2024-2025学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组两个方程表示相同曲线的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在商场正东公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为( )
A. 椭圆的内部 B. 双曲线右支的开口侧
C. 抛物线的开口侧 D. 圆的内部
4.已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题：
存在，使圆与圆相切；
对任意，直线：上都存在点，圆上都存在两点、，使则( )
A. 都为真命题 B. 为真命题，为假命题
C. 为假命题，为真命题 D. 都为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线与的夹角是______．
6.平行直线：与：之间的距离是______．
7.若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是______．
8.过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 ______．
9.若圆与轴相切，则实数的值是______．
10.已知点在焦点为，的椭圆上，若，则的值等于______．
11.已知直线：，：，若，则实数的值为______．
12.已知为坐标原点，若双曲线：的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是______．
13.直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为______．
14.等轴双曲线为常数在第一象限的焦点坐标是______．
15.若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为______．
16.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支分别交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为．
求边的高所在直线的一般式方程；
求边的中线所在直线的斜率．
18.本小题分
若圆过点，，．
求圆的一般方程；
求圆关于直线：对称的圆的标准方程．
19.本小题分
如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东公里处的一车站与其到道路的距离之差均为公里道路与铁路的宽度均忽略不计．
试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程；
若在道路上位于点正东公里处有一仓库为常数，，为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离单位：公里．
20.本小题分
如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”．
求椭圆的标准方程；
记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围．
21.本小题分
已知，若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线．
若，，求曲线的方程；
若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状；
若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意联立，解得，，
即垂心，
可得，
所以边上的高的方程为，
即；
因为边上的高为，
所以设直线的方程，
将点代入直线的方程，可得：，
解得，
即直线的方程为，
联立，解得，，
即点，
因为上的高所在直线的方程，
设所在的直线方程为，将点代入直线的方程为，
可得，
所以直线的方程为，
联立，解得，，
即，
所以的中点，
所以．
18.解：设圆的一般方程为，
则，解得，
圆的一般方程为；
由得圆的圆心为，半径，圆半径为，
设，则，且的中点在直线上，
，解得，
圆的标准方程为．
19.解：如图，以为原点，，为，轴正方向建坐标系，则，
由题意，，即到直线的距离，
根据抛物线的定义知，曲线的方程为；
由题意，令，，
则，且，
当，即，时，，此时点到道路的距离为公里；
当，即，时，，此时点到道路的距离为公里．
20.解：由题意，，得，
故椭圆的标准方程为；
由知：，显然直线不与轴重合，
设直线的方程为，，，
联立，得，显然，
所以，，
则，
圆的半径为，则，故，
所以负值舍，即满足条件的直线有条；
设切线的方程为，切线的方程为，且，
圆与相切，则，化简得，
同理，
所以，是的两个不相等实根，则，
又点在椭圆上，故，则，
由，存在，则，即
所以．
21.解：当，时，，
设，
因为点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，
所以，
整理化简得，
则曲线的方程为；
若，
可得，
设，
因为因为点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，
所以，
整理得，
即，
当时，方程表示椭圆；
当时，方程表示抛物线；
当时，方程表示双曲线；
证明：若，，
则，
由得曲线的方程为，
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
直线的方程为，
因为双曲线关于轴对称，
所以定点在轴上，
当时，
解得
．
故直线恒过定点．
第1页，共1页