参考答案：
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D C B A C C
二、填空题（本题有6小题，共24分)
11． 12． （-1，-5） 13．
14． 110° 15． 16． 60°
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17.（1） （2）
(
D
)
(
E
)
（1）随机
（2）图略P=
19.（1）
（2）
20.解析：（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
21.（1）由题意可知：
∴与的函数关系式为．
（2）令
解得，
∴，
答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元．
（3），
∵
∴当时，有最大值1250，此时，
答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元．
22（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
.
（1）
当EF=9 时，点 F 的纵坐标为-16，故 ，解得 x=±32（舍去正值）.
故 点E的横坐标为-32，此时琴弦离拱端C的水平距离CE是 8 米，
各琴弦的水平间距为 32÷8=4 米.
当x=20 时，y=6.25，琴弦高 18.75 米;
当 x=24 时，y=9，琴弦高 16 米.
故高音谱号艺术品顶部应该安装在第 3 根与第 4 根琴弦之间.
方法 2：当高音谱号艺术品高度为 17 米时，顶点坐标为 17-25=-8，y=-8 时，
，解得 x=±16≈±22.4，
-24<-22.4<-20,故安装在第 3 根与第 4 根琴弦之间.
24.（1）将，两点坐标分别代入抛物线解析式中，得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）将点代入抛物线解析式中，得，
，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将和点的坐标分别代入，得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，点E的坐标为且，
∴，
，
，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）存在，
设点D的坐标为，点F的坐标为，
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，，
将代入①，解得：；
将代入①，解得：；
∴此时点D的坐标为或；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），
将代入①，解得：；
∴此时点D的坐标为；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），
将代入①，解得：，
∵点在轴的正半轴上，故舍去；
综上：存在，此时点D的坐标为或或．2024学年第一学期期中考试九年级数学答题卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本题有6小题，共24分)
11．__________ 12．__________ 13．__________
14．__________ 15．__________ 16．__________、__________
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．
18．
（1）__________
（2）
（1）
（2）
20．
（1）
（2）
21．
（1）
（2）
（3）
22．
（1）__________
（2）
（3）
23．
（1）
（2）
（3）
24．
（1）
（2）
（3）
珠
A
B
P
E
C
C
O
O
A
B
A
B
图①
图②
A
D
0
B
E
C
F
B
D
A
C
B
M
0
*0
A
E
D
A
◇
图1
图2
图3
0
F
A
CE
H
D
B2024学年第一学期期中考试九年级数学试题卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．
则朝上一面的数字为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的外接圆，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.点，，在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，是的直径，弦交于点E．若，CD = 8则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.若正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正（ ）边形
A．5 B．6 C．7 D．8
8.如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，CD =3．则阴影部分的面积等于（ ）．
A．1.5π B．2π C．π D．2.5π
9. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点
（-1，0）．下列结论：①3a+b=0； ②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11.一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是______
12.抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是
13.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．
14.如图，四边形内接于，若，则______
15我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式r2，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得 π 的估计值为_____（结果保留根号）．
16.如图，扇形 AOB 的圆心角∠AOB > 60°，点 C 在 OB 上，将△AOC 沿AC 折叠得到△ADC，CD 交弧 AB 于点 E，连结 AE，恰有 AE=AD，若 CE=DE=2，则∠ACD 的度数是______，⊙O 的半径长是______.
解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17.如图，由小正方形构成的6×6网格，⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中画弦AC的弦心距OD.
(2)在图2中的圆上找一点E，使点E是ABC的中点.
18. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌,某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等．
选中《龙的传人》是_________事件，（填“不可能”、“必然”或“随机”）；
请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率．
19.如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围．
20.如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
(1)求证：；(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
21.新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
(1)求出与的函数关系式；
(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
(3)如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
23．请阅读信息，并解决问题：
问题 琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”．琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）.琴桥全长120米，拱高25米.
处理信息 如图是琴桥的主视图，A，B 分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线， 拱的两端 C，D 位于线段 AB 上，且 AC=BD.一根琴弦固定在拱的对称轴 OH 处，其余 16 根琴弦对称固定在 OH 两侧，每侧各 8 根．记离拱端 C 最近的一 根为第 1 根，从左往右，依次记为第 2 根，第 3 根，…OH 为第 9 根，…
测量数据 测得上桥起点 A 与拱端 C 水平距离为 20 米，最靠近拱端 C 的“琴弦”EF 高 9 米，EF 与 OH 之间设置 7 根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为 m 米.
解决问题 任务 1：以点H为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务 2：求琴弦 EF 与拱端 C 的水平距离 CE 及 m 的值．
任务 3：若需要在琴弦 EF 与 OH 之间垂直安装一个如左图所示高为 17m 的 高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面 AB 上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问 该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
24.如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．
(3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，
使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
