，，
故直线方程为；
若直线的截距不为，设直线的方程为，
将点代入直线方程可得，，解得，故直线方程为．
综上所述，直线的方程为或．
16.解：，
所以本次考试成绩的平均分约为；
因为成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
所以第百分位数位于，
设其为，则，
解得，所以第百分位数为．
第组的人数为：人，第组的人数为：人，
所以至少有人成绩优秀的概率．
17.解：由函数的部分图象可知，，
所以，所以，所以函数，
又，所以，
解得，由可得，
所以；
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以在上的最大值为，最小值为．
18.解：由余弦定理得，
整理得，即，
因为，解得，
所以；
由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因为，则，
所以．
19.证明：由平面，平面，平面，
得，， 与底面所成角为，
所以三角形为等腰直角三角形，，
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故AC，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则四边形为正方形，可得，
所以，在等腰直角三角形中，，
则有，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
因为是中点，是中点，所以，，
设平面的一个法向量为，
又，，
则有，取，则，
可得平面的一个法向量为，
而，
所以点到平面的距离为；
设，
注意到，所以，所以，
设，
注意到，所以，
因为，，
所以，，
若平面，则当且仅当，
即当且仅当，此时，
综上所述，当且仅当，重合，
此时存在，使平面．
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