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3.5.1 确定二次函数的表达式（1）同步学案
列清单·划重点
知识点① 根据条件确定二次函数表达式的三种形式
1.一般式
如果给出二次函数图象与 y轴交点的纵坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为_________________的形式，即一般式.
2.顶点式
如果给出的条件涉及二次函数的最大(小)值、图象的对称轴或顶点坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为______________的形式，即顶点式.其中点(h，k)为抛物线的顶点坐标.
3.交点式
如果给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点，可以将其表达式设为
_的形式，即交点式.其中点 为该图象与x轴的两个交点.
知识点② 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
(1)先建立适当的平面直角坐标系；
(2)根据条件设出抛物线的表达式；
(3)写出相关点的坐标；
(4)列方程(组)，求出待定系数；
(5)写出二次函数表达式.
拓展
求二次函数关于坐标轴对称的表达式，常用的结论如下：
1.关于x轴对称的抛物线的表达式
关于x轴对称的抛物线的表达式：
关于x 轴对称的抛物线的表达式:
2.关于y轴对称的抛物线的表达式
关于y 轴对称的抛物线的表达式：
关于y轴对称的抛物线的表达式:.
明考点·识方法
考点① 已知顶点和另一点确定二次函数表达式
典例1 已知二次函数的图象以 为顶点，且过点
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标.
思路导析 (1)已知抛物线的顶点 可设顶点式 再将 代入求出a的值;(2)将 分别代入，解方程即可.
变式 已知一个二次函数，当. 时，函数有最大值9，且图象过点(0，1).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设 是抛物线上的三点，请直接写出 的大小关系.
考点② 已知抛物线与x轴两交点确定二次函数表达式
典例2 已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2,0),B(1,0)两点,且经过点P(2,8). 求该二次函数的表达式.
思路导析 已知抛物线与x轴两交点的坐标，故可设其表达式为 即交点式，再将点P(2，8)代入，求得a即可.
变式 如果抛物线经过点 A(2,0)和. 且与 y轴交于点C，若OC=2，则这条抛物线的表达式是( )
或
或
考点③ 根据二次函数图象确定其表达式
典例3 在平面直角坐标系中， 的位置如图所示.已知 点A的坐标为
(1)求点 B 的坐标;
(2)求过A，O，B三点的抛物线的表达式.
思路导析 (1)分别过点 A，B作 轴，轴，证明 (2)由于抛物线经过坐标原点，故设抛物线的表达式为
变式 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A,B 两点 则该抛物线的表达式是_____________.
当堂测·夯基础
1.如图所示的抛物线的表达式为 ( )
2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是(1,3),当 时，y随x 的增大而增大，则抛物线表达式可以是 ( )
3.抛物线 经过点( 且对称轴是直线，该抛物线的表达式是____________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
【明考点·识方法】
典例1 解：(1)∵抛物线的顶点为 4),
∴设抛物线的表达式为
将点 代入表达式，得 解得
∴该函数的表达式为 即
(2)令 则 即抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).
令 则 解得
即抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(-3，0).
变式 解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(8,9),
设二次函数的表达式为
把(0,1)代入,得( 解得
∴二次函数的表达式为
时，函数有最大值9， 为函数的最大值，
∵抛物线的对称轴为直线 10-8,
∴点 A(6,y )和点( 关于对称轴 对称，
典例 2 解: ∵抛物线与x轴交于A(-2,0),B(1,0),
∴设二次函数的表达式为 1)(a≠0).
又∵图象过点P(2,8),∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,
∴二次函数的表达式为 y=2(x+2)(x-1),即
变式 D
典例3 解:(1)作 AC⊥x轴,垂足为点 C,作 BD⊥x 轴,垂足为点D,则
∠ACO=∠ODB = 90°,∠AOC+∠OAC=90°.
又∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,∴∠OAC=∠BOD.
又∵AO=BO,∴△ACO≌△ODB(AAS),∴OD=AC=1,DB=OC=3,∴点 B的坐标为(1,3);
(2)由抛物线经过坐标原点，故可设所求抛物线的表达式为 将A(-3,1),B(1,3)两点分别代入,得 解得
∴抛物线的表达式为
变式
【当堂测·夯基础】
1. C 2. D
3. y=-(x-3)(x+1)(或
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3.5.2 确定二次函数表达式（2）同步学案
列清单·划重点
知识点 根据三个点的坐标确定二次函数表达式
如果给出二次函数图象上的三个点的坐标，或三组x，y的对应值，那么可设要确定的二次函数的表达式为_________________的形式，即一般式，然后列三元一次方程组求得待定系数.
明考点·识方法
考点 已知三个点的坐标确定二次函数表达式
典例 已知一个二次函数的图象经过10),(1,4),(2,7)三点.求这个二次函数的表达式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
思路导析 设二次函数的表达式为 c,把(-1,10),(1,4),(2,7)三点坐标代入,列三元一次方程组求a，b，c的值，确定函数表达式，根据二次函数表达式可知抛物线的对称轴及顶点坐标.
变式 1 已知二次函数的图象经过点A(-1,1),B(1,3)和C(2,7),则这个二次
函数的表达式为________________.
变式2 如图所示，已知二次函数经过点 B(3,0),C(0,3),D(4,-5).
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点 P 是抛物线上一点，且 这样的点 P 有几个 请直接写出它们的坐标.
当堂测·夯基础
1.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1，-4)三点，则该函数的表达式为( )
2.已知二次函数图象经过点 A(-3,0)、点 B(0,-3)和点 C(2,5),则该二次函数的表达式为________________，对称轴为__________，顶点坐标为___________.
3.已知，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三点.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点
【明考点·识方法】
典例 解：设二次函数的表达式为
把(-1,10),(1,4),(2,7)代入上式，得 解得
则抛物线表达式为
由 得抛物线开口向上，对称轴为直线 顶
点坐标为
变式1
变式 2 解：(1)设二次函数的表达式为
由题意,得函数经过 B(3,0),C(0,3),三点，
解得
所以二次函数的表达式为
(2)由题意得， 解得
∴A点坐标为(-1,0),
∵AB=4,OC=3,
(3)设 P的纵坐标为n,
∴S△ABP=3,即 解得
解得 或
∴这样的点P有4个,它们分别是
【当堂测·夯基础】
1. C
直线x=-1 (-1,-4)
3.解:(1)由题意,得 解得
则抛物线的表达式为
(2) 抛物 线 的 对 称 轴 为 直 线
当 时，即顶点坐标为
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