2024-2025学年云南省昆明市昆明八中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明八中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的实轴长是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线：与直线：垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知椭圆：，则下列结论正确的是( )
A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为
4.已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
5.设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为直线交于，两点，则的内切圆半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则( )
A. 若，则直线与圆一定相交
B. 圆与圆：相切
C. 若，直线与圆相交于、两点，则
D. 若，过上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点在第一象限，，为线段的中点，为坐标原点，则( )
A. B. 双曲线的离心率为
C. 的面积为 D. 直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为______．
13.已知圆与圆相交，则两圆相交弦所在直线的一般方程为______．
14.设直线过点，和椭圆交于、两点在上方，试求的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，．
求椭圆的方程；
设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求．
16.本小题分
如图，四棱锥侧棱均相等，为中点，，，，．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆：，直线：，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于、两点，是中点．
当时，求直线的方程；
设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
18.本小题分
如图，斜四棱柱的底面为正方形，平面，且，为直线上的一个动点．
求证：平面；
求直线与平面所成角正弦值的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
求椭圆的方程；
点是椭圆上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
过点的直线交椭圆于，两点在的左侧，若为线段的中点，直线交直线，于点，为线段的中点，求线段的最大值．
参考答案
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15.解：已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，
则，
则，
又，
则椭圆的方程为；
由题意可得：，
又斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，
则直线的方程为，
联立，
消可得：，
设，，
则，
则．
16.解：证明：，为的中点，
，
，，
为的中点，
，
如图，连接，
由题可知，，，
，
，
，，
，，，平面，
平面；
连接，交于点，
，，
，
，
，，，
即，
以分别以，所在直线为轴、轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
，
设平面与平面所成角为，
则，
平面与平面所成角的余弦值为．
17.解：当直线与轴垂直时，易知，
此时圆心到直线的距离，圆的半径，可得弦长为，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由于，可得，
可得，而，
解得，此时直线的方程为，即，
故直线的方程为或；
当与轴垂直时，易得，，
又，则，，
故，即，
当的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，
则，，
即，．
又由，得，
则．
故．
综上：的值为定值，且．
18.解：证明：连接，，
因为斜四棱柱的底面为正方形，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
同理可证明，
又因为且，
所以平面平面，
因为为直线上的一个动点，
所以平面，
所以平面．
取的中点，连接，，
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，且平面，平面，
所以，，
又因为，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
作于点，连接，
因为平面平面，
所以平面，
所以为在平面内的射影，
所以为与平面的所成角，
又因为平面平面，
所以为与平面的所成角，
所以，
当点与点不重合时，在直角三角形中，，
所以，
所以当点与点重合时，，
在中，，
因为，，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为．
19.解：由题意知点在上，
因为轴，设椭圆焦距为，则，
将代入中，得，
又在一象限，所以，所以，
因为，所以，解得，，
所以椭圆方程为；
由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设：，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个公共点，
则，即，
又：过，则，即，
将代入可得，，解得，则，
所以：，即得点为．
设原点，由，，
故，
从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为．
设，，，则，
则，
又由，
可得，
结合可得，，
又，，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故D轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号，
故线段的最大值为．
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