2024-2025学年云南省大理白族自治州大理民族中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年云南省大理民族中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线和平面，，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破已知的近似值还可以表示成，则的值为( )
A. B. C. D.
6.奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点不包括端点，若，则线段的长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于”，事件“点数大于”，则( )
A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与对立 D. 与对立
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称
10.已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则( )
A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 三棱锥内切球的半径为
D. 三棱锥内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.将边长为的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为______．
12.已知，，则的最小值为______．
13.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，．
用，，表示向量；
若，，，求．
15.本小题分
已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，点为中点，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，角的平分线交于点，且满足，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
求证：；
在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”性质：对任意，均有；性质：对任意，均有．
分别判断说明区间是否为下列两函数的“区间”；
；
．
若是函数的“区间”，求的取值范围．
参考答案
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14.解：；
，，，
则
．
15.证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得，，，，，
为的中点，，
所以，
所以，所以，
又点为中点，，所以，
，，平面，平面，
又因为平面，故平面平面；
解：设平面的法向量为，则，，
令，则，，，
，设点到平面的距离为，
，点到平面的距禽为．
16.解：由正弦定理得，
所以，
则，又，
所以，则，因为，则，
所以，由于，则；
因为，，所以，
角的平分线交于点，由角平分线定理可得，
则，即，
由余弦定理可得，则，
整理得，所以，
又由余弦定理得，
因为，所以，
故．
17.解：证明：四边形是直角梯形，
，，
，，
是等腰直角三角形，即，
平面，平面，
，，平面，平面，
平面，又平面，
．
假设存在符合条件的点，过点作于，则，
平面，．
过点作于，连接，则平面，
，即是二面角的平面角．
若，则，又，
，即是线段的中点．
存在点使得二面角的大小为．
在三棱锥中，，
设点到平面的距离是，则，
，，
，解得．
在中，，，，
，
，
与平面所成角的正弦值为．
18.解：对于，由一次函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，
故区间是的“区间”；
对于，由反比例函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，此时不满足，
也不满足，
故区间不是的“区间”；
若是函数的“区间”，
而，不满足性质，必然满足性质，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
且，
即，所以，
满足，符合题意；
当时，在上单调递减，
所以，
而，符合题意；
当时，在上单调递减，
，所以，不符合题意；
综上可得的取值范围为．
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