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3.6.1 二次函数与图形面积同步学案
列清单·划重点
知识点 利用二次函数解决最大(小)面积问题的一般步骤
(1)引入______________(如正方形的边长、圆的半径等)；
(2)用含______________的代数式将其他未知量表示出来；
(3)根据几何图形的面积计算公式列出表示图形面积的______________表达式；
(4)根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定符合条件的最大(小)函数值及取得最大(小)值时相应的自变量的值，从而求得几何图形的最大(小)面积.
明考点·识方法
考点 利用二次函数解决最大(小)面积问题
典例 校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在 的边上.
(1) 若甲 裁剪 出 来 的矩形纸片 周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 MQ是____________ cm;
(2)设 MQ的长度为x cm,矩形 MNPQ 的面积为
①求S关于x 的函数表达式；
②求矩形 MNPQ的面积S 的最大值.
思路导析 (1)根据勾股定理求出 BC的长，接着利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后根据矩形纸片周长是 纸片周长的一半列方程求解即可；
(2)①根据 计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可.
变式 如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m 的墙 AB 和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙 AB和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆 ACDF 围成，设平行于墙一边 CD长为x m.
(1)当苗圃园的面积为60m 时，求x的值；
(2)当x 为何值时，所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少
当堂测·夯基础
1.如图,要围一个矩形菜园 ABCD，其中一边 AD 是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD 用篱笆，且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6m ②AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为 ③菜园 ABCD 面积的最大值为 其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形 ABCD的边 时，羊圈的面积最大.
第2题图 第 3题图
3.如图,在 中，点 P从点 A 开始沿AB 向 B 以2cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以1 cm/s的速度移动,如果点 P,Q 分别从点A，B同时出发，当 的面积为最大时，运动时间t为___________s.
4.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆 120米.
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2 株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹
参考答案
【列清单·划重点】
知识点
(1)自变量 (2)自变量 (3)二次函数
【明考点·识方法】
典例 解：( 是等腰直角三角形，
∴
又∵四边形 MNPQ为矩形，
∵矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半，
解得
故答案为：
∵,∴当 时，S最大，最大为
变式 解:(1)∵篱笆的总长为 26 m,平行于墙一边CD长为 xm，
∴BF=(x-8)m,
由题意,得(17-x)x=60,解得 (不符合实际，舍去)，
∴x的值为12;
(2)设苗圃园的面积为 S m ,
由题意，得,
∴当时,
所以，当x的值为 8.5m时，所围苗圃园的面积最大,最大面积是 72.25 m .
【当堂测·夯基础】
1. C 2.15 3.2
4.解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为 S平方米，则平行于墙的边为(120-3x)米,
由题意，得
∵-3<0,∴当x=20时,S取最大值1 200,
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米时，花园面积最大为 1 200 平方米；
(2)设购买牡丹m株，则购买芍药 株,
∵学校计划购买费用不超过5万元， 解得 ∴最多可以购买 1400株牡丹.
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3.6.2二次函数与商品销售同步学案
列清单·划重点
知识点 利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤
(1)引入___________________(如销售单价)；
(2)用含______________的代数式表示出销售量、单件盈利、销售额、总利润等相关的量；
(3)根据实际问题中变量之间的关系列出_______________；
(4)利用表达式(或图象)解决有关实际问题.
明考点·识方法
考点 利用二次函数解决最大利润问题
典例 “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350 盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为 50 元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10 盒.设每盒售价为x元，日销售量为 p盒.
(1)当x=60时,p=___________;
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大 最大利润是多少
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于 8000元时，每盒售价x的范围为.”你认为他们的说法正确吗 若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
变式 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1 200 元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价 1元，每周的销量可增加 100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大 最大利润是多少元
当堂测·夯基础
1.某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30 元销售，则每月可售出400 件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨x元，月销售利润为y元，可得关系式为，对所列关系式下列说法错误的是( )
A.表示涨价后商品的单价 B.表示涨价后少售出商品的数量
C.表示涨价后商品的月销售量 D.当时月利润达到最大
2.某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于 60元.经调查每天的销售量 y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x(元/千克) 40 50 60
销售量y(千克) 120 100 80
设销售该商品每天的利润为 W(元)，则W 的最大值为 ( )
A.1 800 B.1 600 C.1 400 D.1 200
3.某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有1个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用.则宾馆获得的利润y(元)与房价x(元)(x为10的倍数)之间的函数关系式为_________________，宾馆获得最大利润是__________元.
