福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 672.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-09 21:47:07 | ||
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文档简介
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
本试卷共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A.-3 B.-1 C.0 D.2
2.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
7.如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且交AB于点，点的坐标为，则方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）
A.的虚轴长为6 B.的离心率为
C.的渐近线方程为 D.点到的一条渐近线的距离为4
10.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ）
A.直线与圆相交 B.|PQ|的最小值为
C.四边形PACB面积的最小值为4 D.存在点，使得
11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）
A.曲线关于直线对称
B.曲线经过点，其方程为
C.曲线围成的图形面积小于
D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.
13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.
14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知圆与轴交于A，B两点，动点与点A的距离是它与点距离的倍.
（1）求点的轨迹方程;
（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M，N两点，求弦长|MN|.
16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.
（1）求双曲线的方程;
（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB的中点坐标为，求直线的方程.
17.（本小题15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点，记AP的斜率为的斜率为.求证:为定值.
18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
（1）求抛物线的方程;
（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB的中点.
（i）求证:点N在定直线上;
（ii）若的面积为6，求点A的坐标.
19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，
（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，
（i）求斜椭圆的离心率;
（ii）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M、N，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C
二、多选题：本题共3小题，每小题8分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.AB 10.BC 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.5 13. 14.
第11题解析 对于A，先求曲线方程，设曲线上一点，
由已知，即。
若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A选项正确.
对于B，将代入曲线方程，得，即，此时方程为，B选项错误。
对于，则，
所以在以圆心为，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.
对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，
则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，
此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;
当整点为时，，此时整点均在曲线上，
且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.
第14题解析 直线和轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得,
解得:或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，则，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，
所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）易知.设点的坐标为，
得，…………………………………………………………….2分
化简得，即. ………………………………………………….5分
（2）可知方程:，即.………………………………………………………….7分
圆心到直线的距离.……………………………………………………….9分
，即.………………………………….13分
16.（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为.……….5分
（2）设，
则，两式相减，得，
整理得.…………………………………………………………………………….7分
因为线段AB的中点坐标为，所以，…………………………………….9分
所以直线的斜率，…………………………………………….11分
故直线的方程为，即.…………………………………………….13分
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为……………………………….15分
17.（1）依题可得，解得:，所以，即椭圆的方程为.………………………………………………………………………………………………….5分
（2）设，因为直线过点且斜率不为0，……………………………….6分
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，
其判别式，所以.………………………….9分
两式相除得，即.…………………………………………………….11分
因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以.……………………………………………………………….13分
从而.
18.（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以，
因此，即，解得，从而抛物线的方程为.……………….4分
（2）（i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知MA，MB的倾斜角互补，即MA，MB的斜率互为相反数，
，同理，…………………………………………………….6分
则，
化简得，则，……………………………………………………….8分
所以点在定直线上.………………………………………………………………………….9分
（ii），则直线，即………………………………………………………………………………………….10分
线段AB的长度:，点到直线AB的距离，……………….11分
可得的面积为，……………………….12分
因为，且，化简得
，……………………………….14分
令，则，即.
解得或，
由知或，所以或………………….16分
所求点A的坐标为，或者.…………………………………………….17分
19.（1）由已知可得，则，…………………………….2分
设，则，
所以，即点的坐标为;……………………………………………………………….4分
（2）（i）由与交点为和，则，…………………………….6分
由与交点为和，
则，所以;…………………………………………………………………….8分
（ii）法一:设直线，
与斜椭圆联立:，
有，
，……………………………………………….11分
，…………………………….13分
设直线，代入斜椭圆，
有，
，…………………………………………………………….15分
故.……………………………………………………….17分
法二:将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，………………………………….9分
点旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，………………….10分
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，……………………………………………………….12分
，………………………………………………….14分
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，
.…………………………………………………….16分
综上所述，.………………………………………………………………………….17分
本试卷共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A.-3 B.-1 C.0 D.2
2.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
7.如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且交AB于点，点的坐标为，则方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）
A.的虚轴长为6 B.的离心率为
C.的渐近线方程为 D.点到的一条渐近线的距离为4
10.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ）
A.直线与圆相交 B.|PQ|的最小值为
C.四边形PACB面积的最小值为4 D.存在点，使得
11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）
A.曲线关于直线对称
B.曲线经过点，其方程为
C.曲线围成的图形面积小于
D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.
13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.
14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知圆与轴交于A，B两点，动点与点A的距离是它与点距离的倍.
（1）求点的轨迹方程;
（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M，N两点，求弦长|MN|.
16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.
（1）求双曲线的方程;
（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB的中点坐标为，求直线的方程.
17.（本小题15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点，记AP的斜率为的斜率为.求证:为定值.
18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
（1）求抛物线的方程;
（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB的中点.
（i）求证:点N在定直线上;
（ii）若的面积为6，求点A的坐标.
19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，
（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，
（i）求斜椭圆的离心率;
（ii）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M、N，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C
二、多选题：本题共3小题，每小题8分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.AB 10.BC 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.5 13. 14.
第11题解析 对于A，先求曲线方程，设曲线上一点，
由已知，即。
若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A选项正确.
对于B，将代入曲线方程，得，即，此时方程为，B选项错误。
对于，则，
所以在以圆心为，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.
对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，
则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，
此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;
当整点为时，，此时整点均在曲线上，
且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.
第14题解析 直线和轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得,
解得:或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，则，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，
所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）易知.设点的坐标为，
得，…………………………………………………………….2分
化简得，即. ………………………………………………….5分
（2）可知方程:，即.………………………………………………………….7分
圆心到直线的距离.……………………………………………………….9分
，即.………………………………….13分
16.（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为.……….5分
（2）设，
则，两式相减，得，
整理得.…………………………………………………………………………….7分
因为线段AB的中点坐标为，所以，…………………………………….9分
所以直线的斜率，…………………………………………….11分
故直线的方程为，即.…………………………………………….13分
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为……………………………….15分
17.（1）依题可得，解得:，所以，即椭圆的方程为.………………………………………………………………………………………………….5分
（2）设，因为直线过点且斜率不为0，……………………………….6分
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，
其判别式，所以.………………………….9分
两式相除得，即.…………………………………………………….11分
因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以.……………………………………………………………….13分
从而.
18.（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以，
因此，即，解得，从而抛物线的方程为.……………….4分
（2）（i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知MA，MB的倾斜角互补，即MA，MB的斜率互为相反数，
，同理，…………………………………………………….6分
则，
化简得，则，……………………………………………………….8分
所以点在定直线上.………………………………………………………………………….9分
（ii），则直线，即………………………………………………………………………………………….10分
线段AB的长度:，点到直线AB的距离，……………….11分
可得的面积为，……………………….12分
因为，且，化简得
，……………………………….14分
令，则，即.
解得或，
由知或，所以或………………….16分
所求点A的坐标为，或者.…………………………………………….17分
19.（1）由已知可得，则，…………………………….2分
设，则，
所以，即点的坐标为;……………………………………………………………….4分
（2）（i）由与交点为和，则，…………………………….6分
由与交点为和，
则，所以;…………………………………………………………………….8分
（ii）法一:设直线，
与斜椭圆联立:，
有，
，……………………………………………….11分
，…………………………….13分
设直线，代入斜椭圆，
有，
，…………………………………………………………….15分
故.……………………………………………………….17分
法二:将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，………………………………….9分
点旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，………………….10分
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，……………………………………………………….12分
，………………………………………………….14分
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，
.…………………………………………………….16分
综上所述，.………………………………………………………………………….17分