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3.4.1 二次函数的图象与性质同步学案
列清单·划重点
知识点① 二次函数 的图象
一般的，二次函数 的图象是_________，它与抛物线 的形状___________,只是位置___________.当k>0时,将抛物线 向上平移k 个单位，就得到抛物线 当k<0时，将抛物线向下平移-k个单位，就得到抛物线 它的对称轴为_________，顶点坐标为________________.
知识点② 二次函数 的性质
值
开口方向 ____________ _____________
对称轴 ____________ _____________
顶点坐标 _____________ _____________
最大(小)值 当x=0时,y最小=_________ 当x=0 时,y最大=________
函数的增减性 当x>0时,y的值随x值的增大而_______;当x<0时,y的值随x值的增大而________ 当x>0时,y的值随x值的增大而________; 当x<0时,y的值随x值的增大而_________
图象位置
明考点·识方法
考点 二次函数 的图象与性质
典例 试在如图所示的平面直角坐标系内作出二次函数 和 的图象，然后依据图象回答下列问题：
(1)抛物线 与 和 有什么关系
(2)试比较这三个图象的相同点与不同点.
思路导析 先画出图象，再借助图象来直观地得到相应的结论.
规律总结 ①对于抛物线 与而言，若 则它们的开口大小相同、方向相同；若 则它们的开口大小相同、方向相反；反之，如果两条抛物线的开口大小相同、方向相同，则必有 若开口大小相同、方向相反，则
②平移规律：上加下减常数项.
变式 下列图象中，可能是函数 的图象的是( )
当堂测·夯基础
1.将抛物线 向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )
2.对于二次函数 当 时，y的取值范围是 ( )
3.若为二次函数图象上的三点，则y1，y ，y 的大小 关系是 ( )
4.若抛物线 当x≥0时，y随x 增大而增大，则a的取值范围是 ( )
5.已知点. 在抛物线 上，且 则 (填“＜”“＞”或“＝”)
6.二次函数 的最大值等于__________.
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 y 轴相交于点 A,点 B 与点O
关于点 A 对称.
(1)填空：抛物线顶点 A 的坐标为_______,B的坐标为________;
(2)过点 B 的直线 (其中与x轴相交于点C，过点 C 作直线l 平行于 y轴，P是直线l 上一点，且. 求线段 PB的长(用含 k的式子表示)，并判断点 P是否在抛物线上，说明理由.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
抛物线 相同 不同 y轴 (0,k)
知识点2
向上 向下 y轴 y轴 (0,k) (0,k) k k 增大 减小 减小 增大
【明考点·识方法】
典例
解：列出表格：
x … -1 0 1 2 …
… -2 0 -2 -8 …
… 1 3 1 -5 …
… -5 -5 -11 …
描点、连线，即可得到如图所示的图象；
(1)由图象，得抛物线 是由抛物线 向上平移3个单位得到的；
抛物线 是由抛物线 向下平移3个单位得到的；
(2)相同点：形状相同(即开口方向和开口大小相同)，对称轴相同.不同点：顶点坐标不同.
变式 A
【当堂测·夯基础】
1. C 2. C 3. A 4. A 5.＜ 6.9
7.解:(1)由题意,得 的顶点 A 的坐标为
∴原点 O 关于点 A 的对称点 B 的坐标为
故答案为：
(2)∵B点坐标为
∴直线 BC的表达式为
令 解得
∴点 P 只能在x轴上方，
如图，过点 B 作. 于点 D,设
则
在 中，由勾股定理，得 即
解得 ∴点 P 坐标为
将 代入抛物线 得 ∴点 P 在抛物线上.
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3.4.2二次函数的图象与性质同步学案
列清单·划重点
知识点① 二次函数 的图象
二次函数 的图象是_________，它与抛物线 的形状________,只是位置________.当h>0时,将抛物线 向右平移h个单位，就得到抛物线. 当h<0时，将抛物线 向左平移-h个单位，就得到抛物线 它的对称轴是直线_______，顶点坐标为___________.
