【名师点拨与训练】14.1.1 同底数幂的乘法（含解析）
文档属性
| 名称 | 【名师点拨与训练】14.1.1 同底数幂的乘法（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-09 23:15:05 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂的乘法
学习目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则；
能够运用同底数幂的乘法法则进行相关运算；
通过同底数幂乘法运算法则的推导和总结，提升自身的推理能力；
重点：正确理解同底数幂乘法运算法则及运用性质进行有关计算；
难点：同底数幂乘法的运算法则的推导、理解及灵活运用。
老师告诉你
活用同底数幂乘法法则的“四点注意”
不要漏掉单独字母的指数1；
把不同底数幂转化为同底数幂时，要注意符号的变化；
不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆；
转化过程中要注意保持幂的底数相同。
知识点拨
知识点1 同底数幂乘法法则
同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘
表达式为：am●an=am+n（m,n为正整数）
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是实数，也可以是单项式、多项式。
三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质：am●an●ap=am+n+p.
【新知导学】
例1 .计算：
（1）；
（2）（P为正整数）；
（3）（n为正整数）．
【对应导练】
1．代数式可表示为( )
A. B. C. D.
2．计算的结果是( )
A. B. C. D.
3．计算的结果为( )
A. B. C. D.
4．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．若，则n等于______________.
6 .计算
；
（2）
（3）
知识点2 同底数幂乘法的应用
10m●10n=10m+n 科学记数法表示的形式为ax10n ，两个（或多个）科学记数法表示的式子相乘，系数相乘，同底数幂相乘。
2.底数互为相反数时，可化为同底数幂进行计算，如 (x-y)2 .(y-x)3 =(x-y)2.〔-(x-y)〕3
【新知导学】
例2 .科学家研究发现，每公顷的森林可吸收二氧化碳约1.5吨，我国人工林累计面积达48000000公顷，用科学记数法表示，这48000000公顷人工林可吸收多少吨二氧化碳．
【对应导练】
1．光速约为米/秒,太阳光射到地球上的时间约为秒,求地球与太阳的距离,用科学记数法表示为______米.
2．信息技术的存储设备常用B，KB，MB，GB等作为存储量的单位.例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，（字节）.对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少B（字节）？
3．下面的计算是否正确？如果不正确，请改正.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
4．计算：.
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
知识点3 同底数幂乘法的逆用
逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）
【新知导学】
例3 .已知，求的值．
【对应导练】
1．已知，则的值是( )
A. B.9 C. D.3
2．已知，，则的值为( )
A.2 B.6 C.8 D.16
3．若,则( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
4．若，，则( )
A.2 B.3 C.6 D.12
5．已知,,则______.
6．规定a，b两数之间存在一种运算，记作，若，则，我们把叫做“雅对”.
例如：因为，所以.我们还可以利用“雅对”的定义证明等式成立.证明如下：
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
（1）根据上述规定，填空：___________，___________；
（2）计算：___________，并说明理由.
二、题型训练
1.利用同底数幂乘法法则计算
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
2．计算：
(1)；
(2).
3．计算
(1);
(2);
(3).
2.利用同底数幂乘法法则求式子的值
4．已知,.
（1）求:①的值;
②的值;
（2）已知,求x的值.
5．已知=3, =9,求.
6．已知,求的值.
7．已知,求的值.
3.利用同底数幂乘法法则求字母间的数量关系
8 .新定义探究题 如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c.
9 .规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（，﹣8）＝ ；
(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
(3)拓展应用：计算（10，2）+（10，5）
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
2．化简的结果是( )
A. B. C. D.
3．已知，则的值是( )
A.6 B. C. D.8
4．若，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5．若,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
7．可以写成( )
A. B. C. D.
8．已知，，，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系式正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算_____.
11．已知，，则________.
12．已知，，，把105写成底数是10的幂的形式为__________.
13．已知，，若用含x的代数式表示y，则___________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（9分）计算
(1);
(2);
(3).
15．（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求x的值.
．
16．（8分）求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
17．（7分）我们规定,例如,请解决以下问题.
（1）求的值；
（2）想一想与相等吗？请说明理由.
