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沪科版2024—2025学年度八上期中巩固卷
一．选择题（共10小题）
1．在式子①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③，④y＝|x|，⑤|y|＝|x|中，y是x的函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断．
【解答】解：在①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③，④y＝|x|，中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数；
⑤|y|＝|x|对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；
故选：C．
2．两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】首先设定一个为一次函数y1＝mx+n的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
【解答】解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＜0，两结论不矛盾，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＜0；由y2的图象可知，n＜0，m＞0，两结论相矛盾，故错误．
故选：B．
3．若点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【思路点拔】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数yx+t中，k0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．如图，一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P，则不等式x+1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
【思路点拔】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+1的图象都在y＝kx+b的图象上方，所以关于x的不等式x+1＞kx+b的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，函数y＝x+1的图象都在y＝kx+b的图象上方，则x+1＞kx+b，
即不等式x+1＞kx+b的解集为x＞1．
故选：A．
5．已知点A（1，2a+1），B（﹣a，a+3），若线段AB∥x轴，则三角形AOB的面积为（ ）
A．7.5 B．15 C．30 D．10
【思路点拔】根据线段AB∥x轴求得a的值，然后确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴2a+1＝a+3．解得a＝2．
∴A（1，5），B（﹣2，5）．
∴AB＝3．
∴△AOB的面积为：．
故选：A．
6．画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（ ）
x ﹣3 0 1 3 4
y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4
A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3
【思路点拔】方程kx+b＝0的根x0，即为y＝kx+b＝0的解，从表格看，当x＝1时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝2＞0，即可求解．
【解答】解：方程kx+b＝0的根x0，即为y＝kx+b＝0的解，
从表格看，当x＝1时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝2＞0，
则在1＜x0＜3时，y＝0，
故选D．
7．已知动点P在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点A开始按顺时针方向走一圈回到点A，速度为每秒1个单位长度．△ABP的面积随着时间t（秒）的变化如图2所示，则这个过程中，点P走过的路程为（ ）
A．28 B．14 C．20 D．19
【思路点拔】根据多边形的形状，结合图2，可以求出多边形中某些边的长度，据此可求出多边形的周长，进而解决问题．
【解答】解：由题知，
根据图2，当0≤t≤6时，
即点P在AB上运动，又点P的速度为每秒1个单位长度，
所以AB＝6．
由图2可知，当点P在CD上运动时，△ABP的面积恒为9，
则，
所以BC＝3．
又当a≤t≤a+5时，
即点P在FG上运动，
所以FG＝a+5﹣a＝5．
又CD+EF+GK＝AB＝6，DE+AK＝BC+FG＝3+5＝8，
所以图1中多边形的周长为：2×（6+8）＝28．
即点P走过的路程为28．
故选：A．
8．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D做匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】运用动点函数进行分段分析，当P在BC上与CD上时，分别求出函数解析式，再结合图象得出符合要求的解析式．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，P点在BC上时，BP＝x，AB＝2，
∴△ABP的面积SAB×BP2x＝x；
动点P从点B出发，P点在CD上时，△ABP的高是1，底边是2，所以面积是1，即s＝1；
∴S＝x时是正比例函数，且S随x的增大而增大，
S＝1时，是一个常数函数，是一条平行于x轴的直线．
所以只有C符合要求．
故选：C．
9．下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b，b∥c，那么a∥c．其中正确的命题是（ ）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
【思路点拔】根据平行线的定义和平行公理及推论和垂直的性质判断即可．
【解答】解：①∵直线a、b，若直线a⊥b，b⊥c，则a∥c．故①错误．
②∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确．
③∵在同一平面内过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故③错误．
④∵已知直线a、b，如果a∥b，b∥c，那么a∥c，故④正确．
故选：A．
10．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2
【思路点拔】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜x＜2时，直线y＝2x都在直线y＝kx+b的上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．
【解答】解：把A（x，2）代入y＝2x得2x＝2，解得x＝1，则A点坐标为（1，2），
所以当x＞1时，2x＞kx+b，
∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），
即不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
11．如图，正方形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…的顶点A1，A2，A3，…在直线y＝kx+b（k≠0）上，顶点C1，C2，C3，…在x轴上，已知A1（0，1），A2（1，2），那么点B2023的坐标为 （22023﹣1，22022） ．
