2024-2025学年安徽省合肥市蜀山区高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市蜀山区高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设，，则，的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
3.已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则“”的充要条件是( )
A. ，都不为 B. ，不都为 C. ，不都为 D.
5.已知，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象与轴有四个不同的交点
B. 当时，
C. 不等式的解集为
D. 对于任意，，若，则的最大值为
8.设是实数集的非空子集，如果，，有，，则称是一个“和谐集”下面命题为假命题的是( )
A. 存在有限集，是一个“和谐集”
B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”
C. 若，且，均是“和谐集”，则
D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式的解集为
10.已知，给出下列不等式：；；；；其中正确的有( )
A. B. C. D.
11.在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为______．
13.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．
14.已知函数若使得成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知关于的不等式．
若不等式的解集为，求，的值．
求关于的不等式其中的解集．
17.本小题分
已知．
判断的奇偶性；
判断在上的单调性，并说明理由；
若方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围．
18.本小题分
越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树经调研发现：该珍稀果树的单株产量单位：千克与单株用肥量单位：千克满足如下关系：已知肥料的成本为元千克，其他人工投入成本合计元若这种水果的市场售价大约为元千克，且销路畅通供不应求记该果树的单株利润为单位：元．
Ⅰ求的函数关系式；
Ⅱ当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润．
19.本小题分
设，，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足已知函数．
Ⅰ证明：函数的图象关于点对称；
Ⅱ已知函数的图象关于点对称，当时，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，，则，
故或；
由，得；
当时，有，解得；
当时，有，解得．
综上解得，实数的取值范围是．
16.解：将代入，得；分
所以不等式为，
再转化为，
所以原不等式解集为，
所以；分
不等式可化为，
即；分
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
综上所述，原不等式解集为
当时，或，
当时，，
当时，或分
17.解：的定义域为，关于原点对称，
，
为偶函数．
上是增函数，理由如下：
设，，且，
则，
，
，，
，
在上是增函数．
有四个不同的实数根，
当时，，
故对称轴为，且当时， 取最小值，，
又 为偶函数，
图象与直线有四个不同的交点，
作出的草图如下：
由图可得：直线与图象有四个不同交点时的取值范围为：．
18.解：Ⅰ由题可知
；
Ⅱ由得
，
当时，，
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，．
所以当施用肥料为千克时，种植该果树获得的最大利润是元．
19.解：Ⅰ，，
．
．
即对任意的，都有成立．
函数的图象关于点对称．
Ⅱ，易知在上单调递增．
在时的值域为．
记函数，的值域为．
若对任意的，总存在，使得成立，则．
时，，
，即函数的图象过对称中心．
当，即时，函数在上单调递增．由对称性知，在上单调递增．
函数在上单调递增．
易知又，，则．
由，得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由对称性，知在上单调递增，在上单调递减．
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
结合对称性，知或．
，．
又，．
易知又，
．
当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减．
由对称性，知在上单调递减．
函数在上单调递减．
易知又，
，则．
由，得解得．
综上可知，实数的取值范围为．
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