2024学年第一学期台州十校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
2. A
3. A
4. B
5. C
6. D
7. C
8. C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. BCD
11. AD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】##0.5
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）首先联立直线方程，解方程组求得交点坐标，依据题意可设所求直线为：，代入交点坐标即可求解直线方程；
（2）根据第一问所求交点坐标，依据题意可设直线方程为，代入交点坐标即可求解直线方程；
【小问1详解】
由，解得，即点，
由于所求直线与直线平行，
所以设所求直线方程为，
代入，得：，解得，
所以所求直线方程为.
【小问2详解】
由（1）知，点，
由于所求直线与直线垂直，
设所求直线方程为，
代入，得：，解得，
所以所求方程为.
16.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
证明：因为四边形为正方形，底面，所以、、两两相互垂直，
如图，以为原点，分别以、、方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得、、、、、，、、，
则，，，
设平面的一个法向量为，故，
即，则，
令，则，，
所以为平面a的一个法向量，
所以，
所以，
又平面，所以平面.
【小问2详解】
解：由平面的一个法向量为，.
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
17.
【解析】
【分析】（1）将直线的方程化为，由可得出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在圆上，且当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，利用直线与圆相切可求得实数的值；
（2）利用勾股定理可求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得实数的值.
【小问1详解】
证明：因为直线，得，
由，可得，所以直线过定点.
圆，所以定点在圆上，
圆心，半径为.
当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以.
【小问2详解】
解：设点到直线的距离为，利用勾股定理得：.
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
18.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面；
（2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值；
（3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断.
【小问1详解】
因为平面，所以，，
又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
【小问3详解】
由（1）得，，，，
设，则，可得，
所以，
由（2）知是平面的一个法向量，
若平面，可得，则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意求出，即可得答案；
（2）法一：设，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案.
（3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标.
【小问1详解】
由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
法一：设，则圆的方程为：，
圆过，代入圆的方程得，
故；
法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，
圆过，，由题意可设，
则；
【小问3详解】
由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，
设直线，，
则，需满足，
则，，
则，
结合第一问知，即，
即得，
化简得，
解得或，
当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意，
当时，直线PQ方程为，
故直线PQ过定点；
当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，
圆G方程为，
令，则，此时不妨设，
则的方程为，即，
联立，得，解得或，
即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点，
故直线PQ过定点.2024学年第一学期台州十校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）
A. B. 3 C. 6 D. 9
3. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
4. 空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（）
A. B.
C D.
5. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
6. 方程表示椭圆的充要条件是（）
A. B.
C. D. 或
7. 如图所示，正方体的棱长为1，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（）
A. 直线与直线垂直 B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面平行 D. 直线与平面所成的角为
8. 已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 直线的一个方向向量
10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（）
A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 点到直线上的点的最短距离是1
11. 已知直线与圆相交于、两点，下列说法正确是（）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 最小值为
C. 若、、、（坐标原点）四点共圆，则
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆交点
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是________.
13. 直线关于直线对称的直线的方程为________.
14. 已知实数、满足，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.
15. 求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
16. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，、分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
17. 已知直线及圆.
（1）求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；
（2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
19. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.