【思路点拔】由图和条件可知A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），由此可以求出直线为y＝x+1，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为（2n﹣1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标，最后根据规律就可以求出B5的坐标．
【解答】解：∵点B1（1，1），B2（3，2），
∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），
∴直线y＝kx+b（k＞0）为y＝x+1，
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标
又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为2n﹣1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]＝（2n﹣1，2n﹣1）．
所以B2023（22023﹣1，22022）．
故答案为：（22023﹣1，22022）．
三．解答题（共10小题）
12．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
【思路点拔】（1）根据正比例的定义设y﹣2＝k（3x﹣4），然后把x＝2时，y＝3代入计算求出k值，再整理即可得解；
（2）分别代入y＝﹣1和y＝1，分别求出所对应的x的值，即可求得x的取值范围．
【解答】解：（1）设y﹣2＝k（3x﹣4），
将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k，
∴y﹣2（3x﹣4），即yx；
（2）当y＝﹣1时，x＝﹣1，
解得：x，
当y＝1时，x＝1，
解得：x，
∴x．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝﹣x+4的图象与过点A（0，2）、B（﹣3，0）的直线交于点P，与x轴、y轴分别相交于点C和点D．
（1）求直线AB的函数表达式及点P的坐标；
（2）连接AC，求△PAC的面积．
【思路点拔】（1）先用待定系数法求出直线A、B的解析式，再求出P点坐标即可；
（2）过点P作PM⊥BC于点M，由一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点C求出C点坐标，再S△PAC＝S△PBC﹣S△ABC解答即可．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（0，2）、B（﹣3，0），
∴，
解得
故直线AB的函数表达式为yx+2，
解方程组，
解得
故点P的坐标为（，），
（2）如图，过点P作PM⊥BC于点M．
∵点P的坐标为（，），
∴PM，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点C，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵点A（0，2）、B（﹣3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
∴BC＝7，
∴S△PBC7，S△ABC7×2＝7，
∴S△PAC7．
14．为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调a（0＜a＜1）万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值．
【思路点拔】（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，由题意：该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，由题意：购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值，然后再求出利润的解析式即可；
（3）设购进A型电动汽车b辆，则购进B型电动汽车（20﹣b）辆，新利润为w元，得出w＝（a﹣0.6）b+28，再根据不论b为何值，w均不变，得出结论．
【解答】解：（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，
∴m≥2（20﹣m），
即m，
根据题意，得：w＝（16.8﹣16）b+（29.4﹣28）（20﹣b），
＝﹣0.6b+28．
∵﹣0.6＜0，
∴b＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
（3）设购进A型电动汽车b辆，则购进B型电动汽车（20﹣b）辆，新利润为w元，由题意得：
w＝（16.8﹣16+a）b+（29.4﹣28）（20﹣b），即w＝（a﹣0.6）b+28，
∵不论b为何值，w均不变，
∴a﹣0.6＝0，
∴a＝0.6．
15．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
（1）设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y；
（2）写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
【思路点拔】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出4x+6y＝60，然后变形，即可用含x的代数式来表示y；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式；
（3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数和（1）中的结果，可以求得装运苹果车辆的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得，
4x+6y＝60，
则yx+10；
（2）由题意可得，
W＝1200×4x+1500×6y＝4800x+9000（x+10）＝﹣1200x+90000，
即总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式是W＝﹣1200x+90000；
（3）由（2）知：W＝﹣1200x+90000，
∴W随x的增大而减小，
∵装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，
∴x≥y，
∴xx+10，
解得x≥6，
∴当x＝6时，W取得最大值，此时W＝82800，y＝6，
答：安排6辆车拉苹果，6辆车拉橘子才能获得最大利润，最大利润是82800元．
16．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．求点P坐标（用p表示）；
（3）在（2）的条件下，若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围．
【思路点拔】（1）根据的定义新运算的运算规则即可求解；
（2）根据函数图象有交点，联立方程组解方程组，表示出交点的坐标；
（3）根据组合函数的解析式即可求解．
【解答】解：（1）y＝5x+2是函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，
理由：由函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”为：y＝m（x+1）+n（2x﹣1），
把m＝3，n＝1代入上式，得y＝3（x+1）+（2x﹣1）＝5x+2，
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）解方程组，得，
∵函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P，
∴点P的坐标为（2p+1，p﹣1），
