【名师点拨与训练】14.1.3 积的乘方（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.3 积的乘方
学习目标
1.理解并掌握积的乘方法则及其应用；
2.会运用积的乘方运算法则进行运算；
重点：积的乘方的运算
难点：积的乘方法则的推导过程的理解及灵活应用。
老师告诉你
1.在进行积的乘方运算时，应把底数（积）的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个，当底数含有“-”号时，应将它看成-1，作为一个因式，不要漏掉。
2.积的乘方法则对于三个及三个以上的因式的积的乘方也一样适用，即（abc）n =anbncn（n为正整数）,但是要防止出现（a+b）n =an+bn 这样的错误。
一、知识点拨
知识点1 积的乘方法则
积的乘方，把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号语言：（ab）m =ambm (m是正整数）
公式的推广：(abc)m =ambmcm
【新知导学】
例1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
2．计算：
（1）；
（2）（m是正整数）；
（3）（m、n是正整数）；
（4）；
（5）；
（6）.
3．计算的结果为________.
4．___________.
知识点2 积的乘方法则应用
1.混合运算：运算顺序：先乘方，再同底数幂相乘。
2 .逆运算：逆用公式ambmcm =(abc)m ，根据题目需要逆用积的乘方法则将一些幂变形，从而解决问题。
【新知导学】
例2-1．计算：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
例2-2．①若，求的值.
②已知，，求值.
【对应导练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知n为正整数，且，求的值.
3．阅读下列各式：，…….
请回答下列问题：
(1)计算：________，________.
(2)通过上述规律，归纳得出：________；________.
(3)请应用上述性质计算：.
4．上课时王老师给学生出了一道题：
计算：.同学们看了题目后发表不同的看法.小张说：“指数太大计算不了.”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题.”
(1)下面是小李尚未完整的解题过程，请你帮他补充完整.
______
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：计算：
5．计算:
(1);
(2).
二、题型训练
1.利用积的乘方法则用字母表示数
1.若a-78 ,b=87 ,试用含a,b的式子表示5656 .
若5m=a, 5n=b，则5m+n的值为__________（用含a,b的式子表示）
2.利用幂的运算法则进行运算
3．计算：
（1）；
（2）.
4．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．已知，试探究之间有什么关系.
3.利用幂的运算法则进行特殊计算
6．计算：.
7．计算：.
8．如图是小明完成的一道作业题:
小明的作业计算:.
解:
.
请你参考小明的方法解答下列问题.
计算:(1);
(2).
4.利用幂的运算法则求字母、式子的值
9．已知，判断和ab的大小关系.
10．已知：求证：
11．已知：，，.试用含x，y，z的代数式表示下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算：( )
A. B. C. D.
2．计算的结果为( )
A. B. C. D.
3．计算的结果是( )
A. B. C. D.
4．等于( )
A.1 B. C. D.4
5．计算的结果为( )
A. B. C. D.
.
6．小明的作业本上有以下四题：
① ；
② ；
③；
④ .做错的题是( )
A.① B.② C.③ D.④
7．下列计算中,错误的个数是( ).
①；②；③；④；⑤
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8．已知，则的值为( )
A.3 B. C.4 D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：______.
10．计算：___________.
11．若，，，则___________.
12．给出下列各式：①；②；③；④.其中计算结果等于的是______.（只填写序号）
13．如果，那么_________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）简便计算：
（1）；
（2）.
15．（9分）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用.对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）.
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：____________.
（2）若，，求的值.
（3）计算：.
16．（8分）问题：你能比较和的大小吗？
为了解这个问题，我们先写出它们的一般形式，即和（n是自然数），然后我们从分析，…这些简单情形入手，从中发现规律，归纳猜想，得出结论.
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在横线上填“>”“=”或“<”）：
①_______；②_____；③______；④_____；⑤_____；⑥_____.
（2）请你将（1）中的结果进行归纳猜想，得出和的大小关系.
