第4单元 有理数的加减、乘除及乘方运算专题提高讲义

第4单元 有理数的加减、乘除及乘方运算
有理数的加减混合运算
基础知识
知识点1 有理数加减法统一成加法的意义
1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.
如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)
2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它 ( http: / / www.21cnjy.com )前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式： 如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+3
3. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.
例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.
(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；
(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).
分析：先统一成加法，再省略括号和加号.
小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.
知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤
1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.
2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里 ( http: / / www.21cnjy.com )应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.
例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)
分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.
二、典型题解析
(一)基本概念题
例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.
(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；
(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).
分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.
小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.
(二)知识应用题
例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：
(1)第50个整数是什么？
(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？
小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.
(三)学科综合题
例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：
(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果 ( http: / / www.21cnjy.com )小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2
问：获胜的是谁？
(四)拓展创新题
例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示，等等，现有90个埃及分数： 你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗
分析：这是一道阅读理解题， ( http: / / www.21cnjy.com )要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.
(三)培优练习
1.下列化简正确的是( )
A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2 B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2
C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2 D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+2
2.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )
A.a－(b－c) B.a－(b+c) C.(a－b)+(－c) D.(－b)+(a－c)
3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )
A.0 B.2a C.－2a D.以上都可能
4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )
A.任意一个正数 B.任意一个非正数 C.小于1的有理数 D.任意一个有理数
5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )
A.6 B.－2x C.－6 D2x
6.填空题 (1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；
(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；
(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.
7计算
① (－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ② (－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)
③－12－[10+(－8)－3] ( http: / / www.21cnjy.com ) ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}
⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.4
8、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；
9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.
10．定义一种运算☆，其规则为☆=，根据这个规则，计算-2☆3的值 .
11.已知有理数x、y满足|x－2y|=－2|x－4|，求4x2－3y的值.
12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c＜0，a+c＞0，求a+b+c的值.
有理数的乘除及乘方运算
一、基础知识点
1.有理数的乘法法则：
2.有理数的除法法则：
3.乘方：
4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。计算时，先定符号，再算结果。
5.乘除运算时，带分数化为假分数，小数往往化为分数。
6运算过程中的负数要加上括号。
典型基础题
1.=______；=______。=______。=______。
2．当时，则代数式的值为______。
3．倒数是它本身的数是______，相反数是它本身的数是______，平方是它本身的数是______；绝对值是它本身的数是______；立方是它本身的数是______。
4．在中，指数是______，底数是______，幂是______。
5．下列说法正确的是（ ）
A．任何正数大于它的倒数；B．任何小于1的数，它的倒数一定大1；
C．任何数都有倒数； D．两数互为倒数，它们的相同次幂仍互为倒数。
6．一个有理数和它的相反数之积（ ）
A．符号必为正； B．符号必为负；C．一定不小于0； D．一定不大于0
7．若且，那么只要（ ）
A．； B．；
C．异号； D．必有一个为正，且正的绝对值较大。
8．若，则一定有（ ）A．； B．； C．； D．或。
9．一个数加上它的相反数再减去这个数与它的倒数的积，结果为（ ）
A．0； B．1； C．－1；D．－2。
10．已知有理数满足，则 （ ）
A．为正数； B．为负数；C．为非零有理数； D．任意有理数。
11．如果一个有理数的正偶次幂是非负数，则这个数是（ ）
A．正数； B．负数；C．非负数； D．任何有理数。
12．若，则下列各式中一定正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．。
13．下列各式中为有理数，且， 则
（1）； （2）；（3）； （4）。
其中成立的个数为（ ） A．1个；B．2个；C．3个；D．4个。
14．计算：（1）； （２）；
15．已知，求代数式的值。
三．培优提高卷
1．计算：=______。 2．若，则=______。
3．已知，若，则______。 4．若，则=______。
5．若，则=______。
6．已知互为相反数，互为倒数， 的绝对值等于它的相反数，则代数式的值为______。
7．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值等于______。
8．为有理数，如果，且，则（ ）
A．； B．且； C．且； D．且。
9．与互为相反数，且，则的倒数用的代数式可以表示为（ ）
A．；B．；C．；D．。
10．的值为（ ） A．； B．； C．； D．。
11. 已知，（其中为自然数），则的值为（ ）
A．0； B．1； C．－1； D．－1或1。
12．一个正整数与其倒数，相反数 相比较，正确的大小关系为（ ）
A．； B．；C．； D．。
13. 三个互不相等的有理数既可以表示为1，的形式，又可以表示为0，的形式，求的值。
14.找一找规律：你能比较两个数20042005和20052004的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先把它抽象 ( http: / / www.21cnjy.com )成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和(n+1)n的大小（n是自然数）。然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小（再空格中填写 “＞”、“＝”、“＜”）。
①12 21； ②23 32； ③34 43； ④45 54； ⑤56 65；…
（2）从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是：
nn+1 (n+1)n
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：
20042005 20052004
[课后作业]
1．为有理数，下列式子中一定大于0的是（ ）
A．；B．；C．；D．。
2．已知，则之间的大小关系是（ ）
A．； B．；C．； D．。
3．若一个数的相反数是正数，则下面四种说法中，正确的是（ ）
A．这个数大于它的相反数； B．这个数小于它的相反数；
C．这个数小于它的平方； D．这个数小于它的立方。
4．一个有理数和它的相反数的积（ ）
A．符号必为正； B．符号必为负；C．一定不大于0； D．一定不小于0。
二．计算：
（1）； （２）；
三、观察下列各式：
52－32=8×2； 72－52=8×3
92－72=8×4； ……
你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20012－19992的值．