同底数幂运算学案

同底数幂的运算
【要点梳理】
1．同底数幂的乘法
(1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(2)符号表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．
②法则可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
警务区 同底数幂的特征　“同底数幂”是 ( http: / / www.21cnjy.com )指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．
【例1】 计算：
(1)103×106； (2)(－2)5×(－2)2； (3)an＋2·an＋1·a； (4)(x＋y)2(x＋y)3.
2．幂的乘方
(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(2)符号表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)
②法则可逆用：
amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)
警误区 幂的乘方的理解　不要把幂的乘方与 ( http: / / www.21cnjy.com )同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
【例2】 计算：
(1)(102)3； (2)(am)3； (3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.
3.积的乘方
(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
(2)符号表示：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．
②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．
警误区 积的乘方的易错点　运用积的乘方法 ( http: / / www.21cnjy.com )则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．
【例3】 计算：(1)(－xy)3； (2)(x2y)2； (3)(2×102)2；(4)(－ab2)2.
4.同底数幂的除法
(1)法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减．
(2)符号表示 am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
(3)注意①应用法则时，必 ( http: / / www.21cnjy.com )须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“1”的情况，如：m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m＝m5－0.
(4)0次幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．
警务区 同底数幂的除法法则的理解　运 ( http: / / www.21cnjy.com )用同底数幂相除应注意：(1)适用范围：两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；(2)底数可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．
【例4】 计算：(1)a4÷a2； (2)(－x)5÷x3； (3)xn＋3÷xn；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．
幂的运算法则的逆向运用
幂的运算法则是以等式形式出现的，受 ( http: / / www.21cnjy.com )思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷．(1)am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．(2)amn＝(am)n(m，n都是正整数)．(3)anbn＝(ab)n(n为正整数)．
【例5】（1）计算：(－)2 014·(3)2 014. （2） 已知：3m＝6,9n＝2，求32m＋4n的值．
教材知能提炼
【题组练习1】
1.5-2的正确结果是（ ） A．- B． C． D．-
2. 若（x-3）-2有意义，则x_______；若（x-3）-2无意义，则x_______．
【知识点1小结】
一般地，当n为正整数时，，也即等于的倒数。
【题组练习2】
3.已知a≠0,下列等式不正确的是( )
A.(-7a)0=1 B.(a2+)0=1 C.(│a│-1)0=1 D.
4. 若a=-0.32,b=-3-2,c=,d=, 则( )
A.a5. （1）若有意义,则x_________；（2）若，则成立的条件为_____.
【知识点2小结】
任何非零数的0次幂都等于1，也即
【题组练习3】
6. =_________.
7. 如果,那么m=_________.
8. ,则m、n的关系(m,n为自然数)是________.
9.计算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。
【知识点3小结】引入负整数和0指数后，（，是正整数）这条性质对于，是任意整数的情形任然适用。
【题组练习4】
若,则等于( ) A. B.6 C.21 D.20
11. 计算（1） （2）
【知识点4小结】负指数的引入可以使除法转化为幂的乘法，即。
学科能力内化
【易错题】已知,那么P、Q的大小关系是( )
A.P>Q B.P=Q C.P13．【易错题】计算:
（1）; (2)
(3). (4) (n是正整数).
14．【变式题】已知3m=5，3n=2，求32m-3n+1的值．
15．【自定义型信息题】现定义运算a*b=2ab-a-b，试计算6*（3*2）的值．
课标能力升华
16．【学科综合题】计算：（-0.125）-2 003÷（-）-2 004．
17.阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘， 记为．如2×2×2==8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 (即=3)．一般地，若=6(>0且≠1，6>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为 (即=n)．如3=81，则4叫做以3为底81的对数，记为 (即=4)．
(1)计算以下各对数的值：
= ；= ；= ．
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式；
(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗
= (a>0且a≠1，M>0，N>0)；
(4)根据幂的运算法则：=以及对数的含义证明上述结论．
18.【探究题】已知：S=1+2-1+2-2+2-3+…+2-2 005，请你计算右边的算式求出S的值．
19.已知，求x的值．
20.若１＋２＋３＋…＋n＝a，求代数式的值．
21.已知２x＋５y－３＝０，求的值． 22.已知，求m、n．
23.已知的值． 24.若的值．
25.已知试把１０５写成底数是１０的幂的形式．
26.比较下列一组数的大小． 27.如果．
28.已知，求n的值．
29．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．若．
31．
32.
33．若，则求m＋n的值．
中考典题实战
1．【2011芜湖】计算2-2的结果是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
2．【2011青岛市】计算：2+2= ．
3．【2011宁波】计算 ．
4．（2014 绍兴）计算（ab）2的结果是（　　）
A．2ab B．a2b C．a2b2 D．ab2　
5．（2014 六盘水）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2mn）2=4m2n2 B．y2+y2=2y4 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．m2+m=m3　
6．（2014 宿迁）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a4=a7 B．a3 a4=a7 C．a6÷a3=a2 D．（a3）4=a7　
7．（2014 哈尔滨）下列计算正确的是（　　）
A．3a﹣2a=1 B．a2+a5=a7 C．a2 a4=a6 D．（ab）3=ab3　
8．（2014 郴州）下列运算正确的是（　　）
A．3x﹣x=3 B．x2 x3=x5 C．（x2）3=x5 D．（2x）2=2x2　
9．（2014 长沙）下列计算正确的是（　　）
A． += B．（ab2）2=ab4 C．2a+3a=6a D．a a3=a4　
10．（2014 三明）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）2=a5 B．a6÷a3=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a+b）2=a2+b2　
11．（2014 宜昌）下列计算正确的是（　　）
A．a+2a2=3a3 B．a3 a2=a6 C．a6+a2=a3 D．（ab）3=a3b3
12．（2014 云南）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+2x3=5x6 B．50=0 C．2﹣3= D．（x3）2=x6　
13．（2014 雅安）下列计算中正确的是（　　）
A． += B． =3 C．a6=（a3）2 D．b﹣2=﹣b2　
14．（2014 黑龙江）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．4a2﹣2a2=2 B．（a2）3=a5 C．a3 a6=a9 D．（3a）2=6a2　
15．（2014 自贡）（x4）2等于（　　）
A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4　
16．（2014 南京）计算（﹣a2）3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
课外空间遨游
黑洞数——153
之所以说153是黑洞数，这是因为只 ( http: / / www.21cnjy.com )要通过一种运算，所有是3的倍数的数无一能逃脱它的魔力，都会被吸进去.也就是说任意找一个是3的倍数的自然数，先把这个数的每一个数字都立方，然后相加，得到一个数；然后再将所得数的各位数字立方求和，并将此运算一直重复下去，就会得到153.
比如369这个数.先把3、6、9立方，然后相 ( http: / / www.21cnjy.com )加，得到33+63+93=27+216+729=972；再把972中的9、7、2立方，然后相加，又得到：93+73+23=729+343+8=1080；再把1080中的1、0、8、0立方求和，得：13+83=1+512=513；再把513中的5、1、3立方求和，得：53+13+33=125+1+27=153.这样，经过了4次运算，369就变成了153.
分析一下153这个数，不难 ( http: / / www.21cnjy.com )发现153有它的特别之处：153是3的倍数，且它的各位数字的立方和仍然是153，即13+33+53=153.在所有3的倍数的自然数里，153是唯一一个具备这一特性的数.值得注意的是它的魔力不能吸进那些不是3的倍数的数.请你尝试一下，按照上述运算规律和法则，8523最终会不会掉进黑洞153呢？