（3）根据（2）中归纳猜想得到的结论，比较两个数的大小：________.（在横线上填“>”“＝”或“<”）
17 .（7分）若且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
18 .（8分）若，，、都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）若，，用含的代数式表示．
19 .（8分）若，．
（1）请用含的代数式表示；
（2）如果，求此时的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.1.3 积的乘方
学习目标
1.理解并掌握积的乘方法则及其应用；
2.会运用积的乘方运算法则进行运算；
重点：积的乘方的运算
难点：积的乘方法则的推导过程的理解及灵活应用。
老师告诉你
1.在进行积的乘方运算时，应把底数（积）的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个，当底数含有“-”号时，应将它看成-1，作为一个因式，不要漏掉。
2.积的乘方法则对于三个及三个以上的因式的积的乘方也一样适用，即（abc）n =anbncn（n为正整数）,但是要防止出现（a+b）n =an+bn 这样的错误。
一、知识点拨
知识点1 积的乘方法则
积的乘方，把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号语言：（ab）m =ambm (m是正整数）
公式的推广：(abc)m =ambmcm
【新知导学】
例1．计算的结果是( )
A. B. C. D.
【分析】利用幂的乘方法则运算
答案：C
解析：,
故选：C.
【点睛】本题考查积的乘方，解答的关键是对积的运算法则的掌握。
【对应导练】
1．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【分析】利用幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方法则运算
答案：见解析
解析：（1）不对，应改为；
（2）不对，应改为；
（3）不对，应改为；
（4）不对，应改为；
（5）不对，应改为；
（6）不对，应改为.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．计算：
（1）；
（2）（m是正整数）；
（3）（m、n是正整数）；
（4）；
（5）；
（6）.
【分析】利用幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方法则运算
答案：见解析
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
（5）原式.
（6）原式.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．计算的结果为________.
答案：
解析：.
4．___________.
答案：
解析：
.
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟记积乘方的运算法则是解答本题的关键．
知识点2 积的乘方法则应用
1.混合运算：运算顺序：先乘方，再同底数幂相乘。
2 .逆运算：逆用公式ambmcm =(abc)m ，根据题目需要逆用积的乘方法则将一些幂变形，从而解决问题。
【新知导学】
例2-1．计算：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：积的乘方，积中各因式的乘方的积，据此计算即可．
最后合并同类项
答案：（1）-32
（2）
（3）
（4）1
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
例2-2．①若，求的值.
②已知，，求值.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则、积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：①14
②1
解析：①
，
当时，原式；
②
，
当，时，原式，
∵为偶数，
∴原式.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方法则的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
【对应导练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：积的乘方，积中各因式的乘方的积，据此计算即可．
最后合并同类项
答案：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
2．计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知n为正整数，且，求的值.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则、积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：(1)
(2)
解析：(1)，
.
(2)
原式.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方法则的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
3．阅读下列各式：，…….
请回答下列问题：
(1)计算：________，________.
(2)通过上述规律，归纳得出：________；________.
(3)请应用上述性质计算：.
【分析】逆用积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：(1)1；1
(2)，
(3)
解析：（1），
，
故答案为：1；1；
（2）由题意得，，，
故答案为：，；
（3）
.
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
4．上课时王老师给学生出了一道题：
计算：.同学们看了题目后发表不同的看法.小张说：“指数太大计算不了.”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题.”
(1)下面是小李尚未完整的解题过程，请你帮他补充完整.
______
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：计算：
【分析】逆用积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：(1)，4，1
(2)
解析：（1）
.
故答案为：，4，1；
（2）
.
5．计算:
(1);
(2).
【分析】逆用积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：(1)
.
(2)
.
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
二、题型训练
1.利用积的乘方法则用字母表示数
1.若a-78 ,b=87 ,试用含a,b的式子表示5656 .
【分析】幂的乘方运算、积的乘方法则逆用
【答案】a7b8
【解析】a-78 ,b=87
所以：a7=(78)7 =756 , b8 =(87)8 =856
所以5656 =（7x8）56 =756 x856 =a7b8
故答案为a7b8
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方法则逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则。
若5m=a, 5n=b，则5m+n的值为__________（用含a,b的式子表示）
【分析】同底数幂法则的逆用
【答案】ab
【解析】5m+n =5m.5n
=ab
【点睛】本题主要考查了逆用同底数幂乘法法则，解题关键是熟练掌握幂的运算法则。
2.利用幂的运算法则进行运算
3．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
4．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：(1).
