选择必修第二册 第四章 4.2.1 等差数列的概念（第2课时）课件(共25张PPT)

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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1等差数列的概念（第2课时 ）
教学目标
学习目标 数学素养
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质． 1.逻辑推理素养和数学运算素养.
2.能用等差数列的性质解决一些相关问题． 2.逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差通常用字母d表示.
2.等差中项
等差数列的符号语言：an－an－1 = d (d是常数，n≥2，)
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
2A=a+b或A=.
3.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
d>0时，{an}是递增数列；d<0时，{an}是递减数列；d=0时，{an}是常数列.
知新探究
【例1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}. 由题意可知，10年之内(含10年)，这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元. 可以利用{an}的通项公式列不等式求解.
知新探究
【例1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
解：
设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}.由已知条件，得
an＝an－1－d（n≥2）．
因为购置设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是
an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
根据题意,得 a10≥11，a11＜11.
由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
即,
∴d的取值范围为19解得 19知新探究
解决等差数列实际问题的基本步骤
⑴将已知条件翻译成数学(数列)问题；
⑵构造等差数列模型(明确首项和公差)；
⑶利用通项公式解决等差数列问题；
⑷将所求出的结果回归为实际问题.
初试身手
依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则
1.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干 ”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米 ”请问甲应该分得白米为(　　)
A.96石 B.78石 C.60石 D.42石.
a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,
解得 a2=60,d=-18,
解：
∴a1=a2-d=60+18=78.
故选B.
B
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【例2】 已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
⑴求数列{bn}的通项公式.
⑵b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.
分析：⑴{an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；
解：
⑴设数列{bn}的公差为d′, 由题意可知
∵ b5-b1 =4d′，
b1= a1=2 , b5 = a2=10
于是 b5-b1 =a2-a1=8,
∴4d′=8，即d′=2.
∴bn= 2+(n-1)×2=2n.
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n.
如果插入k(k)个数，那么{bn}的公差是多少？
知新探究
【例2】 已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
⑴求数列{bn}的通项公式.
⑵b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.
分析：⑵设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.
解：
⑵数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 项，
令4n-3=29, 解得 n=8.
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，
则 cn=4n-3，
∴b29是数列{an}的第8项.
对于第(2)小题，你还有其他解法吗？
知新探究
【例2】 已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
⑴求数列{bn}的通项公式.
⑵b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.
分析：⑵①先求b29=？②再求an；③令an＝ ，解出n.
解：
⑵由(1)可得b29=2×29=58，
令8n-6=58 , 解得 n=8.
∵a1=2，d=8，
∴an=8n-6，
∴b29是数列{an}的第8项.
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已知是等差数列，公差为，
1.{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.即，…()是公差为md的等差数列.
2.数列(b为常数，b≠0)是公差为bd的等差数列;
4.{ban＋c}(b，c是常数)是公差为bd的等差数列．
5.若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列．
拓展：(等差数列的性质）
3.{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
初试身手
⑴是等差数列，它的首项为am+1=a1+md,公差为d.
2.(P18练习第5题)已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d.
⑴将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗 如果是, 它的首项和公差分别是多少
⑵依次取出数列中的所有奇数项(偶数项),组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗 如果是,它的首项和公差分别是多少
⑶依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗 你能根据得到的结论作出一个猜想吗
⑵是等差数列，它的首项为a1，公差为2d.
解：
⑶是等差数列，它的首项为a7=a1+6d,公差为7d.
由此猜想：所有序号为k(k≥2,k∈N )的倍数的项按从小到大的顺序排成的数列都是等差数列.
知新探究
【例3】已知数列{an}是等差数列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.求证:ap+aq=as+at.
证明：
设等差数列{an}的公差为d,则
ap=a1+(p-1)d，
aq=a1+(q-1)d，
∴ap+aq=2a1+(p+q-2)d，
as=a1+(s-1)d，
∴ap+aq=as+at.
分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at ，再利用已知条件即可得证.
at=a1+(t-1)d，
as+at=2a1+(s+t-2)d，
∵ p+q=s+t.
知新探究
解：
如图所示，由P,S,Q,T在同一条直线上，可得
，
∵ p+q=s+t，
∴ap-as=at-aq,即ap+aq=as+at.
∴ p-s=t-q，
例5是等差数列的一条性质，如图是它的一种情形.
你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗
n
an
O




s
p
q
t
as
ap
aq
at
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
知新探究
注意：
不成立！
等式两边作和的项数必须一样多！
思考：2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？
性质 若数列{an}是等差数列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.则ap+aq=as+at.
⑴特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
⑵对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
初试身手
⑴方法1：设等差数列{an}的公差为d,
由a1+a4+a7=39，得3a1+9d=39，即 a1+3d=13 ①
3.⑴已知等差数列{an}中， a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
⑵已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝30，求a3－2a5的值.
由a2+a5+a8=33，得3a1+12d=33，即 a1+4d=11 ②
解：
∴a3+a6+a9=3a1+15d=57-30=27.
∴a3+a6+a9=3a6=27.
联立①②，解得a1=19，d=-2.
方法2：由a1+a4+a7=39，得3a4=39，即a4=13，
由a2+a5+a8=33，得3a5=33，即a5=11，
∴d=a5-a4=11-13=-2，a6=a5+d=9,
∵a3+a9=2a6，
初试身手
⑵方法1：设等差数列{an}的公差为d,则
30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，
3.⑴已知等差数列{an}中， a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
⑵已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝30，求a3－2a5的值.
∴a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.
解：
方法2：根据等差数列性质，可得a4＋a10＝2a7，
而a4＋a7＋a10＝30＝3a7 ,即a7=10,
∴a3－2a5＝a3－(a3+a7)=－a7=－10.
即a1＋6d＝10.
知新探究
【例4】如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.
⑴求AB，BC，CD的长；
⑵以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的
正方形的面积是多少？
解：
⑴设公差为d(d>0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d.
由题意得,
∴AB=3(cm),BC=7(cm)，CD=11(cm).
解得x=7,d=4或d=-4(舍去),
∴a10＝3＋(10－1)×4＝39，=392=1521(cm2)．
⑵正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，
则所求正方形的面积为1521cm2.
初试身手
⑴由题意得,2c，a-c，a+c成等差数列，
∴(a-c)=2c+a+c，即a=5c,
4.⑴椭圆(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,左右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为 .
⑵若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列，则k= .
∴.
解：
.
初试身手
又x1+x2==4，
∴ =,即k>-1,
4.⑴椭圆(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,左右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为 .
⑵若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列，则k= .
∴x1+x2=4，
解：
⑵设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
∴k=2.
联立得k2x2-4(k+2)x+4=0.
2
由题意得|AF|+|BF|=8=x1+x2+4,
解得k=2或-1(舍去),
课堂小结
已知是等差数列，公差为，
1.{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.即，…()是公差为md的等差数列.
2.数列(b为常数，b≠0)是公差为bd的等差数列;
4.{ban＋c}(b，c是常数)是公差为bd的等差数列．
5.若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列．
3.{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
等差数列的性质
6.若数列{an}是等差数列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.则ap+aq=as+at.
作业布置
作业： P17-18 练习 第1,3,4题
P25 习题4.2 第10题.
补充：
1.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有(　　)
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=0
2.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为　　　　　.
3.已知中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2017,则该数列的首项为　 .
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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