【名师点拨与训练】14.1.2 幂的乘方（含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.2 幂的乘方
学习目标
1.理解并掌握幂的乘方法则.
2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算.
二、教学重、难点：
重点：幂的乘方法则.
难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.
老师告诉你
不要把幂的乘方与同底数幂乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法转化为指数的加法运算，幂的乘方转化为指数的乘法运算。
逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的技巧：
将指数和的形式转化为同底数幂相乘；
将指数的积的形式转化为幂的乘方。
一、知识点拨
知识点1 幂的乘方法则
幂的乘方法则：:幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号语言：(其中都是正整数).
公式的推广： (，均为正整数)
【新知导学】
例1．计算：（1）__________.
（2）__________.
（2）__________.
（4）__________.
【对应导练】
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
2．计算:
(1);
(2);
(3).
3．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
4．化简的结果是( )
A. B. C. D.
5．下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
知识点2 幂的混合运算
运算顺序：先乘方，再同底数幂相乘
【新知导学】
例2．计算：.
【对应导练】
1．计算:
(1)
(2);
(3).
2．计算；
3．计算：.
4．计算:
(1);
(2);
(3).
知识点3 幂的乘方逆运算法则
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【新知导学】
例2．(1)已知,.求的值；
(2)已知,求x的值.
【对应导练】
1．根据已知条件求值.
(1)已知，，求的值.
(2)已知，求的值.
2．若，，m，n为正整数，则_____.
3．已知，，则________.
4．已知,,则__________.
5．已知，，，则a、b、c的大小关系是______.
二、题型训练
1.利用幂的乘方法则进行混合运算
1．计算:
(1)
(2);
(3).
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
3．计算：
2.利用幂的乘方法则求字母（式子）的值
4．已知，则的值为______．
5．若，求的值.
6．已知，求的值.
3.利用幂的乘方法则解决自定义问题
7．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
8．我们约定：，如.
(1)试求：和的值；
(2)试求：和的值；
(3)想一想，和的值是否相等，验证你的结论.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4
2．( )
A. B. C. D.
3．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4．化简的结果是( )
A. B. C. D.
5．计算的结果为( )
A. B. C. D.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
7．若，，则的值为( )
A. B.2 C. D.3
8．若m，n均为正整数，且，，则的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若，则x的值为______.
10．已知,则的值为______.
11．若，，则用含的代数式表示______.
12．若的个位数字是6，则的个位数字是_________.
13．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是________.
三、解答题（共6小题，48分）
14.（8分）计算：
（1）；
（2）．
15．（7分）阅读下列解答过程，比较的大小.
解：，
，
.
因为，
所以.
仿照上面的方法比较的大小.
16．（8分）若且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
17．（9分）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
18 .（8分）计算：
(1) 已知，，求的值．
(2) 若为正整数，且，求的值．
19 .（8分）观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.2 幂的乘方
学习目标
1.理解并掌握幂的乘方法则.
2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算.
二、教学重、难点：
重点：幂的乘方法则.
难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.
老师告诉你
不要把幂的乘方与同底数幂乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法转化为指数的加法运算，幂的乘方转化为指数的乘法运算。
逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的技巧：
将指数和的形式转化为同底数幂相乘；
将指数的积的形式转化为幂的乘方。
一、知识点拨
知识点1 幂的乘方法则
幂的乘方法则：:幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号语言：(其中都是正整数).
公式的推广： (，均为正整数)
【新知导学】
例1．计算：（1）__________.
（2）__________.
（2）__________.
（4）__________.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【点拨】本题考查幂的乘方运算．注意运算法则的应用和负号。掌握幂的乘方运算法则是解题关键。
【对应导练】
1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
故选：A.
【点拨】本题考查幂的乘方运算．注意运算法则的应用和负号。掌握幂的乘方运算法则是解题关键。
2．计算:
(1);
(2);
(3).
答案：
(1).
(2).
(3).
【点拨】本题考查幂的乘方运算．注意运算法则的应用和负号。掌握幂的乘方运算法则是解题关键。
3．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）.
（2）.
（3）.
【点拨】本题考查幂的乘方运算．注意运算法则的应用和负号。掌握幂的乘方运算法则是解题关键。
4．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
.
故选：C.
【点拨】本题考查幂的乘方运算．注意运算法则的应用和负号。掌握幂的乘方运算法则是解题关键。
5．下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：；；；.
【点睛】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
知识点2 幂的混合运算
运算顺序：先乘方，再同底数幂相乘
【新知导学】
例2．计算：.
【分析】(1)先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得解
答案：0
解析：原式
.
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【对应导练】
1．计算:
(1)
(2);
(3).
【分析】(1)先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得解
答案：(1).
(2).
(3).
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．计算；
【分析】(1)先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得解
答案：.
解析：.
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．计算：.
【分析】底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；据此计算即可．
答案：
解析：
.