知识点② 二次函数 的性质
值
开口方向 ____________ ____________
对称轴 直线________ 直线________
顶点坐标 ______________ ______________
最大(小)值 当x=h时,y最小=________ 当x=h时,y最大=________
函数的增减性 当x>h时,y的值随 x 值的增大而______;当xh时,y的值随x值的增大而_____; 当x图象位置
明考点·识方法
考点 二次函数 的图象与性质
典例 在如图所示的平面直角坐标系中作出二次函数 和 的图象，然后回答下列问题：
(1)抛物线 与 和 有什么关系
和 的对称轴和顶点坐标分别是什么
(3)试比较这三个图象的相同点与不同点.
规律总结 ①抛物线左右平移，只改变顶点的横坐标，纵坐标保持不变.
②平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量.
变式 已知函数
(1)函数图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标为________；
(2)当x_______时，y随x的增大而减小；
(3)抛物线 向______平移______个单位，就可以得到抛物线
当堂测·夯基础
1.如果将抛物线向右平移2个单位后得到那么原抛物线的表达式是( )
2.若点 P(m,n)在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是 ( )
3.二次函数. 的最低点的坐标是_________.
4.抛物线 开口________，顶点坐标是________，当x______时，y随x 的增大而减小，当x________时，y随x 的增大而增大.
5.已知二次函数的图象如图所示，求 的面积.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 抛物线 相同 不同
知识点2 向上 向下 0 0 增大 减小 减小 增大
【明考点·识方法】
典例 解：列出表格.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
8 2 0 2 8
2 0 2 8
8 2 0 2
描点、连线，得到如图所示的图象.
(1)由图象，得抛物线 是由抛物线 向右平移1 个单位得到的；抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位得到的；
的对称轴为直线 顶点坐标为 的对称轴为直线 顶点坐标为(1,0);
(3)相同点：开口方向和大小相同.不同点：对称轴和顶点坐标不同.
变式 (1)向上 直线x=3 (3,0) (3)右 3
【当堂测·夯基础】
1. C 2. D 4.向下
5.解：∵二次函数 ∴顶点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(0,2),
即 的面积是 1.
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3.4.3二次函数的图象与性质同步学案
列清单·划重点
知识点1 二次函数 的图象
一般的，二次函数 0)的图象是__________，它与抛物线的形状__________，只是位置___________.平移二次函数 的图象便可得到二次函数 的图象.
例如，将抛物线 向下平移2个单位得到二次函数__________的图象，再向左平移1个单位就得到二次函数__________的图象.
知识点2 二次函数 的性质
开口方向 __________ __________
对称轴 直线x=_______ 直线x=_______
顶点坐标 __________ __________
最大(小)值 当x=_______时,y最小=________ 当x=________时,y最大=________
函数的增减性 当x>h时,y的 值随x值的增大而_; 当xh时,y的值随x值的增大而_; 当x图象
知识点3 用描点法作二次函数图象的一般步骤
(1)利用配方法将函数表达式化为的形式；
(2)确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，根据函数的对称性列表；
(3)描点、连线，作出函数图象.
明考点·识方法
考点1 二次函数 图象的平移
典例1 将抛物线 先向右平移3个单位，再向上平移4 个单位，得到的抛物线是 ( )
思路导析 本题主要考查了二次函数的图象与平移，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键。根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可.
变式 将抛物线 5平移后，得到抛物线的表达式为 则平移的方向和距离是 ( )
A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
考点2 二次函数 的图象与性质
典例2 对于二次函数下列说法正确的是( )
A.图象开口向上 B.图象的对称轴是直线.
C.图象的顶点坐标是 D.当 时，y随x的增大而减小
思路导析 本题考查的是二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和图象上点的坐标判断图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与增减性.
变式 已知二次函数的图象上有三点 则y ,y ,y 的大小关系为 ( )
考点3 作二次函数 的图象
典例3 已知二次函数的表达式是
(1)与y轴的交点坐标是_________，顶点坐标是_________；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
… …
… …
(3)结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是___________.
思路导析 本题考查二次函数的图象与性质，求二次函数与 y轴的交点、顶点坐标，画二次函数的图象.(1)令x=0，则可以求得抛物线与y轴的交点，把表达式化成顶点式即可求得顶点坐标；(2)根据第一问中的坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；(3)根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案.
