宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中
2024—2025学年上学期期中考试
高一数学试题
时间：120分钟
分值：150分命题
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知幂函数图象过点，设，，，则（）
A. B. C. D.
4. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．已知圆周率，如果记圆周率π小数点后第n位数字为，则下列说法不正确的是（）
A. 当时， B. ，一个函数
C. D.
5. 关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是
A. 或 B.
C D. 或
6. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）
A B. C. D.
8. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（）
A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得
C. 由可得 D. 由可得
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题恒成立的是（）
A. 若，则 B. 若，，，则
C. 若，则 D. 若，，且，则
10. 下列说法正确的是（）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是
C. 函数的值域为
D. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（）
A. 在R上是增函数 B. 的最小值为0，无最大值
C. D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象如图所示，则______.
13. 已知集合，，若，则实数________．
14. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为________ m．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知存在，使不等式成立的实数a的取值集合为A，非空集合．
（1）求集合A；
（2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．
16. 已知全集，集合，集合．
（1）求，；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
17. 已知定义在R上的函数满足：．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式；
（3）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
18. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
（1）求a，b；
（2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
19. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中
2024—2025学年上学期期中考试
高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. C
2. B
3. B
4. A
5. C
6. D
7. B
8. C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ABD
10. AD
11. BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】或
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）将“存在，使得成立”变为“存在，使得成立”，再利用基本不等式即可求解.
（2）由p是q的必要不充分条件知是的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，则，
∵，当且仅当，即时，等号成立.
∴
若存在，使不等式成立，则，即.
所以.
【小问2详解】
∵p是q的必要不充分条件，∴是A的真子集.
∵，是A的真子集，∴，解得.
所以实数m的范围是.
16.
【解析】
【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义计算即可；
（2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可.
【小问1详解】
由解得或，所以或，
所以或；
，所以；
【小问2详解】
由得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）整理不等式为，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可；
（3）转化问题为在上恒成立，即，进而结合函数单调性求解即可.
【小问1详解】
由，
得，
两式联立解得，.
【小问2详解】
由（1）知，，
则不等式，即为，
整理得，，即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式解得；
当时，不等式解得.
综上所述，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【小问3详解】
由（1）知，，
由不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为函数在上单调递增，
所以函数上单调递增，
所以时，，即，解得，
所以实数a的取值范围为．
18.
【答案】（1）
（2）
（3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果；
（2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果；
（3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果.
小问1详解】
由题意可知，解得；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
综上所述，；
【小问3详解】
当时，，
此时由二次函数单调性可知；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
且，
综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
19.
【答案】（1）；
（2）证明见解析；值域为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心；
（2）根据单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；
（3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可对二次函数分析得到，最终整合得到实数m的取值范围.
【小问1详解】
设函数图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
于是，解得，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
任取，且，则
，
所以且，
所以，即，
所以在上单调递增.
所以在上单调递增，故的值域为.
【小问3详解】
由于对任意，总存在，使得，
于是问题转化为在上的值域是值域的子集，
在单调递增，图象又关于点对称且经过点，
可知在上也单调递增，故在上单调递增，又；，
所以在的值域为，在的值域为，
，，解得，则的取值范围是.
