湖南省株洲县五中2015-2016学年高二下学期入学考试数学（理）试卷

湖南省株洲县五中高二第二学期入学考试
数学（理科）
一、选择题（每小题5分,共60分）
1.已知复数，则的虚部为
A . B . C. 1 D .
2.已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列函数求导运算正确的个数为
①；②③；④；⑤
A． B． C． D．
4.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是
A． B．
C． D．
5．（ 1）命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
（2）“”是“”的充要条件；
（3）若为假命题，则、均为假命题.
（4）对于命题：, 则： .
上面四个命题中正确的个数是
A．1 B． 2 C．3 D．4
6．在中，角所对的边长分别为，若，，则
A． B．2 C． D．
7．抛物线上的点到直线的距离等于4，则到焦点的距离
A．1 B．2 　C．3　　 D．4
8.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=2，CC1=，则异面直线AB1 和BC1所成角的余弦值为
A.0 B. C. D.
9．等比数列中，，则数列的前8项和等于
A．6 B．5 C．4 D．3
10．双曲线的右焦点为F，若以点F为圆心，以a的半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D． 2
11.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是
由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，并且相邻两行数之间有一定的关系，则第7行第4个数（从左往右数）为
A． B．
C． D．
12．若函数在区间[1，2]上单调递减，则的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．定积分 ．
14．函数在处取得极小值，则= _______ ．
15．若实数x，y满足不等式组，且目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是 ．
16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．
三、解答题（共70分）
17．（本小题满分10分）
已知，设命题p：方程表示焦点在y轴上的的椭圆；
命题q：函数f（x）＝3x2＋2mx＋m＋有零点．
（1）若为真命题，求m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=，P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直。
(1) 求证： AD∥平面PCE；
（2）求二面角P－CE－B的余弦值；
19. （本题满分12分）
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA。
( http: / / www.21cnjy.com )
20. （本小题满分12分）
已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前n项和为；数列是等比数列，首项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21．（本小题满分12分）
已知函数R，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
22. （本小题满分12分）
设椭圆的左右焦点分别为过椭圆的焦点且与椭圆交于P,Q两点，若。
（1）求椭圆的方程；
（2）圆相切且与椭圆C交于不同的两点A,B，O为坐标原点。若，求△OAB的面积的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分,共60分）
1．B 2.A 3. B 4. C 5． B 6．B 7． C 8. A 9． C. 10． A 11. A 12． C
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14．2 15． 2 16.
三、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）已知，设命题p：方程表示焦点在y轴上的的椭圆；命题q：函数f（x）＝3x2＋2mx＋m＋有零点．
（1）若为真命题，求m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．
解：（1）p：…………3分
为真命题，为假命题 …………4分
或 …………5分
函数有零点， …………6分
或 …………8分
真，所以，即或 …………10分
18 （本小题满分12分）如图所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=，P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直。
(Ⅰ) 求证： AD∥平面PCE；
（Ⅱ）求二面角P－CE－B的余弦值；
解：(Ⅰ)设,连接PO，因为P、O分别为AB，BD的中点
所以PO//AD， (3分)
又
所以AD∥平面PCE； (6分)
（Ⅱ）过P作PF，则PF， (7分)
过F作，则 ( 9分)
在三角形PFG中，
(11分) 所以求二面角P-CE-B的余弦值为。 (12分)
19. （本题满分12分）
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o, …………2分
在△PBA中,由余弦定理得==,…………4分
∴PA=…………6分
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,…………7分
在△PBA中,由正弦定理得, …………9分
,化简得,, …………10分
∴=,∴=. …………12分
20.已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前n项和为；数列是等比数列，首项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（本小题满分12分）已知函数R，曲线在点处的切线方程为 ．
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
【解析】
（1）∵， ∴．…………1分
∵直线的斜率为，且曲线过点，
∴即 …………3分
解得． 所以 ………5分
（2）由（Ⅰ）得当时，恒成立即 ，
等价于．…………7分
令，则． …………8分
令，则．…………9分
当时，，函数在上单调递增，故．
从而，当时，，即函数在上单调递增，
故．…………10分
因此，当时，恒成立，则．
∴ 的取值范围是． 12分
22.设椭圆的左右焦点分别为过椭圆的焦点且与椭圆交于P,Q两点，若。
（1）求椭圆的方程；
（2）圆相切且与椭圆C交于不同的两点A,B，O为坐标原点。若，求△OAB的取值范围.
22.解：（1）由已知得（1,0），即c=1 ……………1分
由可得………………2分
于是b=1,所求椭圆方程为 . ………………4分
(2)由相切，可得 ………………5分
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
A
B
C
D
P
E