第2章 二次函数 优生辅导练习题（含详解） 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》优生辅导练习题（附答案）
一、单选题
1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．图象与轴没有交点
D．顶点坐标为
2．已知，是二次函数图象上的点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（ ）秒爆竹离地面米
A． B． C． D．或
4．如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知正数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，若a，b为菱形对角线的长，菱形的面积存在最大值，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．不存在 D．任何实数
8．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点D、E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，总是负数；
②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若函数的图象经过点，则 ，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标 ，它的对称轴是 ．
10．若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 ．
11．已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
12．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．

13．如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ．
14．如图，已知二次函数的图象经过，两点，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接，，则的面积为 ．
15．已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是 ．
16．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且的面积为9，求m的值．
18．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为秒，
(1)为何值时的面积为？
(2)为何值时的面积最大？最大面积是多少？
19．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程的根；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围．
(4)当 时，求 y 的取值范围．
21． 某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售， 文化衫进价为 40元/件． 当售价为50元/件时， 销售量为500件． 在销售过程中发现： 售价每上涨1元销售量就减少10件． 设销售单价为元/件， 销售量为件．
（1） 写出与的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围）．
（2） 当销售单价为多少元时， 销售总利润为8000元
（3） 若每件文化衫的利润不超过， 要想获得总利润最大， 每件文化衫售价为多少元 并求出最大利润．
22．如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，，求证：；
(3)点在抛物线上，当时，求点的坐标．
23．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C D B B C
1．解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为，
∴图象与轴有交点，故C选项符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意．
故选：C．
2．解：∵二次函数，
∴对称轴为，图象开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越小函数值越小，
∵点，在上，且，
∴，
即，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
∴，
故选：A．
3．解：把已知数据代入得，，
整理得，，
解得，，
故选：．
4．解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
5．解：A、由图象可知，抛物线开口向下，则正确，不符合题意；
B、由图象可知，抛物线与轴交于正半轴上，则正确，不符合题意；
C、由图象可知，抛物线对称轴在轴右侧，则，再结合，可知正确，不符合题意；
D、由图象可知，抛物线对称轴在左侧，则，再结合，可知，即，则错误，符合题意；
故选：D．
6．解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的一个交点坐标为，
即或时，函数值，
∴关于的方程的解为，，
故选：．
7．解：∵正数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵a，b为菱形对角线的长，
∴菱形的面积为：，
∴当时，有最大值；
故选B．
8．解：①∵，
∴，
∴，
∴无论x取何值，总是负数；故①正确；
②向右平移3个单位，再向下平移3个单位后的解析式为，
∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到，故②正确；
③∵，
∴随着x的增大，的值减小；故③错误；
④设与交于点，
∵当时，，
解得：或，
∴点，
当时，，
解得：或，
∴点，
∴，，
当时，， ，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．故④正确．
综上所述：正确的是①②④．共3个；
故选：C．
9．解：将点代入可得：，解得：，
∴函数解析式为，
∴抛物线的开口方向是向上，顶点坐标为，它的对称轴是直线．
故答案为：1，向上，，直线．
10．解：根据题意，将代入得：，
则，
，
故答案为：2029．
11．解：设点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
则，
当时，，
解得，（舍去），
；
当时，，
解得，（舍去），
；
终上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
12．解：由题意，得
，
解得（舍去），
又∵，
∴，
故答案为：．
13．解：过点作于点，交于点，则，，，
∴，，
设，则，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当时，矩形面积最大，最大值为．
故答案为：15．
14．解：分别把点，代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
二次函数的对称轴为直线，
点C的坐标为，
，，
的面积为．
故答案为：6．
15．解：把代入，则，
解得：，
二次函数解析式为：，
令，则，
故，
∵抛物线的对称轴为直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
，
∴此时的值最小，
∴此时周长有最小值，
，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
16．解：由抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点为可得，，，
，①正确．
抛物线与轴有2个不同交点，
，②错误．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线经过，
，
，
，③正确．
由整理得，
，
，
，
，
抛物线开口向下，与轴交点坐标为，，
时，，
即不等式的解集为，④错误．
故答案为：①③．
17．（1）解：令，则，
∵，
∴无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：解方程，得，，
令，则，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，
∴，
∵的面积为9，
∴，即，
解得．
18．解：（1）根据题意得：，，
，
解得：或4，
，，
．
或4都符合题意，
即当秒或4秒时，的面积是；
（2）由（1）可知，
，，
当为3时的面积最大，最大面积是．
19．（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：存在点，使得，理由如下：
∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，，
∴点，点，
∴，
如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，则， ，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得，(不合题意，舍去)
，
∴点D的坐标为．
20．（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、，
∴的根为，；
（2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、，
∴不等式的解集为或；
（3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，
∴方程有实数根，
则；
（4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、，
∴当 时，则
21．解：（1）设销售单价为元/件，上涨了元，此时销售量下降了件
则销售量
故答案为
（2）由题意可得：
化简得：
解得，
答：当销售单价为或元时， 销售总利润为8000元
（3）设总利润为元，则由题意可得：，解得
∵，开口向下，对称轴，
∴时，随的增大而增大
又∵
∴当时，最大，为元
答：售价为元时，利润最大，为元
22．（1）解：把和代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
（2）解：如图，
∵，
∴ 点的坐标为，
令，则，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵，
即，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，当点F在下方时，设与交于点G，
∵，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵
则
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组
得或，
∵，
∴点的坐标为；
当点F在上方时，如图，
则直线，
设直线的解析式为，
代入和得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组
得或，
∵
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
23．（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．