4.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40 元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700盒；每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量 y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P(元)最大 最大利润是多少
(3)为稳定物价，有关管理部门规定：这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 (1)自变量 (2)自变量 (3)二次函数表达式
【明考点·识方法】
典例 解：(1)由题意，得
由题意，得每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
即 解得50≤x≤65.
即每天的销售量 p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是
50≤x≤65,当x=60时,故答案为:400;
(2)由题意，得50≤x≤65,
∴当 x = 65 时, W 取得 最 大值,此时W=8 750,
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润 W(元)最大,最大利润是 8750元;
(3)小强:∵50≤x≤65,
设日销售额为 y元，
当x=50时,y值最大,此时y=25 000,
当x=65时,W 值最大,此时W=8750,
∴小强正确；
小红：当日销售利润不低于8000元时，即 W≥8 000,
令 解得
故 60≤x≤80时,W≥8 000,
∵50≤x≤65,∴当日销售利润不低于8000元时,60≤x≤65,
故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时,60≤x≤65.
变式 解：(1)设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是 m元，
由题意，得 解得m=24,
经检验，m=24是原方程的解，也符合题意，
所以，今年这款消毒洗衣 液每瓶进价是24元;
(2)设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为ω元，
根据题意得
∵-100<0,∴当x=33时,w取最大值 8 100,
所以，当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8 100元.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. B
4.解:(1)由题意,得
∵a=-20<0,∴当x=60时, 元.
所以，当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8 000元；
(3)由题意，得 6 000,解得
∵抛物线 的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于 6 000元.
又∵45≤x≤80,x≤58,∴50≤x≤58.
∵在y=-20x+1 600中,k=-20<0,∴y随x的增大而减小，
∴当x=58 时, y最小值 = - 20×58+1600=440.
所以，超市每天至少销售粽子440盒.
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3.6.3 二次函数与抛物线问题同步学案
列清单·划重点
知识点 利用二次函数解决抛物线形实际问题的一般步骤
(1)根据已知条件建立恰当的____________;
(2)写出关键点的坐标，设出相应的____________表达式；
(3)列出方程(组)，求出待定系数，得到___________表达式；
(4)根据二次函数的图象性质，解决实际问题.
明考点·识方法
考点 利用二次函数解决抛物线形的实际问题
典例 一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点 A 的 水 平 距离 x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点 A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点 A 的水平距离为 3m 时离水面的距离为 7 m.
(1)求y关于x 的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB 的长.
思路导析 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题进行解决.(1)用待定系数法可得函数表达式；(2)结合(1),令y=0解得x的值即可.
变式 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 P 距地面0.7m，水柱在距喷水头 P 水平距离 5m 处达到最高，最高点距地面 3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 P 水平距离 3m.身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
当堂测·夯基础
1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度 h(米)适用公式那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是 ( )
A.5 B.10 C.1 D.2
2.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 则铅球推出的距离
3.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为 为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB高为8米的点 E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 EF 是__________米.
4.一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6 m 时，球达到最高点，此时球离地面3 m . 已知球门高OB 为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 O 正上方 2.25 m处
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 (1)平面直角坐标系 (2)二次函数 (3)二次函数
【明考点·识方法】
典例 解：(1)由题意，得抛物线过(0，10)和(3,7),对称轴为直线
设y关于x的函数表达式为
解得
∴y关于x 的函数表达式为
(2)在 中,令y=0,
得 解得 或 (舍去),
所以，运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为( 米.
变式 解：(1)由题意，得抛物线顶点为(5,3.2),P 点坐标(0,0.7),
设抛物线的表达式为
将(0,0.7)代入,得解得
所以，抛物线的表达式为
(2)当y=1.6时, 解得x=1或x=9,
∴她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m),
所以，当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是 2m 或 6 m.
【当堂测·夯基础】
1. D 2.10 3.
4.解:(1)∵8-6=2,∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，
设抛物线为
把点 A(8,0)代入,得 解得
∴抛物线的函数表达式为
当x=0时, ∴球不能射进球门；
(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为
把点(0,2. 25)代入,得 解得 (舍去)或
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能 让 足 球 经 过 点 O 正 上方2.25 m处.
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