18．（8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设，①
则，②
②-①，得，
.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）_________；
（2）___________；
（3）求的和.（是正整数，请写出计算过程）
19 .（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂的乘法
学习目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则；
能够运用同底数幂的乘法法则进行相关运算；
通过同底数幂乘法运算法则的推导和总结，提升自身的推理能力；
重点：正确理解同底数幂乘法运算法则及运用性质进行有关计算；
难点：同底数幂乘法的运算法则的推导、理解及灵活运用。
老师告诉你
活用同底数幂乘法法则的“四点注意”
不要漏掉单独字母的指数1；
把不同底数幂转化为同底数幂时，要注意符号的变化；
不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆；
转化过程中要注意保持幂的底数相同。
知识点拨
知识点1 同底数幂乘法法则
同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘
表达式为：am●an=am+n（m,n为正整数）
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是实数，也可以是单项式、多项式。
三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质：am●an●ap=am+n+p.
【新知导学】
例1 .计算：
（1）；
（2）（P为正整数）；
（3）（n为正整数）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（2）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（3）先把32化为的形式，利用乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点睛】本题考察同底数幂的乘法，乘方的符号法则．熟记同底数幂的乘法的计算法则，能用乘方的符号法则化简负号是解题关键．
【对应导练】
1．代数式可表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故选：C.
2．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
故选：D.
3．计算的结果为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
故选：A.
4．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：，
，
，
解得：，
故选A.
5．若，则n等于______________.
答案：4
解析：，
，
，
解得：.
故答案为：4.
6 .计算
；
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.
解：（1）
（3）
.
【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.
知识点2 同底数幂乘法的应用
10m●10n=10m+n 科学记数法表示的形式为ax10n ，两个（或多个）科学记数法表示的式子相乘，系数相乘，同底数幂相乘。
2.底数互为相反数时，可化为同底数幂进行计算，如 (x-y)2 .(y-x)3 =(x-y)2.〔-(x-y)〕3
【新知导学】
例2 .科学家研究发现，每公顷的森林可吸收二氧化碳约1.5吨，我国人工林累计面积达48000000公顷，用科学记数法表示，这48000000公顷人工林可吸收多少吨二氧化碳．
【答案】7.2×107吨．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：48000000公顷人工林可吸收二氧化碳：48000000×1.5=72000000=7.2×107(吨)，
∴48000000公顷人工林可吸收7.2×107吨二氧化碳．
【点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【对应导练】
1．光速约为米/秒,太阳光射到地球上的时间约为秒,求地球与太阳的距离,用科学记数法表示为______米.
答案：
解析：米；
故答案为：.
2．信息技术的存储设备常用B，KB，MB，GB等作为存储量的单位.例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，（字节）.对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少B（字节）？
答案：
解析：，
容量有（字节）.
3．下面的计算是否正确？如果不正确，请改正.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
答案：见解析
解析：5个计算都是错误的.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
4．计算：.
答案：原式
解析：
.
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
知识点3 同底数幂乘法的逆用
逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）
【新知导学】
例3 .已知，求的值．
【答案】3
【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可．
解：∵2x+3y-1=0，
∴2x+3y=1，
∴9x 27y
=32x×33y
=32x+3y
=31
=3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键
【对应导练】
1．已知，则的值是( )
A. B.9 C. D.3
答案：B
解析：，
∴，
.
故选：B.
2．已知，，则的值为( )
A.2 B.6 C.8 D.16
答案：C
解析：
；
故选：C.
3．若,则( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
答案：D
解析：由题意知：,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选：D.
4．若，，则( )
A.2 B.3 C.6 D.12
答案：B
解析：.
5．已知,,则______.
答案：10
解析：∵,,
∴.
故答案为：10.
6．规定a，b两数之间存在一种运算，记作，若，则，我们把叫做“雅对”.
例如：因为，所以.我们还可以利用“雅对”的定义证明等式成立.证明如下：
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
（1）根据上述规定，填空：___________，___________；
（2）计算：___________，并说明理由.
答案：（1）2；3
（2），理由见解析
解析：（2）.
理由：设，，
则，，
所以，
所以，
所以.
二、题型训练
1.利用同底数幂乘法法则计算
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
2．计算：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1）
；
（2）
.
3．计算
(1);
(2);
(3).
