广东省广州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省广州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 592.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-09 21:48:01 | ||
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文档简介
广州2024学年第一学期期中考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.设，则（ ）
A.3 B.0 C. D.1
3.命题p：，，则命题p的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.已知p：，q：，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数是上的单调函数，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
7.广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人.
A.3 B.9 C.19 D.14
8.甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（ ）
A.甲 B.乙 C.一样 D.与a的取值有关
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.所有的素数都是奇数 B.，
C.不存在整数n，使是4的倍数 D.，为偶数。
10.设，则下列结论成立的是（ ）
A. B.（）
C. D.（）
11.若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的值不超过3 D.最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的定义域是 .
13.已知幂函数的图象关于y轴对称，则实数m的值是 .
14.已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围是 ；若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第三小题5分，共13分
（1）已知的值；
（2）已知，.求及的值
16.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分
已知集合，.
（1）当时，求
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围
17.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分
某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n（且）年内的总维修保养费用为（）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
（1）求实数k的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值.
18.本题共三个小题，第1、2小题各6分，第3小题各5分，共17分
已知为上的奇函数，当时，.
（1）写出的值，求的解析式；
（2）画的草图，并通过图象写出的单调区间.
（3）实数k取何值时，方程有3个不相等的实数根？
19.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题10分，共17分
定义在D上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.已知函数（）.
（1）若是奇函数，判断函数（）是否为有界函数，并说明理由；
（2）若在上是以为上界的函数，求m的取值范围.
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.【答案】B
【详解】由题可知，，所以，因为，，故选：B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
【详解】易知函数是上的减函数，
则，解得.故选A
7.【答案】C
【详解】设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛的有人，
8.【答案】B
【详解】由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为y元，则乙两次加油共需付款元，甲两次能加升油
设甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升，
则，，且，x，，
所以，即，
乙的加油方式更合算.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
12.【答案】AD
【详解】解：∵，∴，即，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最大值为，故选项A正确，符合题意；
当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为，故选项B错误，不符合题意；
∵，∴，∴，
即，，
当且仅当即，时，等号成立，与m，矛盾，
故选项C错误，该选项不符合题意；
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，即最小值为，当且仅当，时，等号成立，
故选项D正确，符合题意；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】2
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于y轴对称，当时，，其图象关于对称，因此，
14.【答案】，
【详解】∵命题“，”为假命题，∴命题“，”为真命题，当时，成立，
当时，则，解得：，
综上a的取值范围是.
因为命题“，”是假命题，所以，，即只需，所以，实数m的取值范围是.
（3）根据定义证明函数在区间上单调递减。
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.【详解】解：
（1）
.
（2）【详解】因为，，所以.
.
（3）【答案】略
16.【答案】
（1）
（2）
【详解】
（1）由，解得，所以，
时，，
由，解得，所以，
所以.
（2）因为“”是“”的必要条件，所以.
由，可得，
若，，不满足，则不符合题意；
若即时，，符合题意；
若，则，
因为，所以，解得，
综上，.
17.解：
（1）依题意可得，，
∵已知，
∴，
∴（且）
令，解得.
∵，
∴该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元
（2）年平均利润为，
令（且），
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，
∴
∴到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
18.【答案】
（1）；；
（2）作图见解析，增区间为和，减区间为
【详解】
（1）因为为上的奇函数，当时，，所以.
因为为上的奇函数，所以.
令得：，所以.
任取，则.所以.
由，所以.
综上所述：
（2）作出的图象如图所示：
从图象可以看出：的增区间为和，减区间为.（单调区间各1分，共4分）
（3）由（2）知，，
即，
解得：
19.【答案】
（1）函数（）为有界函数，理由见解析
（2）
【详解】
（1）解法一：若是奇函数，则，
则，
所以恒成立，
所以是奇函数时，，（根据奇函数算出得2分）
此时，
由，知，于是，则，
故时，，
所以，函数（）为有界函数.（证明有界函数得5分）
解法二：因为（）为奇函数，可得，则有，解得.
（2）若函数在上是以为上界的函数，则在上恒成立.
故恒成立，即恒成立，
所以，即，
由题可知，不等式在上恒成立.
