2024-2025学年吉林省长春市长春实验中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春实验中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，且，则函数图象过定点( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则三个数的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知，：，：，则是成立的____条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，若当贮水池一边长时，最低总造价最小，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 方程有个根
D. 不等式的解集是
10.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则下列命题正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，
11.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 当时，函数最大值为
B. 当时，函数最大值为
C. 若存在最大值，则
D. ，在不可能递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的定义域为______．
13.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为______．
14.已知，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
解关于的不等式；
求在区间上的值域．
16.本小题分
对于函数
探索函数的单调性；
是否存在实数使函数为奇函数，若存在，求出的取值；若不存在，说明理由？
17.本小题分
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好．
若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
18.本小题分
已知为幂函数，且．
直接写出函数的定义域，值域，单调性，奇偶性；
定义：对于函数，若方程有实根，则称其根为函数的不动点现在．
当，，求的不动点；
当时，有两个不动点，求的取值范围．
19.本小题分
定义在上的函数满足，，有，恒成立，且当时，，．
求；
判断的奇偶性；并证明；
判断并证明的单调性，并解．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.，或
14.
15.解：不等式即为，可化为，
解得或，
所以原不等式的解集为或；
函数图象的对称轴为，
当时，在上单调递减，
则，的值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，而，
，，的值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，的值域为
所以当时，的值域为；
当时，的值域为；
当时，的值域为．
16.解：的定义域为，设，
则
，分
，，，分
，
即，所以不论为何实数总为增函数．分
假设存在实数使为奇函数，
分
即，分
解得：，故存在实数使为奇函数． 分
17.解：设这所公寓的客户面积为平方米，则地板面积为平方米，
由题意可得：，解得：．
所以这所公寓的窗户面积至少为平方米．
设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，
则，
由题意可知，，
，即．
公寓的采光效果变坏了．
18.解：设幂函数，为常数，
因为，
所以，
设，则，
解得，所以，
所以，
所以的定义域为，值域为，
且在上单调递增，为非奇非偶函数．
当，时，由可知，，
由，得，
可化为，解得，
所以的不动点为．
当时，，
令，得，
因为有两个不动点，
所以有两个不等的非负实数根，
所以，解得，
所以的取值范围是．
19.解：函数满足，，有，，
取，，得，则，
所以；
函数不具奇偶性，证明如下：
取，，得，
又因为，，
则，
解得，因此，且，
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．
函数在上单调递减，证明如下：
，，，，
由当时，，得，
，
所以，
而，恒有，即，
则，，
因此，
所以函数在上单调递减；
而，
不等式，解得，
所以不等式的解集为．
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