2025届高三数学第一次模拟考前训练1（含解析）

2025届高三年级数学第一次模拟考前训练1
数学科
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．设集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．若抛物线上有两点，且垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线的距离为(　　)
A． B． C． D．
7．函数f(x)＝ln(x2－2x－3)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(3，＋∞)
8．函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为
C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是
10．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递减
C．的图象的一个对称中心是
D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
11．已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共计20分
12．已知向量夹角为，，，则 .
13．已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ．
14．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 .
三、解答题（共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明）
15．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的最大值．
16．锐角的内角所对的边分别为，若，且，.
(1)求边的值；
(2)求内角的角平分线的长．
17．已知函数，若有极大值，且极大值为2．
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
18．为了促进落实“科技助农”服务， 某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛， 先进行选拔赛. 选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛， 答对3题者进入正赛， 答错3题者则被淘汰. 设选手甲答对每个题的概率均为，且答每个题互不影响.
(1)求选手甲进入正赛的概率;
(2)设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量，求的分布列及数学期望.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
2025届高三年级数学第一次模拟考前训练1参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C B A A C C BC AC BC
1．A由图知阴影部分为的元素去掉 的元素组成的集合，因为，所以阴影部分表示的集合为.
2．A因为，所以或，
则或，故“”是“的充分不必要条件，
3．C因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：，经检验适合题意；
4．B由函数图象可知，，即，
由，得，
故，由于，故，
则，
5．A由且所以，则
则
6．A因为垂直于轴，设因为，故可得，解得
代入抛物线方程，可得，又抛物线的焦点为故抛物线的焦点到直线的距离为.
7．C试题分析：由题意可得：求函数的单调递减区间应满足：
即，所以应选C
8．C令，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.所以，当时，取得极小值，
再结合二次函数图象，作出的图象如下图：
因为函数有3个零点，
所以函数的图象与直线有3个交点，由图可知，，即的取值范围为.
9．BC对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误；对于选项，，所以，
则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确；
对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确；
对于选项，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误．
10．AC由题意可得，所以，
所以.
对于A，由于，可知A正确；
对于B，当，，，函数先增后减，故B错误；
对于C，令，求得，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D不正确.
11．BC因为为R上的奇函数，所以；
因为为偶函数，所以，故B正确；
由可得，所以；
因为，其结果不一定为零，故A不正确；
由得，所以，故C正确；
由得，所以周期为4，
所以，因为从题目无法得出，故D不正确；
12．因为向量夹角为，，
所以，所以.
13． 将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数，
由于，所以这组数据的第60百分位数为：；
从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为：
，
共个样本点，
则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点，
所以这2个数据不相等的概率为.
14． 4 在中，，.
根据正弦定理（为外接圆半径），
这里，，所以，解得.
因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.
因为、、三点所在平面经过球心，
当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，
所以点到平面的距离的最大值为.则球的表面积为.
15．（1）解：，，.
所以，
解得，Z.
所以函数的单调递增区间为，Z.
（2）因为，所以.
所以. 又因为，
所以，即. 而，
所以，即.
16．（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，又因为，则，可得，
又因为，所以．
由余弦定理可得，即，
则，解得：，或，
由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，
故.
（2）根据面积关系可得，
即，解得：．
17．（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，因此的取值范围是
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则：
（1）恒成立：
（2）能成立：
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：
（2）能成立：
18．（1）解：设 “选手甲进入正赛” 为事件， 选手甲答对每个题的概率均为， 答错每个题的概率均为. 当甲连续答对 3 道题时， 进入正赛的概率为;
当甲前 3 个题 2 对 1 错，第 4 题对时， 进入正赛的概率为 ;
当甲前 4 个题 2 对 2 错， 第 5 题对时， 进入正赛的概率为 .
故 .
（2）解：由题可知的所有可能取值为3，4，5.
则 ，，
，
的分布列为
3 4 5
则 .
19．（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，

（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为， ，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，则，
由（2）知平面的一个法向量为，，
∴点Q到平面的距离是， ．
20．（1）因为双曲线E的一条渐近线方程为，所以，又，
因此，又，，；则E的方程为．
（2）假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，
设，，中点为，又，
由可知为等腰三角形，，且直线l不与x轴重合，
于是，即，
因此，，（Ⅰ）
点在双曲线上，所以，
①②化简整理得：，，即，可得，（Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，
解得（舍去），适合题意，则；
由得，所以直线l的方程为：，即．