2024-2025学年山东省烟台市龙口一中高三（上）月考数学试卷（七）（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市龙口一中高三（上）月考
数学试卷（七）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.材料：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦一秦九韶公式根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数且过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象在轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数，且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，函数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
11.已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是( )
A. 在是增函数
B. 是奇函数
C. 在是增函数
D. 设，则满足的正整数的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设角，满足，则的值为______．
13.已知定义在上的函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数的取值范围是______．
14.若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且的最小正周期为．
求的值；
求函数在区间上的单调增区间．
16.本小题分
已知常数，函数．
当时，求不等式的解集用区间表示；
若函数有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
设，若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图是一个半径为千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．是半径上一点，是圆弧上一点，且现在线段，线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为元．
求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．
19.本小题分
已知函数．
若，求的图象在处的切线方程；
若有两个极值点，，证明：．
参考答案
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14.
15.解：，
，
；分
由题意得，即可得分
由知
则由函数单调递增性可知：
整理得：分
在上的增区间为分
16.解：时，，
由题意可得，
可得，可得，解得，
所以不等式的解集为；
因为函数有两个零点，
即，
即，
可得，
所以，
整理可得，
因为，
所以，
令，
可得，
令，
在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，
当时，，
时，
时，，
要使函数有两个零点，则的范围为．
17.解：，
当时，，单调递增，
当时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
令，
，
令，
，
，
令，
，
所以在上单调递增，
又，且时，，
所以在上，，，单调递减，
在，，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
又，
所以在上，，，单调递减，
在，，，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：因为，所以．
在中，，，．
由正弦定理，得，，
得，．
又圆弧长为，
所以
．
记，
则，
令，得．
当变化时，，的变化如下表：
递增 极大值 递减
所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即．
故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元．
19.解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以，
又，
所以的图象在处的切线方程为，
即；
证明：因为，
可得，
因为有两个极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，，
即方程有两个不相等的正实数根，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
因为有两个不相等的正实数根，，
所以，即有两个不相等的正实数根，，
此时，
整理得，
要证，
需证，
即证，
不妨设，
令，，
可得，
此时需证，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递减，
此时，
故．
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