答案：(1).
(2).
(3)
.
2.利用同底数幂乘法法则求式子的值
4．已知,.
（1）求:①的值;
②的值;
（2）已知,求x的值.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）①
②（2）
,
,
,
解得:.
5．已知=3, =9,求.
答案：
解析：,因为,所以,所以
6．已知,求的值.
答案：.
.
由，解得，.
7．已知,求的值.
答案：∵，∴
∵，∴
∴
3.利用同底数幂乘法法则求字母间的数量关系
8 .新定义探究题 如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c.
【答案】(1) (4，16)＝2；(2) a＋b＝c.
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a=5，3b=6，3c=30，求出3a×3b=30，即可得出答案．
解：(1)因为33＝27，所以(3，27)＝3.
因为42＝16，所以(4，16)＝2.
(2)因为3a＝5，3b＝6，3c＝30，5×6＝30，
所以3a·3b＝3c，即3a＋b＝3c，所以a＋b＝c.
【点拨】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法，有理数的混合运算.
9 .规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（，﹣8）＝ ；
(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
(3)拓展应用：计算（10，2）+（10，5）
【答案】(1)3，2，﹣3(2)见解析(3)1
【分析】（1）根据规定的运算法则以及有理数的乘方进行计算即可；
（2）根据（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，可得出， ，，再利用同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b＝c；
（3）令（10，2）=m，（10，5）=n，再根据新定义的运算法则进行计算即可．
（1）解：∵43＝64，（﹣2）2＝4，（﹣）﹣3＝﹣8，
∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣，﹣8）＝﹣3．
解：∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴，
∴a+b＝c．
解：令（10，2）=m，（10，5）=n，则，，
∴．
∴．即（10，2）+（10，5）=1．
【点拨】本题考查了新定义下的实数运算与有理数乘方，同底数幂乘法的运算，解题的关键是理解新定义：如果ac＝b，那么（a，b）＝c，按此规律进行计算即可．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
故选：D.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．
2．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
.
故选：B.
点睛本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．
3．已知，则的值是( )
A.6 B. C. D.8
答案：D
解析：，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
4．若，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案：A
解析：.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，左右式子化为同底的幂是解题关键，熟练掌握同底数幂的乘法解题．
5．若,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：D
解析：,
.
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
故选D.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键
7．可以写成( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.
故选B.
点睛：利用同底幂的乘法法则计算，同底数幂相乘底数不变，指数相加.
8．已知，，，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系式正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由可得，因为，，所以，从而有，即可得.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算_____.
答案：
解析：，
故答案为：.
点睛：利用同底数幂的乘法计算法则求解即可。
10．若，则_________.
答案：2023
解析：，，.
点睛：利用同底数幂的乘法计算法则求解即可。
11．已知，，则________.
答案：10
解析：10mx10n=2x5=10
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.
12．已知，，，把105写成底数是10的幂的形式为__________.
答案：
解析：，而，，，所以.故答案为.
13．已知，，若用含x的代数式表示y，则___________.
答案：
解析：因为，所以.因为，所以，所以.
故答案为.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（9分）计算
(1);
(2);
(3).
答案：(1).
(2).
(3)
.
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则和合并同类项法则，是解题的关键
15．（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求x的值.
答案：（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，所以，
则，解得.
【点睛】本题考查新定义运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
16．（8分）求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
答案：（1），
即，
则，
解得.
（2），
即，
则，
解得.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确的将原式变形是解题的关键.
17．（7分）我们规定,例如,请解决以下问题.
（1）求的值；
（2）想一想与相等吗？请说明理由.
答案：（1）.
（2）相等.理由如下：
,
所以与相等.
【点睛】本题考查新定义运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
18．（8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设，①
则，②
②-①，得，
.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）_________；
（2）___________；
（3）求的和.（是正整数，请写出计算过程）
答案：（1）
令，①
则，②
②-①，得，即.
（2）
令，①
则，②
②-①，得.
（3）令，①
则，②
当时，
②-①，得，
，即.
当时，.
综上，.
19 .（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）=16；（2）．
【分析】（1）直接利用已知，将原式变形得出答案；
（2）直接利用已知将原式变形得出等式求出答案.
