2024-2025学年重庆市巴蜀中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市巴蜀中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.设集合，，则如下的个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是( )
A. B.
C. D.
6.已知集合，，不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是( )
A. 当时，集合的积集
B. 若是由个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为个
C. 若是由个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为个
D. 存在个正实数构成的集合，使其积集
8.已知，，不等式在上恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
10.下列说法不正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的定义域为
D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是
11.已知，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合的非空子集的个数是______．
13.若在上单调递增，则实数的取值范围为______．
14.高一某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习已知选择物理的有人，选择化学的有人，选择生物的有人，其中选择了物理和化学的有人，选择了化学和生物的有人，选择了物理和生物的有人那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有______人
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知关于的不等式其中．
若不等式的解集为，求的值；
若，试求该不等式的解集．
17.本小题分
已知命题：对任意，且，不等式恒成立；命题：，．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数的定义域为，且区间若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质．
试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件；
若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
若函数在区间上同时具有性质和性质，求实数的取值范围．
19.本小题分
对于在平面直角坐标系第一象限内的两点，作如下定义：若，则称点领先于点．
试判断点是否领先于点，并说明理由；
若点领先于点，试证明：点领先于点
对，，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数．
参考答案
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15.解：，则或，
当时，，
故B或．
由得，
当时，，符合题意；
当时，化简得，
要使得，需要，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
16.解：因为等式的解集为，
所以，且和是方程的两个根，
由根与系数的关系得，解得或，
当或时，方程均化为，此时，
符合条件，所以或．
不等式是可化为，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式对应方程为，解得或，
作差得，
若，则开口向下，且，
解不等式得或；
若，则开口向下与轴有唯一交点，且，
解不等式得；
若，则开口向下，且，
解不等式得或．
综上，时，解集为；时，解集为或；
时，解集为；时，解集为或
17.解：，
当且仅当即取得等号．
要使得命题为真命题，只需要，解得
所以实数的取值范围是．
令，当时．
要使得命题为真命题，只需要，故．
若命题和命题都是假命题，
此时或，可得．
所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是．
18.解：证明：若函数在区间上具有性质，即在区间上单调递增，
设任意，且，则有，
变形可得，即，
所以在区间上单调递增，即充分性成立；
反之，若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增，
但，故不符合性质，即必要性不成立；
所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件．
根据题意，函数在区间上具有性质，即函数在区间上单调递增．
设，
则，
因为，则，，
可得恒成立，则，
所以实数的取值范围是．
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由对勾函数可知：的增区间为，，
的增区间为，
要使得条件成立，需要或
所以实数的取值范围是或．
19.解：对于在平面直角坐标系第一象限内的两点，作如下定义：若，则称点领先于点，
由条件，证是否成立，即证，
即证，即证，即证，该式显然正确，
所以点领先于点；
证明：要证点领先于点，即证，
即证，
即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证；
由条件知，，有，
即，，有，
先考虑变量，需要恒成立，所以，有，
再考虑变量，存在即可，所以，解得，
又因为，故，易知该集合中有个元素，
则符合条件的正整数组成的集合中元素的个数为个．
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