2024-2025学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，且，则( )
A. B. C. D.
2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.过点，且横、纵截距相等的直线方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
4.已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是( )
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断
5.如图，在平行六面体中，，为线段的中点，则可表示为( )
A.
B.
C.
D.
6.在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则( )
A. B. C. D.
7.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
8.设、是轴上的两点，点的横坐标为且若直线的方程为，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
9.在棱长为的正方体内有一点，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为，，，记正方体的中心为点，则( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.圆的圆心坐标为 ；半径为 ．
12.已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 ______．
13.已知两平行直线：，：，则与间的距离是______．
14.已知，，，若，，，四点共面，则实数 ______．
15.在平面直角坐标系中，定义，为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作已知点和直线：，则 ______；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线过点，直线：．
Ⅰ若，求直线的方程；
Ⅱ若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且．
用表示向量；
求；
求证：
18.本小题分
已知圆：，圆：及点．
Ⅰ判断圆和圆的位置关系；
Ⅱ求经过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，点在上，且．
求直线与直线所成角的大小；
求直线与平面所成角的正弦值；
若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点，分别为棱，的中点．
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线到平面的距离；
Ⅲ试判断棱上是否存在一点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知圆的圆心在轴上，半径为，且经过点．
求圆的标准方程；
设点，过点作直线，交圆于，两点不在轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于，两点，记四边形的面积为，求的最大值．
参考答案
1.
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4.
5.
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10.
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14.
15.
16.解：Ⅰ设直线的斜率为，则直线的斜率为，
，
，
，
，
又直线过点，
直线的方程为，
即；
Ⅱ若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时直线与轴和直线围成的三角形的面积为，符合题意，
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，
则直线的方程为，与轴的交点为，
令，可得，
即点的坐标为，
直线与直线的交点为，且面积为，
，
即，解得，
则直线的方程为，即为，
综上直线的方程为或．
17.解：，，，
因为；
解：，，，，
，，
由可得
，
则；
证明：
，
所以
．
所以，即
18.解：Ⅰ圆：，配方为，
可得圆心，半径．
圆：，可得圆心，．
，
，
圆和圆相交．
Ⅱ由点，可知切线的斜率存在，
设切线方程为，即，
则，解得或，
要求的切线方程为或．
19.解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，，，，，，
则，
，
所以直线与直线所成角为．
设平面的一个法向量为，
，
所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设，，，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值，
所以点到的距离最小值为．
20.解：Ⅰ证明：连接，因为点，分别为棱，的中点，
所以是的中位线，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ由Ⅰ知，直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，，
因为，为中点，
所以．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，
设平面的法向量为，，，
因为，所以，即，
设，则，，所以，
因为，
所以；
Ⅲ棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设，，，
设平面的法向量为，
因为，所以，即，
解得，令，则，所以，
所以，
解得，所以．
21.解：由于圆的圆心在轴上，所以设圆心坐标为，
又由于圆经过点，且半径为，
因此，即，解得，
因此圆的方程为：．
直线的斜率存在，那么设直线的方程，所以，
那么圆心到直线的距离，
因此，
如果，那么直线的方程为，所以，
所以圆心到直线的距离，因此，
所以
，
当且仅当，即时取等号．
如果，那么直线斜率不存在，
所以，所以，
综上所述，由于，
因此的最大值为．
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