【解析】（1）==16；
（2）∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确的将原式变形是解题的关键.
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂的乘法
学习目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则；
能够运用同底数幂的乘法法则进行相关运算；
通过同底数幂乘法运算法则的推导和总结，提升自身的推理能力；
重点：正确理解同底数幂乘法运算法则及运用性质进行有关计算；
难点：同底数幂乘法的运算法则的推导、理解及灵活运用。
老师告诉你
活用同底数幂乘法法则的“四点注意”
不要漏掉单独字母的指数1；
把不同底数幂转化为同底数幂时，要注意符号的变化；
不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆；
转化过程中要注意保持幂的底数相同。
知识点拨
知识点1 同底数幂乘法法则
同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘
表达式为：am●an=am+n（m,n为正整数）
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是实数，也可以是单项式、多项式。
三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质：am●an●ap=am+n+p.
【新知导学】
例1 .计算：
（1）；
（2）（P为正整数）；
（3）（n为正整数）．
【对应导练】
1．代数式可表示为( )
A. B. C. D.
2．计算的结果是( )
A. B. C. D.
3．计算的结果为( )
A. B. C. D.
4．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．若，则n等于______________.
6 .计算
；
（2）
（3）
知识点2 同底数幂乘法的应用
10m●10n=10m+n 科学记数法表示的形式为ax10n ，两个（或多个）科学记数法表示的式子相乘，系数相乘，同底数幂相乘。
2.底数互为相反数时，可化为同底数幂进行计算，如 (x-y)2 .(y-x)3 =(x-y)2.〔-(x-y)〕3
【新知导学】
例2 .科学家研究发现，每公顷的森林可吸收二氧化碳约1.5吨，我国人工林累计面积达48000000公顷，用科学记数法表示，这48000000公顷人工林可吸收多少吨二氧化碳．
【对应导练】
1．光速约为米/秒,太阳光射到地球上的时间约为秒,求地球与太阳的距离,用科学记数法表示为______米.
2．信息技术的存储设备常用B，KB，MB，GB等作为存储量的单位.例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，（字节）.对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少B（字节）？
3．下面的计算是否正确？如果不正确，请改正.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
4．计算：.
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
知识点3 同底数幂乘法的逆用
逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）
【新知导学】
例3 .已知，求的值．
【对应导练】
1．已知，则的值是( )
A. B.9 C. D.3
2．已知，，则的值为( )
A.2 B.6 C.8 D.16
3．若,则( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
4．若，，则( )
A.2 B.3 C.6 D.12
5．已知,,则______.
6．规定a，b两数之间存在一种运算，记作，若，则，我们把叫做“雅对”.
例如：因为，所以.我们还可以利用“雅对”的定义证明等式成立.证明如下：
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
（1）根据上述规定，填空：___________，___________；
（2）计算：___________，并说明理由.
二、题型训练
1.利用同底数幂乘法法则计算
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
2．计算：
(1)；
(2).
3．计算
(1);
(2);
(3).
2.利用同底数幂乘法法则求式子的值
4．已知,.
（1）求:①的值;
②的值;
（2）已知,求x的值.
5．已知=3, =9,求.
6．已知,求的值.
7．已知,求的值.
3.利用同底数幂乘法法则求字母间的数量关系
8 .新定义探究题 如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c.
9 .规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（，﹣8）＝ ；
(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
(3)拓展应用：计算（10，2）+（10，5）
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
2．化简的结果是( )
A. B. C. D.
3．已知，则的值是( )
A.6 B. C. D.8
4．若，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5．若,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
7．可以写成( )
A. B. C. D.
8．已知，，，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系式正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算_____.
11．已知，，则________.
12．已知，，，把105写成底数是10的幂的形式为__________.
13．已知，，若用含x的代数式表示y，则___________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（9分）计算
(1);
(2);
(3).
15．（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求x的值.
．
16．（8分）求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
17．（7分）我们规定,例如,请解决以下问题.
（1）求的值；
（2）想一想与相等吗？请说明理由.
