2024-2025学年山东省济南市山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若“”是“”的充分条件，则是( )
A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角
3.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，为内的一点，，则下列说法错误的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
5.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有个不同的解，则称为上的“波浪函数”已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 当时，函数最大值为
B. 当时，函数最大值为
C. 若存在最大值，则
D. ，在不可能递减
10.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线轴对称
D. 当时，函数有个零点
11.年，在爱尔兰发现四元数当时他正研究扩展复数到更高的维次复数可视为平面上的点他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数根据哈密顿记述，他于月日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解之后哈密顿立刻将此方程刻在对四元数，，，，的单位，，，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有( )
A. 集合的元素按乘法得到一个八元集合
B. 若非零元，，则有：
C. 若，，则有：
D. 若非零元，则有：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数满足，则 ______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，已知，则的最大值是______．
14.已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列公差为，，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若把的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有的取值．
17.本小题分
已知函数，．
若函数有两个不同的极值点，求的取值范围；
求函数的单调递减区间．
18.本小题分
数列满足的前项和为，等差数列满足，．
求数列，的通项公式；
设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和；
是否存在正整数，使得是或中的项若有，请求出全部的并说明理由；若没有，请给出证明．
19.本小题分
设正整数，集合，，，，，，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
Ⅰ当时，已知集合，，，，，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
Ⅱ当时，已知集合，，若不是的完美子集，求的值；
Ⅲ已知集合，其中若对任意，，都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
参考答案
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15.解：已知等差数列公差为，，且，，，成等比数列，
则，解得，
；
由知，，且，
则，可得，
．
16.解：因为
，
所以函数的最小正周期为．
令，可得，
所以函数的单调递增区间为．
根据题意，可得，．
若，则，
因为，所以或或或，可得或或或．
17.解：易知的定义域为，
可得，
令，可得，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个大于的不等实根，
此时，
解得，
则的取值范围为；
因为，
可得，
令，
解得或，
当时，，
令，
解得，
所以函数在上单调递减；
当时，，
令，
解得，
所以函数无单调递减区间；
当时，，
令，
解得，
所以函数在上单调递减；
当时，，
令，
解得，
所以函数在上单调递减．
综上所述：当时，函数在上单调递减，
当时，函数无单调递减区间，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减．
18.解：由题可知，当时，；
当时，得，
因为，
两式相减得，
经检验，当”时，，
显然，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所，，
等差数列的公差，
所以．
由可知，，，
因为，所以为奇数；
故为区间的奇数个数，
显然，为偶数，
所以，
所以．
根据第一问可知，，
所以，
若是或中的项，
令，则，
则有，
因为，，
所以，
因为为数列或中的项，
所以的所有可能取值为，，，，，，，
当时，得无解，所以不存在；
当时，
得，
令，，
得，
令，
显然为二次函数，开口向下，对称轴为，
，，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
得，，
因为，
所以，
所以的可能取值有，，，
我们来验证，
当时，，可得存在正整数解或，故L满足；
当时，得，当为整数时，分子为整数，分母不能被整除，所以无正整数解，故L不满足；
当时，得，则存在正整数解，故L满足．
综上所述，，或．
19.解：Ⅰ由，
显然只有唯一解，即，
所以为的完美子集；
同理，对于，，
令，
即，方程组的解不唯一，
比如为方程组的一组解，故B不是的完美子集；
Ⅱ由题意得，
所以
由不是的完美子集，即方程组的解不唯一，
因为，，，
由集合的互异性得，且．
所以，，，，．
所以
所以．
所以或．
检验：
当时，存在，，使得．
当时，因为，所以，，舍．
所以．
Ⅲ假设存在不全为的实数，，满足，
不妨设，则否则与假设矛盾．
由，得．
所以
与，即矛盾．
所以假设不成立．
所以．
所以．
所以一定是完美集．
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