江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(无答案)

江西高二年级数学期中考试卷
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线与直线互相垂直，则（ ）
A.1 B. C.或3 D.或1
2.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4.点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
5.若，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
6.若实数满足，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知分别是双曲线的左 右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A.4 B.2 C.3 D.1
8.从椭圆外一点向椭圆引两条切线；切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在娒小疑给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A.若曲线表示两条直线，则或
B.若曲线表示圆，则
8.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D.若曲线表示双曲线，则
10.已知圆，则（ ）
A.圆与直线必有两个交点
B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C.若圆与圆恰有三条公切线，则
D.已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则的最小值为8
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A.点在曲线上
B.点在上，则
C.点在椭圆上，若，则
D.过作轴的垂线交于两点，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则面积为__________.
13.已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为__________.
14.如图，在棱长为3的正方体中，在正方形及其内部上运动，若，则点的轨迹的长度为__________.
四 解答题 本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知圆.
（1）若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
（2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积S的最大值.
16.（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直：面角.
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）给定椭圆，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”.已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为
（1）求椭圆和其“准圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围.
18.（17分）已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）若.
（i）求三棱锥的体积；
（ii）求二面角的余弦值.
（2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线 的斜率分别为 .
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.