18．（8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设，①
则，②
②-①，得，
.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）_________；
（2）___________；
（3）求的和.（是正整数，请写出计算过程）
19 .（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂的乘法
学习目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则；
能够运用同底数幂的乘法法则进行相关运算；
通过同底数幂乘法运算法则的推导和总结，提升自身的推理能力；
重点：正确理解同底数幂乘法运算法则及运用性质进行有关计算；
难点：同底数幂乘法的运算法则的推导、理解及灵活运用。
老师告诉你
活用同底数幂乘法法则的“四点注意”
不要漏掉单独字母的指数1；
把不同底数幂转化为同底数幂时，要注意符号的变化；
不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆；
转化过程中要注意保持幂的底数相同。
知识点拨
知识点1 同底数幂乘法法则
同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘
表达式为：am●an=am+n（m,n为正整数）
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是实数，也可以是单项式、多项式。
三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质：am●an●ap=am+n+p.
【新知导学】
例1 .计算：
（1）；
（2）（P为正整数）；
（3）（n为正整数）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（2）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（3）先把32化为的形式，利用乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点睛】本题考察同底数幂的乘法，乘方的符号法则．熟记同底数幂的乘法的计算法则，能用乘方的符号法则化简负号是解题关键．
【对应导练】
1．代数式可表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故选：C.
2．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
故选：D.
3．计算的结果为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
故选：A.
4．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：，
，
，
解得：，
故选A.
5．若，则n等于______________.
答案：4
解析：，
，
，
解得：.
故答案为：4.
6 .计算
；
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.
解：（1）
（3）
.
【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.
知识点2 同底数幂乘法的应用
10m●10n=10m+n 科学记数法表示的形式为ax10n ，两个（或多个）科学记数法表示的式子相乘，系数相乘，同底数幂相乘。
2.底数互为相反数时，可化为同底数幂进行计算，如 (x-y)2 .(y-x)3 =(x-y)2.〔-(x-y)〕3
【新知导学】
例2 .科学家研究发现，每公顷的森林可吸收二氧化碳约1.5吨，我国人工林累计面积达48000000公顷，用科学记数法表示，这48000000公顷人工林可吸收多少吨二氧化碳．
【答案】7.2×107吨．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：48000000公顷人工林可吸收二氧化碳：48000000×1.5=72000000=7.2×107(吨)，
∴48000000公顷人工林可吸收7.2×107吨二氧化碳．
【点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【对应导练】
1．光速约为米/秒,太阳光射到地球上的时间约为秒,求地球与太阳的距离,用科学记数法表示为______米.
答案：
解析：米；
故答案为：.
2．信息技术的存储设备常用B，KB，MB，GB等作为存储量的单位.例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，（字节）.对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少B（字节）？
答案：
解析：，
容量有（字节）.
3．下面的计算是否正确？如果不正确，请改正.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
答案：见解析
解析：5个计算都是错误的.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
4．计算：.
答案：原式
解析：
.
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
知识点3 同底数幂乘法的逆用
逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）
【新知导学】
例3 .已知，求的值．
【答案】3
【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可．
解：∵2x+3y-1=0，
∴2x+3y=1，
∴9x 27y
=32x×33y
=32x+3y
=31
=3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键
【对应导练】
1．已知，则的值是( )
A. B.9 C. D.3
答案：B
解析：，
∴，
.
故选：B.
2．已知，，则的值为( )
A.2 B.6 C.8 D.16
答案：C
解析：
；
故选：C.
3．若,则( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
答案：D
解析：由题意知：,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选：D.
4．若，，则( )
A.2 B.3 C.6 D.12
答案：B
解析：.
5．已知,,则______.
答案：10
解析：∵,,
∴.
故答案为：10.
6．规定a，b两数之间存在一种运算，记作，若，则，我们把叫做“雅对”.
例如：因为，所以.我们还可以利用“雅对”的定义证明等式成立.证明如下：
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
（1）根据上述规定，填空：___________，___________；
（2）计算：___________，并说明理由.
答案：（1）2；3
（2），理由见解析
解析：（2）.
理由：设，，
则，，
所以，
所以，
所以.
二、题型训练
1.利用同底数幂乘法法则计算
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
2．计算：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1）
；
（2）
.
3．计算
(1);
(2);
(3).
答案：(1).
(2).
(3)
.
2.利用同底数幂乘法法则求式子的值
4．已知,.