变式 已知二次函数
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当 时x的取值范围.
当堂测·夯基础
1.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
2.在平面直角坐标系xOy中,若点(4,y ),(6,y )在抛物线上，则下列结论正确的是 ( )
3.抛物线 轴交于点O 和点 A,点 B 是该抛物线的顶点.
(1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象，标出各点(不用列表，直接描点、连线)；
(2)结合函数图象，直接写出：
①当时，x 的取值范围为__________;
②当时,y的取值范围为____________.
(3)将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4 个单位，直接写出抛物线的表达式.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 抛物线 相同 不同
知识点 2 向上 向下 h h (h,k) (h,k) h k h k 增大 减小 减小 增大
【明考点·识方法】
典例1 A 变式 D
典例2 D 变式 B
典例3 解:(1)令. 则
所以抛物线 与y轴交点的坐标为
所以它的顶点坐标为(
故答案为：(
(2)列表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
图象如图所示：
(3)由图观察可知
变式 解：(1)参照典例3 的列表、描点和连线即可.
(2)由图象，得当 时，x的取值范围是
【当堂测·夯基础】
1. B 2. A
3.解:(1)如图,
(2)① 或
②∵当时，
当 时，
∴当 时，y的 取 值 范 围为
故答案为：
(3)将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线为.
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3.4.4 二次函数的图象与性质同步学案
列清单·划重点
知识点1 用配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标
对于二次函数 可以用配方法求出它的对称轴和顶点坐标.
把 的右边配方，得 __________.
它的对称轴是直线. 顶点坐标是__________.
知识点2 二次函数 的图象与a，b，c之间的关系
抛物线 的位置是由决定的，具体情况如表：
决定抛物线的开口方向 开口________
开口________
c 决定抛物线与 y轴交点的位置 c>0 图象与y轴的交点在 y 轴的__________
c=0 图象过_______
c<0 图象与y轴的交点在y轴的__________
a,b 决定抛物线对称轴的位置 a,b同号 对称轴在 y轴的________
b=0 对称轴是________
a,b异号 对称轴在y轴的_______
顶点坐标 顶点坐标公式为_________
x取特殊值
拓展
(1)如果抛物线上x=a与 对应的函数值相等，由抛物线的对称性，得其对称轴为直线(2)如果抛物线与x轴的交点为 0)，(x ，0)，由抛物线的对称性，得其对称轴为直线
明考点·识方法
考点1 确定二次函数图象的对称轴和顶点坐标
典例1 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
思路导析 抛物线 的对称轴为直线 顶点坐标为
变式 请确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
考点② 二次函数 的图象与a, b, c之间的关系
典例2 如图,已知抛物线 的对称轴是直线 且过点 顶点在第一象限，其部分图象如图所示.下列结论:(其中 是抛物线上的两点，且 则其中正确的选项是 ( )
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
思路导析 本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键.由二次函数的图象及性质，得 可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结论②；由x=-1处函数值和b=-2a可判断结论③；根据 得到点 到对称轴的距离小于点. 到对称轴的距离，可判断结论④.
变式 已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )
(m为实数)
当堂测·夯基础
1.二次函数的图象与 y轴的交点坐标是( )
A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
2.下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是( )
A.点(0，2)在函数图象上 B.开口方向向上
C.对称轴是直线 D.与直线 y=3有两个交点
3.二次函数 的最小值是 ( )
A.7 B.-7 C.9 D.-9
4.若二次函数的图象经过 三点,则 y ,y y 的大小关系是 ( )
5.二次函数 的图象如图所示，则下列结论：
其中正确的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点2 向上 向下 正半轴上 坐标原点O 负半轴上 左侧 y轴 右侧
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)∵a=4,b=-8,c=3,
∴对称轴为直线. 顶点坐标为
∴对称轴为直线. 顶点坐标为(
变式 解：(1)抛物线 的开口向下，对称轴为直线顶点坐标是(2,9);
(2)抛物线 的开口向上，对称轴为直线. 顶点坐标是(
典例 2 D 变式 C
【当堂测·夯基础】
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C
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