（2）.
（3）.
（4）.
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
5．已知，试探究之间有什么关系.
答案：因为，
所以之间的关系是.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题的关键．
3.利用幂的运算法则进行特殊计算
6．计算：.
答案：
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
7．计算：.
答案：
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
8．如图是小明完成的一道作业题:
小明的作业计算:.
解:
.
请你参考小明的方法解答下列问题.
计算:(1);
(2).
答案：(1).
(2).
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键.
4.利用幂的运算法则求字母、式子的值
9．已知，判断和ab的大小关系.
【分析】逆用积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：.
解析：，
，，
，
.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方法则的逆运算，
10．已知：求证：
【分析】逆用积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可
答案：见解析
解析：证明：，
，
，
，
，即，
，（均不可能为0）
，即.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方法则的逆运算，
11．已知：，，.试用含x，y，z的代数式表示下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则、积的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）.
（2）.
（3）.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方法则的逆运算，
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算：( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.
故选：B.
2．计算的结果为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：.
故选：C.
3．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
=-m4xm2
=-m6
故选D
4．等于( )
A.1 B. C. D.4
答案：B
解析：；
故选：B.
5．计算的结果为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解法一：原式.
解法二：原式.
6．小明的作业本上有以下四题：
① ；
② ；
③；
④ .做错的题是( )
A.① B.② C.③ D.④
答案：D
解析：① ，正确；
② ，正确；
③ ，正确；
④ ，错误.
故选：D.
7．下列计算中,错误的个数是( ).
①；②；③；④；⑤
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解析：①,故①错误；
②,故②错误；
③,故③正确；
④；故④错误；
⑤；故⑤正确；
①②④错误.
故选择：B.
8．已知，则的值为( )
A.3 B. C.4 D.
答案：C
解析：，
，即，
，
解得：.
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：______.
答案：
解析：
.
10．计算：___________.
答案：
解析：.
故答案为.
11．若，，，则___________.
答案：30
解析：因为，，，
所以.
12．给出下列各式：①；②；③；④.其中计算结果等于的是______.（只填写序号）
答案：①④
解析：②的结果为；③的结果为.
13．如果，那么_________.
答案：6或2
解析：
，
解得，
故或2.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）简便计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）32
解析：（1）.
（2）
.
15．（9分）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用.对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）.
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：____________.
（2）若，，求的值.
（3）计算：.
答案：（1）
（2）72
（3）8
解析：（1）由题得：，，.
，
；
（2），，
；
（3）
.
16．（8分）问题：你能比较和的大小吗？
为了解这个问题，我们先写出它们的一般形式，即和（n是自然数），然后我们从分析，…这些简单情形入手，从中发现规律，归纳猜想，得出结论.
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在横线上填“>”“=”或“<”）：
①_______；②_____；③______；④_____；⑤_____；⑥_____.
（2）请你将（1）中的结果进行归纳猜想，得出和的大小关系.
（3）根据（2）中归纳猜想得到的结论，比较两个数的大小：________.（在横线上填“>”“＝”或“<”）
答案：（1）＜；＜；＞；＞；＞；＞
（2）当或2时，；当（n为自然数）时，
（3）
17 .（7分）若且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4；
（2），
，
，
，
解得：，
的值为3．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
18 .（8分）若，，、都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）若，，用含的代数式表示．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）利用同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（3）利用幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
的值为2；
（2），
，
，
，
，
解得：，
的值为4；
（3），
，
，
即．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，列代数式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
19 .（8分）若，．
（1）请用含的代数式表示；
（2）如果，求此时的值．
【分析】（1）将变形，转化为关于的形式，然后再代入整理即可；
（2）把代入解得即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
即；
（2）把代入．
【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含的项代换掉．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)