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．计算:
(1);
(2);
(3).
答案：(1)
.
(2)
.
(3)
.
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
知识点3 幂的乘方逆运算法则
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【新知导学】
例2．(1)已知,.求的值；
(2)已知,求x的值.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可。
答案：(1)675
(2)6
解析：(1)∵,,
∴；
(2)∵,
∴,
∴,
∴,
解得：.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
【对应导练】
1．根据已知条件求值.
(1)已知，，求的值.
(2)已知，求的值.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可。
答案：(1)40
(2)8
解析：(1)∵，，
∴；
(2)∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
2．若，，m，n为正整数，则_____.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可。
答案：
解析：，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
3．已知，，则________.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可。
答案：
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键
4．已知,,则__________.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可。
答案：15
解析：∵,,
∴,,
∴,,
∴,
故答案为：15.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键
5．已知，，，则a、b、c的大小关系是______.
答案：
解析：；；；
∵，
∴，
∴，
同理：，
.
故答案为：.
二、题型训练
1.利用幂的乘方法则进行混合运算
1．计算:
(1)
(2);
(3).
【分析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；
答案：(1).
(2).
(3).
【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
【分析】根据同底数幂的运算及幂的乘方直接进行求解即可．
答案：（1）.
（2）.
（3）.
【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．
3．计算：
【答案】
【分析】根据同底数幂的运算及幂的乘方直接进行求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键
2.利用幂的乘方法则求字母（式子）的值
4．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，从而可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．若，求的值.
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
答案：，即，因为，所以，所以.
【点拨】考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键:先根据同底数据乘法法则将原式转化，再根据幂的乘方运算。
6．已知，求的值.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，从而可求解
答案：.
【点拨】考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键:先根据同底数据乘法法则将原式转化，再根据幂的乘方运算。
3.利用幂的乘方法则解决自定义问题
7．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
答案：（1）96
（2）21
（3）
解析：（1）.
（2）当，，时，.
（3）因为，
所以，，，，，
所以.
8．我们约定：，如.
(1)试求：和的值；
(2)试求：和的值；
(3)想一想，和的值是否相等，验证你的结论.
答案：(1)，
(2)
(3)不相等，理由见解析
解析：(1)，
.
(2)，
(3)不相等，理由如下：
，
，
.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算的结果是( )
A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4
答案：D
解析：，
故选D.
2．( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：(-a2)3 = -(a2)3 = -a6
故选D
3．若，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案：A
解析：，
∴
解得：，
故选：A.
4．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
.
故选：C.
5．计算的结果为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：原式=,
.
故选：C.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵，
，
，
，
∴.
故选：A.
7．若，，则的值为( )
A. B.2 C. D.3
答案：A
解析：，，
，
，
故选：A.
8．若m，n均为正整数，且，，则的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
答案：B
解析：因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以.故选B.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若，则x的值为______.
答案：4
解析：根据幂的运算，可以得出，所以.
故答案为：.
10．已知,则的值为______.
答案：
解析：∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
11．若，，则用含的代数式表示______.
答案：
解析：，
.
故答案为：.
12．若的个位数字是6，则的个位数字是_________.
答案：6
解析：，因为是个位数字是6的正整数，其正整数次幂的个位数字仍是6，所以的个位数字是6.
13．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是________.
答案：
解析：，，
，
又，
.
故答案为：.
三、解答题（共6小题，48分）
14.（8分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．
解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=．
【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．
15．（7分）阅读下列解答过程，比较的大小.
解：，
，
.
因为，
所以.
仿照上面的方法比较的大小.
答案：，
，
，
因为，
所以.
【点拨】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
16．（8分）若且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4；
（2），
，
，
，
解得：，
的值为3．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
17．（9分）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
答案：（1）96
（2）21
（3）
解析：（1）.
（2）当，，时，.
（3）因为，
所以，，，，，
所以.
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
18 .（8分）计算：
(1) 已知，，求的值．
(2) 若为正整数，且，求的值．
(1)9 (2)2450
【分析】（1）由幂的乘方、同底数幂的除法法则解答；
（2）由幂的乘方公式解答．
（1）解：
；
（2）原式=
=
=
=2450．
【点拨】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方及其逆运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
19 .（8分）观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【解析】（1）第①行的第1个单项式为，
第①行的第2个单项式为，
第①行的第3个单项式为，
第①行的第4个单项式为，
归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第①行的第8个单项式为，
故答案为：；
（2）第②行的第1个单项式为，
第②行的第2个单项式为，
第②行的第3个单项式为，
第②行的第4个单项式为，
归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第②行的第9个单项式为，
第③行的第1个单项式为，
第③行的第2个单项式为，
第③行的第3个单项式为，
第③行的第4个单项式为，
归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第③行的第10个单项式为，
故答案为：，；
（3）由题意得：，
当时，，，，
则
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