2024-2025学年上海市松江二中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市松江二中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
2.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.一元二次方程有解是一元二次不等式有解的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是( )
A. ， B.
C. D. ，
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.不等式的解是______．
7.若，则符合条件的集合有______个
8.若，，且，则实数的取值范围是______．
9.“且”是“”的______条件．
10.已知，，且是的必要条件，则实数的取值范围是______．
11.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
12.已知，，则的取值范围是______．
13.已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数 ______．
14.已知全集，，集合，，则 ______．
15.设为非空实数集且满足：对任意给定的，可以相同，都有，，，则称为幸运集．有以下结论：
集合为幸运集；
集合为幸运集；
若集合，为幸运集，则为幸运集；
若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ．
16.对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，集合，且，都是集合的子集，则集合的长度最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，为实数，比较与的值的大小；
设全集为，已知集合，，求．
18.本小题分
若实数、、满足，则称比远离．
若比远离，求的取值范围；
对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
19.本小题分
某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税某外资企业第一个月型产品出厂价为每件元，月销售量为万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为，即销售元要征收元的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少万件．
试求第二个月政府对该商品征收的税收万元的表达式用表示，并求的取值范围．
要使第二个月该企业的税收不少于万元，求的取值范围．
20.本小题分
已知关于的不等式，其中，
当，求不等式的解集；
当变化时，试求不等式的解集；
对于不等式的解集，满足试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素个数最少时的取值范围，并用列举法表示此时的集合；若不能，请说明理由．
21.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，．
若集合，直接写出集合、；
若集合，，且，求证：；
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.充分不必要
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
则．
由，两边同时乘以，得，解得，
故，则或；
由，得，解得，
故B；
．
18.解：由题意得，
，即，解得或，
故实数的取值范围是；
证明：由题意得，，，，
则，，
，
故比远离．
19.解：依题意，第二个月该商品销量为万件，
月销售收入为万元，
则税收万元，
故所求函数为，
由题得：，解得：，
即，
即，；
由，
由题得：，解得：，
即当时，税收不少于万元．
20.解：当时，不等式为，即，
解得，；
当时，；
当时，不等式可分解为，
当时，不等式的解集为，
当时，显然，不等式的解集为；
当时，可得，不等式的解集为或；
当时，可得，不等式的解集为或；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
根据题意由可知当时，集合为无限集，
当时，，此时集合为有限集；
若使得的集合中元素个数最少，即可知集合至少包含，，，这四个元素即可；
所以可得，解得．
此时的集合．
21.解：因为，
故可能为，，，，，
即；
可能为，，，
即；
证明：因为，
又因为，中只有个元素，
所以中也只包含个元素，
又有，
故，
则剩下的元素满足，，
所以；
设集合满足题意，且，
则，
所以，
又，故，
因为，
由容斥原理，，
所以最小的元素为，最大的元素为，
所以，
即，
解得，
实际上，当时满足题意；
证明如下：设，，
则，
则，
依题意可知，，即，所以的最小值为，
所以当时，集合中元素最多，
即时满足题意，
综上，的最大值为．
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