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上单调递减，其最小值为.
所以，即，
故m的取值范围是.
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.设，则（ ）
A.3 B.0 C. D.1
3.命题p：，，则命题p的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.已知p：，q：，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数是上的单调函数，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
7.广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人.
A.3 B.9 C.19 D.14
8.甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（ ）
A.甲 B.乙 C.一样 D.与a的取值有关
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.所有的素数都是奇数 B.，
C.不存在整数n，使是4的倍数 D.，为偶数。
10.设，则下列结论成立的是（ ）
A. B.（）
C. D.（）
11.若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的值不超过3 D.最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的定义域是 .
13.已知幂函数的图象关于y轴对称，则实数m的值是 .
14.已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围是 ；若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第三小题5分，共13分
（1）已知的值；
（2）已知，.求及的值
16.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分
已知集合，.
（1）当时，求
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围
17.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分
某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n（且）年内的总维修保养费用为（）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
（1）求实数k的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值.
18.本题共三个小题，第1、2小题各6分，第3小题各5分，共17分
已知为上的奇函数，当时，.
（1）写出的值，求的解析式；
（2）画的草图，并通过图象写出的单调区间.
（3）实数k取何值时，方程有3个不相等的实数根？
19.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题10分，共17分
定义在D上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.已知函数（）.
（1）若是奇函数，判断函数（）是否为有界函数，并说明理由；
（2）若在上是以为上界的函数，求m的取值范围.
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.【答案】B
【详解】由题可知，，所以，因为，，故选：B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
【详解】易知函数是上的减函数，
则，解得.故选A
7.【答案】C
【详解】设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛的有人，
8.【答案】B
【详解】由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为y元，则乙两次加油共需付款元，甲两次能加升油
设甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升，
则，，且，x，，
所以，即，
乙的加油方式更合算.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
12.【答案】AD
【详解】解：∵，∴，即，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最大值为，故选项A正确，符合题意；
当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为，故选项B错误，不符合题意；
∵，∴，∴，
即，，
当且仅当即，时，等号成立，与m，矛盾，
故选项C错误，该选项不符合题意；
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，即最小值为，当且仅当，时，等号成立，
故选项D正确，符合题意；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】2
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于y轴对称，当时，，其图象关于对称，因此，
14.【答案】，
【详解】∵命题“，”为假命题，∴命题“，”为真命题，当时，成立，
当时，则，解得：，
综上a的取值范围是.
因为命题“，”是假命题，所以，，即只需，所以，实数m的取值范围是.
（3）根据定义证明函数在区间上单调递减。
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.【详解】解：
（1）
.
（2）【详解】因为，，所以.
.
（3）【答案】略
16.【答案】
（1）
（2）
【详解】
（1）由，解得，所以，
时，，
由，解得，所以，
所以.
（2）因为“”是“”的必要条件，所以.
由，可得，
若，，不满足，则不符合题意；
若即时，，符合题意；
若，则，
因为，所以，解得，
综上，.
17.解：
（1）依题意可得，，
∵已知，
∴，
∴（且）
令，解得.
∵，
∴该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元
（2）年平均利润为，
令（且），
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，
∴
∴到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
18.【答案】
（1）；；
（2）作图见解析，增区间为和，减区间为
【详解】
（1）因为为上的奇函数，当时，，所以.
因为为上的奇函数，所以.
令得：，所以.
任取，则.所以.
由，所以.
综上所述：
（2）作出的图象如图所示：
从图象可以看出：的增区间为和，减区间为.（单调区间各1分，共4分）
（3）由（2）知，，
即，
解得：
19.【答案】
（1）函数（）为有界函数，理由见解析
（2）
【详解】
（1）解法一：若是奇函数，则，
则，
所以恒成立，
所以是奇函数时，，（根据奇函数算出得2分）
此时，
由，知，于是，则，
故时，，
所以，函数（）为有界函数.（证明有界函数得5分）
解法二：因为（）为奇函数，可得，则有，解得.
（2）若函数在上是以为上界的函数，则在上恒成立.
故恒成立，即恒成立，
所以，即，
由题可知，不等式在上恒成立.
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上单调递减，其最小值为.
所以，即，
故m的取值范围是.