第1章 直角三角形的边角关系单元综合练习题（含详解） 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》
单元综合练习题（附答案）
一、单选题
1．在中，，则 ( )
A． B． C． D．
2．若的内角满足，则的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，从点观测点的俯角是（ ）
A． B． C． D．
8．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（ ）

A． B．1 C．2 D．
二、填空题
9．在中，．
(1)若，，则____，_____，_____；
(2)若，，则AC的长为______；
(3)若，，则BC的长为_______．
10．如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．

11．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ．
12．在边长为6的菱形中，，对角线、交于点，点是对角线上的点，且，则的长为 ．
13．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
14．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．）
15．“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒．
16．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，）
三、解答题
17．求下列各式的值：
(1)
(2)
18．解直角三角形
(1)；
(2)．
19．如图，在中，，，，求．
20．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，．
(1)求的长．
(2)求的值．
21．图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号）
(2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：）
22．如图，已知直线与直线相交于，它们与轴分别交于，两点，直线轴，交轴于，设点是线段的中点，连接
(1)求点的坐标；
(2)设是线段上一点，如果，求点的坐标；
(3)设点为轴上一点，，当时，求点的坐标．
23．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．
(1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度．
(2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D D C D B B
1．解：
由题意得：．
故选：A．
2．解：∵，
∴，
∴，
∴，
即的形状是直角三角形．
故选：A．
3．解：设扶梯的长度为x米，
由题意得，，
解得,
故选D．
4．解：∵，
∴，
∴用科学计算器求的长的按键顺序为：
；
故选D．
5．解：，，，
，
，，
根据轴对称的性质可知：
，
，
，
，
，
故选：．
6．解：如图，过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点，
在中，
，，，
由勾股定理可知：，
同理，在中，由勾股定理可知：，
设，
在中，由勾股定理可知：；
同理，在中，，，
，
，
，
解得，即，
，
，
故选：D．
7．解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角，
∴从点观测点的俯角为，
故选：B．
8．解：由题意得，，
∴，
过B作，垂足为P，

∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∴，
解得，
∴观测站到的距离是1．
故选：B．
9．(1)，，
(2)
(3)
10．解： ，
，
于，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11．解：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
12．解：由菱形的性质可知，，，
，
，
∴为等边三角形，
，
∴．
点在对角线上，
点的位置有两种情况：①如解图①，当点在上时，
，
，
，
；
②如解图②，当点在上时，由①可得，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
13．解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．解：由题意可知，
在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．解：作于点．
在中，，
∴
（米），（米），
同理，（米）．
则（米）．
则平均速度是（米秒），
故答案为：．
16．解：由题意得：（海里），
在中，海里，
∴（海里）
（海里），
在中，，
∴（海里），
（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
17．解：（1）
（2）
18．（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，，
∴，
∴．
19．解：过点A作交于点D，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：∵，，
在，，
设，，
由勾股定理可得，即，
解得 （舍去）或，
∴，，
∵平分，，，
∴；
（2）∵，，，
又∵，
∴，
∴，
设，在中，，
解得，即，
∴在中，．
21．（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
，
在中，，
可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点作，交的延长线于点，交于点，
解：由题意得：，，，
在中，，
设，则，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
在中，，
此时可伸缩支撑杆的长度为．
22．（1）解：由题意可得：
，解得：，
∴点的坐标为．
（2）解：∵直线轴，交轴于，
∴点的坐标为，
∵点是线段的中点，
∴点的坐标为，
∴，
∵直线与轴分别交于点，
∴，
∴ ，
∴，，
如图：过E作于I，作交延长线于H，
∵，
∴，
∴；
设，即，
∵，
∴，
∴，解得：（舍弃负值）；
∴点G的坐标为
（3）解：∵直线 轴交于A，
∴，即
如图：连接，若点P在点A的左侧，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴点P的坐标为．
同理可得：若点P在点A的右侧时，点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或．
（1）解：根据题意，米，米，
如图所示，连接并延长交延长线于点，
∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，
∴，即，
∴（米），
∴（米），
同理，，
∴（米）；
（2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，，
∴在中，（米），（米），
∴（米），（米），
∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，
∴，即，
∴（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴树的高度为米．