（1）求:①的值;
②的值;
（2）已知,求x的值.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）①
②（2）
,
,
,
解得:.
5．已知=3, =9,求.
答案：
解析：,因为,所以,所以
6．已知,求的值.
答案：.
.
由，解得，.
7．已知,求的值.
答案：∵，∴
∵，∴
∴
3.利用同底数幂乘法法则求字母间的数量关系
8 .新定义探究题 如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c.
【答案】(1) (4，16)＝2；(2) a＋b＝c.
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a=5，3b=6，3c=30，求出3a×3b=30，即可得出答案．
解：(1)因为33＝27，所以(3，27)＝3.
因为42＝16，所以(4，16)＝2.
(2)因为3a＝5，3b＝6，3c＝30，5×6＝30，
所以3a·3b＝3c，即3a＋b＝3c，所以a＋b＝c.
【点拨】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法，有理数的混合运算.
9 .规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（，﹣8）＝ ；
(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
(3)拓展应用：计算（10，2）+（10，5）
【答案】(1)3，2，﹣3(2)见解析(3)1
【分析】（1）根据规定的运算法则以及有理数的乘方进行计算即可；
（2）根据（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，可得出， ，，再利用同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b＝c；
（3）令（10，2）=m，（10，5）=n，再根据新定义的运算法则进行计算即可．
（1）解：∵43＝64，（﹣2）2＝4，（﹣）﹣3＝﹣8，
∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣，﹣8）＝﹣3．
解：∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴，
∴a+b＝c．
解：令（10，2）=m，（10，5）=n，则，，
∴．
∴．即（10，2）+（10，5）=1．
【点拨】本题考查了新定义下的实数运算与有理数乘方，同底数幂乘法的运算，解题的关键是理解新定义：如果ac＝b，那么（a，b）＝c，按此规律进行计算即可．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
故选：D.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．
2．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
.
故选：B.
点睛本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．
3．已知，则的值是( )
A.6 B. C. D.8
答案：D
解析：，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
4．若，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案：A
解析：.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，左右式子化为同底的幂是解题关键，熟练掌握同底数幂的乘法解题．
5．若,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：D
解析：,
.
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
故选D.
点睛：本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键
7．可以写成( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.
故选B.
点睛：利用同底幂的乘法法则计算，同底数幂相乘底数不变，指数相加.
8．已知，，，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系式正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由可得，因为，，所以，从而有，即可得.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算_____.
答案：
解析：，
故答案为：.
点睛：利用同底数幂的乘法计算法则求解即可。
10．若，则_________.
答案：2023
解析：，，.
点睛：利用同底数幂的乘法计算法则求解即可。
11．已知，，则________.
答案：10
解析：10mx10n=2x5=10
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.
12．已知，，，把105写成底数是10的幂的形式为__________.
答案：
解析：，而，，，所以.故答案为.
13．已知，，若用含x的代数式表示y，则___________.
答案：
解析：因为，所以.因为，所以，所以.
故答案为.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（9分）计算
(1);
(2);
(3).
答案：(1).
(2).
(3)
.
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则和合并同类项法则，是解题的关键
15．（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求x的值.
答案：（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，所以，
则，解得.
【点睛】本题考查新定义运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
16．（8分）求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
答案：（1），
即，
则，
解得.
（2），
即，
则，
解得.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确的将原式变形是解题的关键.
17．（7分）我们规定,例如,请解决以下问题.
（1）求的值；
（2）想一想与相等吗？请说明理由.
答案：（1）.
（2）相等.理由如下：
,
所以与相等.
【点睛】本题考查新定义运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
18．（8分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设，①
则，②
②-①，得，
.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）_________；
（2）___________；
（3）求的和.（是正整数，请写出计算过程）
答案：（1）
令，①
则，②
②-①，得，即.
（2）
令，①
则，②
②-①，得.
（3）令，①
则，②
当时，
②-①，得，
，即.
当时，.
综上，.
19 .（8分）规定，求：
（1）求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）=16；（2）．
【分析】（1）直接利用已知，将原式变形得出答案；
（2）直接利用已知将原式变形得出等式求出答案.
【解析】（1）==16；
（2）∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确的将原式变形是解题的关键.
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