2024-2025学年甘肃省庆阳市宁县一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省庆阳市宁县一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”( )
A.
B.
C.
D.
2.在等差数列中，已知，，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，且，若，，则( )
A. B. C. D.
4.过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为( )
A. B. C. D.
5.直线：，：，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
7.若点在圆：的外部，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
8.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是的前项和，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 是以为周期的周期数列
10.已知等比数列中，，，则( )
A. 公比为 B.
C. 当时， D. 的前项积为
11.若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.设等差数列与的前项和分别为，，且，则 ______．
13.设直线：与直线：的交点为，则到直线：的距离的最大值为______．
14.已知，，，第三个顶点在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
17.本小题分
已知点，直线：．
求点到直线的距离；
求点关于直线的对称点的坐标．
18.本小题分
已知的圆心在轴上，经过点和．
求的方程；
过点的直线与交于、两点．
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)求弦最短时直线的方程．
19.本小题分
把满足任意，总有的函数称为和弦型函数．
已知为和弦型函数且，求，的值；
在的条件下，定义数列：，求的值；
若为和弦型函数且对任意非零实数，总有设有理数，满足，判断与的大小关系，并给出证明．
参考答案
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15.解：等差数列的前项和为，
设数列的公差为，
由，，可得，，
解得，，
；
由已知，
时，；
时，．
综上，．
16.解：Ⅰ设各项均为正数的等比数列的公比为，，
由，且，，成等差数列，可得，
即为，解得舍去，
则；
Ⅱ，
则数列的前项和
．
17.解：已知点，直线：，
可得点到直线的距离为；
设点关于直线：对称的点的坐标为，
则中点的坐标为，又直线：的斜率为，
可得，解得，即．
点关于直线的对称点的坐标．
18.解：的圆心在轴上，经过点和．
设圆心为，由题意可得，解得，
可得圆的半径为，因此，圆的标准方程为．
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意．
综上所述，直线的方程为或．
当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即．
19.解：令，，则，可得，
令，，则，则；
令，，，则，
，
即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，
即，则
；
由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令，为任意实数，
则，即，是偶函数，
，为有理数，不妨设，令为，的分母的最小公倍数，
且均为自然数，且，
设，则，
令，则，
即，，
故数列单调递增，则，
又是偶函数，所以有
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