2024-2025学年四川省内江六中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省内江六中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
5.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围( )
A. 或 B.
C. D.
6.已知，都是正数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集满足下列两个条件：；则称为的一个“稳定子集”根据以上信息，集合的“稳定子集”有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 已知，，若，则组成集合为
B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C. 的定义域为，则的定义域为
D. 不等式解集为，则
11.已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是( )
A. 的取值与有关 B. 为定值
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知不等式的解集为或，则的解集为______．
14.已知集合，，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记全集，集合，或．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知：，若，求的最大值；
已知，，且，若恒成立，求的最大值．
17.本小题分
实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用该设备使用后，每年的总收入为万元若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年，设该设备产生的盈利总额纯利润为万元．
写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利盈利总额为正值．
使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
当年平均盈利额达到最大值时，以万元价格处理该设备；年平均盈利额盈利总额使用年数
当盈利总额达到最大值时，以万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
18.本小题分
已知函数，．
若，当时，求的最小值；
求关于的不等式的解集；
当时，已知，，若，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，若对任意，，都有或，则称集合具有“包容”性．
判断集合和集合是否具有“包容”性；
若集合具有“包容”性，求的值；
若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有个，，试确定集合．
参考答案
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15.解：全集，集合，或，
由，得，
解得，
所以的取值范围为；
由，得，
当时，，
解得；
当，即时，，
而，则或，
解得或，
因此或，
从而或，
所以的取值范围为或．
16.解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，则，解得，
又，所以，从而，
由及，，解得，，
故当，时，的最大值为，所以的最大值为．
因为恒成立，且，
所以恒成立，
所以恒成立，
因为，，，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
所以，所以的最大值为．
17.解：由题意知，；
解不等式，得；
因为，所以；
所以从第年开始该设备盈利；
因为，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以到年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
，当时，．
故到年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
因为方案企业获利总额较多，应选择方案较为合理．
18.解：当时，
，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为；
，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得．
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
不等式可化为，
因为，
所以不等式在时恒成立，
结合二次函数图象知，，
即，
解得，
故的取值范围是．
19.解：对于集合，
因为，，
所以集合不具有“包容”性；
对于集合，
因为集合中任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，
所以集合具有“包容”性．
若集合具有“包容”性，令，则，
而，所以，
不妨令，则集合，且，
则，且，
当时，若，得，此时集合具有包容性；
若，得，舍去；若，无解，舍去；
当时，则，由且可知：无解，
所以集合．
故．
不妨设集合，
其中，，，
根据题意，
且，
所以，，或，．
当，时，，
且由，得，
由得：，
所以，，且，
综上可得：集合
当，时，同理可得集合
综上可得，符合条件的集合有个，
分别是，，．
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