（3）∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴y＝（m﹣n）x+3pn﹣mp﹣2m，
∵m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（m﹣n）（2p+1）+3pn﹣mp﹣2m，整理，得p﹣1＞（m+n）（p﹣1），
∴p﹣1＜0，p＜1，
∴p的取值范围为p＜1．
17．甲，乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，匀速开往对方的所在地，图1表示甲．乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图2表示甲．乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．
（1）A，B两地的路程为 180 km，图2中C点的实际意义是 甲、乙两车1.2h相遇 ；
（2）在图1中标明分别表示甲车和乙车的图象，并利用图1和图2中的数据，求出甲，乙两车的速度；
（3）求线段CD的解析式．
【思路点拔】（1）从图1可看出甲乙路程相距180km，从图2可看出1.2他们相距0km，故这个时间相遇；
（2）从图中根据时间和路程可求出甲和乙的速度；
（3）先根据（1）、（2）求出点C、D坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可．
【解答】解：（1）由图象可得，A，B两地的路程为180km，
C点的实际意义是甲、乙两车1.2h相遇．
故答案为：180，甲、乙两车1.2h相遇；
（2）如图：
由图可知，v甲60（km/h），
1.2（v甲+v乙）＝180，
∴1.2（60+v乙）＝180，
解得：v乙＝90，
答：甲，乙两车的速度分别是60km/h，90km/h；
（3）由图（1）、图（2）可得C （1.2，0），
乙到达A地所用时间为180÷90＝2（h），
此时甲、乙两车之间的距离为（90+60）×（2﹣1.2）＝150×0.8＝120（km），
∴D（2，120），
设线段CD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：k＝150，b＝﹣180
所以线段CD的解析式为y＝150k﹣180．
18．某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【思路点拔】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到利润与购买A款保温杯数量的函数关系，然后根据A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，可以求得A款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）设A款保温杯的单价是a元，则B款保温杯的单价是（a+10）元，
，
解得，a＝30，
经检验，a＝30是原分式方程的解，
则a+10＝40，
答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；
（2）设购买A款保温杯x个，则购买B款保温杯（120﹣x）个，利润为w元，
w＝（30﹣20）x+[40×（1﹣10%）﹣20]（120﹣x）＝﹣6x+1920，
∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，
∴x≥2（120﹣x），
解得，x≥80，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝1440，120﹣x＝40，
答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1440元．
19．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ 115 °，∠Q 25 °；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 45°或60°或120°或135° ．
【思路点拔】（1）先利用内角和求出∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质求出∠PDE和∠PGD，再利用内角和求解；
（2）仿照（1）的格式求解；
（3）分类讨论求解．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠BCP∠ACB＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，
∵∠PDE∠ADE＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；
又∵∠ACQ∠ACF，
∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP（∠ACF+∠ACB）＝90°，
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
故答案为：115，25；
（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：∵∠PDE∠ADE∠B，∠PGD＝∠BCP∠ACB，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°∠B∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝115°；
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
（3）设∠A＝x，则，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴，，
∴，，
因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠Q＝3∠QPC时，，
∴x＝135°，
②当∠QPC＝3∠Q时，，
∴x＝45°，
③当∠PCQ＝3∠Q时，，
∴x＝60°，
④当∠PCQ＝3∠QPC时，，
∴x＝120°，
综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．
故答案为：45°或60°或120°或135°．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．
【思路点拔】（1）由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠EBC＝40°，由平行线的性质即可求解；
（2）由外角的性质和角平分线的性质可得∠A+2∠ABD＝65°，再由∠A﹣∠ABD＝20°，即可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠BDC＝60°，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣40°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝2∠ABD＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠EBC＝180°，
∠BED＝180°﹣40°＝140°；
（2）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∵∠EDC＝∠EDB+∠BDC＝∠EDB+∠A+∠ABD，
∴∠EDC＝∠A+2∠ABD，
∵∠EDC＝65°，
∴∠A+2∠ABD＝65°，
∵∠A﹣∠ABD＝20°，
∴∠A＝35°．
21．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（a，0），B（b，3），C（c，0），且满足（a+b）2|c|＝0，线段AB交y轴于点D，∠BAC＝α，点E是y轴负半轴．上一动点（点E不与点O重合）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）问题探究：
①如图2，过点E作EF∥AB，小明发现在点E的运动过程中，∠DEF的度数为定值，为求出这个定值，小明过点O作OG∥AB，请你帮他用α表示出∠DEF的度数，并说明理由；
②如图3，分别作∠CAB，∠DEF的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，∠AME的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠AME的度数．
【思路点拔】（1）由非负性可求a，b，c的值，即可求解；
（2）由平行线的性质可得∠BAC＝∠AOG＝α，∠DEF＝∠GOE，由余角的性质可求解；
（3）由平行线的性质可得∠AMN＝∠BAM，∠EMN＝∠MEF，∠ADO＝∠OEF，由角平分线的性质和余角的性质可求即．
【解答】解：（1）∵（a+b）2|c|＝0，
∴b＝3，a＝﹣3，c，
∴A（﹣3，0），B（3，3），C（，0）；
（2）∵AB∥EF，OG∥AB，
∴AB∥EF∥OG，
∴∠BAC＝∠AOG＝α，∠DEF＝∠GOE，
∵∠AOG+∠GOE＝90°，
∴∠DEF＝∠GOE＝90°﹣α；
（3）∠AME的度数不发生变化，
理由如下：过点M作MN∥AB，
∵EF∥AB，
∴EF∥AB∥MN，
∴∠AMN＝∠BAM，∠EMN＝∠MEF，∠ADO＝∠OEF，
∵∠ADO+∠DAC＝90°，
∴∠DAC+∠OEF＝90°，
∵AM、EM分别为∠CAB，∠OEF的平分线，
∴∠BAM∠DAC，∠MEF∠OEF，
∴∠AME＝∠AMN+∠EMN＝∠BAM+∠MEF（∠DAC+∠OEF）＝45°．中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版2024—2025学年度八上期中巩固卷
一．选择题（共10小题）
1．在式子①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③，④y＝|x|，⑤|y|＝|x|中，y是x的函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
3．若点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
4．如图，一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P，则不等式x+1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
5．已知点A（1，2a+1），B（﹣a，a+3），若线段AB∥x轴，则三角形AOB的面积为（ ）
A．7.5 B．15 C．30 D．10
6．画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（ ）
x ﹣3 0 1 3 4
y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4
A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3
7．已知动点P在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点A开始按顺时针方向走一圈回到点A，速度为每秒1个单位长度．△ABP的面积随着时间t（秒）的变化如图2所示，则这个过程中，点P走过的路程为（ ）
A．28 B．14 C．20 D．19
8．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D做匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b，b∥c，那么a∥c．其中正确的命题是（ ）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
10．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2
二．填空题（共1小题）
11．如图，正方形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…的顶点A1，A2，A3，…在直线y＝kx+b（k≠0）上，顶点C1，C2，C3，…在x轴上，已知A1（0，1），A2（1，2），那么点B2023的坐标为 ．
三．解答题（共10小题）
12．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝﹣x+4的图象与过点A（0，2）、B（﹣3，0）的直线交于点P，与x轴、y轴分别相交于点C和点D．
（1）求直线AB的函数表达式及点P的坐标；
（2）连接AC，求△PAC的面积．
14．为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调a（0＜a＜1）万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值．
15．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
（1）设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y；
（2）写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
16．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．求点P坐标（用p表示）；
（3）在（2）的条件下，若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围．
17．甲，乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，匀速开往对方的所在地，图1表示甲．乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图2表示甲．乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．
（1）A，B两地的路程为 km，图2中C点的实际意义是 ；
（2）在图1中标明分别表示甲车和乙车的图象，并利用图1和图2中的数据，求出甲，乙两车的速度；
（3）求线段CD的解析式．
18．某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
19．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q °；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 ．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．
21．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（a，0），B（b，3），C（c，0），且满足（a+b）2|c|＝0，线段AB交y轴于点D，∠BAC＝α，点E是y轴负半轴．上一动点（点E不与点O重合）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）问题探究：
①如图2，过点E作EF∥AB，小明发现在点E的运动过程中，∠DEF的度数为定值，为求出这个定值，小明过点O作OG∥AB，请你帮他用α表示出∠DEF的度数，并说明理由；
②如图3，分别作∠CAB，∠DEF的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，∠AME的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠AME的度数．
