13.2.5 边边边
【基础达标】
1.如图,这是一个风筝设计图,其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称,AC与BD相交于点O,且AB≠AD,则下列判断不正确的是 （ ）
A.△ABD≌△CBD
B.△ABC≌△ADC
C.△AOB≌△COB
D.△AOD≌△COD
2.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是 （ ）
A.∠B=∠E,BC=EF
B.BC=EF,AC=DF
C.∠A=∠D,∠B=∠E
D.∠A=∠D,BC=EF
3.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图.请你根据所学的全等三角形的有关知识,说明画出∠A'O'B'=∠AOB的依据是 .
4.如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
【能力巩固】
5.下列判断错误的是 （ ）
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
6.如图,AB=AD,BC=DC.求证:∠B=∠D.
7.如图,点A、D、C、B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.
8.如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌DEF.
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
【素养拓展】
9.【问题探究】
(1)已知一个三角形支架(如图1),要检查底角(∠B,∠C)大小是否相等,由于条件限制,无法直接测量.乐乐所在的数学兴趣小组的同学采用以下方法进行测量:在AB,AC上量得BD=CF,在BC上量得E,G为BC的三等分点,同时量得△BDE和△CFG的周长相等,然后他们得出底角相等的结论,他们的结论正确吗 为什么
图1 图2
【问题解决】
(2)如图2,仪器ABCD可以用来平分一个角,AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB与AD,使它们落在角的两边上,经过点C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线,你能说明其中的道理吗
参考答案
【基础达标】
1.B 2.D 3.SSS
4.证明:∵C是BD的中点,
∴BC=DC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
【能力巩固】
5.B
6.证明:如图,连结AC.∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.
7.证明:∵AD=BC,
∴AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE∥BF.
8.解:(1)证明:∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,
∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1)可知,∠F=∠ACB.
∵∠A=55°,∠B=88°,
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°,
∴∠F=∠ACB=37°.
【素养拓展】
9.解:(1)结论正确.
理由:由题意得BD=CF,BE=CG,BD+BE+DE=CF+CG+FG,
∴DE=FG.
在△BDE和△CFG中,
∴△BDE≌△CFG(SSS),
∴∠B=∠C.
(2)∵在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∴AE平分∠PRQ.13.2.4 两角一边 第2课时 角角边
【基础达标】
1.如图,一块三角形的玻璃被打碎成三块,现要配一块与原来形状完全相同的玻璃,则 （ ）
A.只需带①去 B.只需带③去
C.只需带②去 D.需带②和③去
2.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要判定这两个三角形全等,还需要条件 （ ）
A.AB=ED B.AB=FD
C.AC=FD D.∠A=∠F
3.如图,点B,D分别在AC,AE上,AC=AE,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABE≌
△ADC的是 （ ）
A.AB=AD
B.∠1=∠2
C.∠C=∠E
D.BE=CD
4.如图,AC∥ED,∠B=∠E,AB=CE,AC=2,DE=5,则BD= （ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
【能力巩固】
5.如图,小虎用10块高都是3 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A,B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的水平距离DE的长度为 （ ）
A.30 cm B.27 cm
C.24 cm D.21 cm
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,DE=4 cm,AD=6 cm,则线段BE的长是 （ ）
A.1.5 cm B.2 cm
C.2.5 cm D.3 cm
7.如图,∠1=∠2,AC=AD,要使△ABC≌△AED,还需要再添加一个条件,那么在①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,这四个条件中可以选择的是 .(填写序号)
8.如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
9.如图,AE=AC,∠D=∠B,∠EAC=∠DAB,求证:△EAD≌△CAB.
10.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是多少
【素养拓展】
11.(开放性试题)如图,△ABC与△ABD中,AD与BC相交于点O,∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其他线并不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并说明理由.
参考答案
【基础达标】
1.A 2.C 3.D 4.C
【能力巩固】
5.A 6.B 7.①③④
8.证明:∵DA=BE,
∴DE=AB.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠C=∠F.
9.证明:∵∠EAC=∠DAB,
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD,即∠EAD=∠CAB.
在△EAD和△CAB中,
∴△EAD≌△CAB(AAS).
10.解:由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC.
∵∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°,
∴∠COE=∠OBD.
在△COE和△OBD中,
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴CE=OD,OE=BD.
∵BD=1.4 m,CE=1.8 m,
∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m).
∵AD=1 m,
∴AE=AD+DE=1.4(m).
答:小丽距离地面的高为1.4 m.
【素养拓展】
11.解:添加条件:∠C=∠D;∠CAO=∠DBC等.
理由:如果添加条件是∠C=∠D时,因为∠2=∠1,AB=BA,
所以△ABC≌△BAD(AAS).即AC=BD;
如果添加条件是∠CAO=∠DBC时,
因为∠1=∠2,所以∠CAO+∠1=∠DBC+∠2,
所以∠CAB=∠DBA.又因为AB=BA,∠2=∠1,
所以△ABC≌△BAD(ASA),即AC=BD.13.2.3 边角边
【基础达标】
1.如图,AB=DB,BC=BE,要证△ABE≌△DBC,可增加的条件是 （ ）
A.∠ABE=∠DBE
B.∠A=∠D
C.∠E=∠C
D.∠ABD=∠EBC
2.如图,AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE的度数为 （ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
3.如图,AD⊥BC于点D,BD=CD,要证AB=AC,需要证 ≌ ,证明全等的依据是 .
4.如图,已知AB和CD相交于O,OA=OB, OC=OD.求证:△OAD≌△OBC.
【能力巩固】
5.如图,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,若要使△ACF≌△DBE,则还需要补充一个条件: .
6.如图,AB=AC,AD平分∠CAB,求证:∠B=∠C.
7.如图,AB=CB,BE=BF,∠1=∠2,求证:AE=CF.
8.如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.
(1)求证:△ABE≌△DCE.
(2)当AB=5时,求CD的长.
9.鹿邑老子文化广场位于周口市鹿邑县太清宫镇,在太清宫对面,与太清宫相互辉映.广场中央矗立着地标性建筑老子雕像,总高27米,A,B两点分别为雕像底座的两端(其中A,B两点均在地面上).因为A,B两点间的实际距离无法直接测量,甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案:
甲:如图1,在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O,连结AO并延长到点C,连结BO并延长到点D,使CO=AO,DO=BO,连结DC,测出DC的长即可.
乙:如图2,先确定直线AB,过点B作直线BE,在直线BE上找可以直接到达点A的一点D,连结DA,作DC=DA,交直线AB于点C,最后测量BC的长即可.
问题:甲、乙两同学的方案哪个可行 (填“甲”或“乙”),并说明方案可行的理由.
【素养拓展】
10.把两个含有45°角的直角三角板如图放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F,求证:AF⊥BE.
参考答案
【基础达标】
1.D 2.A
3.△ADB △ADC SAS
4.证明:在△OAD 和△OBC中,OA=OB(已知),∠1=∠2(对顶角相等),OD=OC (已知).∴△OAD≌△OBC(SAS).
【能力巩固】
5.AF=DE
6.证明:在△ADB和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC(SAS),
∴∠B=∠C(三角形全等,对应角相等).
7.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE,
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,
∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.
8.解:(1)证明:在△AEB和△DEC中,
∴△AEB≌△DEC(SAS).
(2)∵△AEB≌△DEC,
∴AB=CD.
∵AB=5,
∴CD=5.
9.解:甲同学的方案可行.
理由:由题意知,
在△ABO与△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(SAS),
∴AB=CD,
故甲同学的方案可行.
【素养拓展】
10.证明:在△ACD和△BCE中,
AC=BC,
∠DCA=∠ECB=90°,
DC=EC,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠DAC=∠EBC.
∵∠ADC=∠BDF,
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°,
∴∠BFD=90°,
∴AF⊥BE.13.2.6 斜边直角边
【基础达标】
1.如图,在Rt△ACD和Rt△BCE中,若AD=BE,DC=EC,则下列结论不正确的是 （ ）
A.Rt△ACD≌Rt△BCE
B.OA=OB
C.E是AC的中点
D.AE=BD
2.下列条件不能作出唯一直角三角形的是 （ ）
A.已知两个锐角
B.已知一条直角边和一个锐角
C.已知两条直角边
D.已知一条直角边和斜边
3.下列四个条件,能够证明两个直角三角形全等的是 （ ）
A.两条边分别对应相等
B.一条边、一个锐角分别对应相等
C.两个锐角分别对应相等
D.两条边相等的直角三角形
4.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形 对.
5.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是 .
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD与BE相交于点H,且BH=AC,DH=DC,那么∠AEB= 度.
【能力巩固】
7.如图,已知∠ACB和∠ADB都是直角, BC=BD, E是AB上任一点. 求证:CE=DE.
8.如图,AB=AC,点D、E 分别在AC、AB 上,AG⊥BD,AF⊥CE,垂足为G、F,且AG=AF,求证:AD=AE.
【素养拓展】
9.在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)如图1,若点B,C在DE的同侧,且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若点B,C在DE的两侧,且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
图1图2
参考答案
【基础达标】
1.C 2.A 3.B
4.3 5.AD=CB 6.90
【能力巩固】
7.证明:在Rt△ABC和Rt△ADB中,
∵BC=BD(已知),AB=AB(公共边),
∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL),
∴∠CBE=∠DBE(全等三角形的对应角相等).
在△ECB和△EDB中,
∵CB=DB(已知),∠CBE=∠DBE(已证),BE=BE(公共边).
∴△ECB≌△EDB(SAS),
∴CE=DE(全等三角形对应边相等).
8.证明:∵AG⊥BD,AF⊥CE,∴△AGB和△AFC是直角三角形.∵在Rt△AGB和Rt△AFC中,
∴Rt△AGB≌Rt△AFC(HL),
∴∠BAG=∠CAF.
又∵∠BAG=∠EAF+∠FAG,∠CAF=∠DAG+∠FAG,∴∠EAF=∠DAG,
∴在Rt△AEF和Rt△ADG中,
∵
∴Rt△AEF≌Rt△ADG,∴AD=AE.
【素养拓展】
9.(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由:
由(1)同理可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.13.2.1 全等三角形—13.2.2 全等三角形的判定条件
【基础达标】
1.若两个三角形全等,则下列说法不正确的是 （ ）
A.它们的最小角相等
B.它们的对应外角相等
C.它们是直角三角形
D.它们的最长边相等
2.如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,则∠B的度数为 （ ）
A.30°
B.50°
C.90°
D.100°
3.如图,如果△ABC≌△FED,那么下列结论错误的是 （ ）
A.EC=BD
B.EF∥AB
C.AC∥FD
D.DF=BD
4.如图,若△ABC≌△DEF,则下列结论错误的是 （ ）
A.∠A=80°
B.∠B=40°
C.x=7 cm
D.S△ABC=S△DEF
5.如图,Rt△A'B'C'是△ABC向右平移3 cm所得,已知∠B=60°,B'C=5 cm,则∠C'= ,B'C'= cm.
6.如图,△ABC≌△DEC,过点A作AF⊥CD于点F,若∠BCE=63°,则∠CAF的度数是 .
【能力巩固】
7.为了庆祝“神舟十八号”的成功发射,学校组织了一次小制作展示活动,小明计划制作一个如图所示的简易模型,已知该模型满足△ABD≌△ACE,点B和点C是对应顶点,若AB=8 cm,AD=3 cm,则DC= cm.
8.如图,四边形ABCD是正方形,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,找出图中全等的三角形,及其对应角和对应边.
9.如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)你能说明BD,DE,CE之间的数量关系吗
(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE
【素养拓展】
10.如图,△ACD和△BCE都是等边三角形,△NCE经过顺时针旋转得到△MCB.如果连结MN,那么,△MNC是什么三角形 请说明理由(提示:有两边相等且一个角是60°的三角形是等边三角形).
参考答案
【基础达标】
1.C 2.D 3.D 4.C
5.30° 8
6.27°
【能力巩固】
7.5
8.解:全等三角形为△ADE≌ABE'.对应角为∠AE'B=∠AED,∠BAE'=∠DAE,∠ABE'=∠ADE.对应边为AE'=AE,BE'=DE,AB=AD.
9.解:(1)BD=DE+CE.
理由:∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.
理由:∵△BAD≌△ACE,
∴∠E=∠ADB=90°(添加的条件是∠ADB=90°),
∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E,
∴BD∥CE.
【素养拓展】
10.解:△MNC是等边三角形.理由:△NCE经过顺时针旋转得到△MCB,∴△NCE≌△MCB,∴CN=CM.
又∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴∠ACD=∠BCE=60°,∠NCM=180°-∠ACD-∠BCE=60°,∴△MNC是等边三角形.13.2.4 两角一边 第1课时 角边角
【基础达标】
1.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是 （ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
2.下列说法正确的有 （ ）
(1)两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;
(2)两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;
(3)三个角对应相等的两个三角形全等;
(4)成轴对称的两个图形全等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DM.其中正确的结论是 .
【能力巩固】
4.如图,在△ABC中,AE=CE,高AD,CE交于点H.若AB=12,CE=7,则CH= .
5.如图,B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,求证:AB=DE.
6.如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE,求证:△ABC≌△DAE.
【素养拓展】
7.如图,点E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.
参考答案
【基础达标】
1.D 2.B 3.①②③
【能力巩固】
4.2
5.证明:∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF(两直线平行,同位角相等).
∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE(同上).又BE=CF,∴BC=BE+EC,FE=CF+EC,∴BC=FE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AB=DE(三角形全等,对应边相等).
6.证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中,
∴△ABC≌△DAE(ASA).
【素养拓展】
7.证明:∵AD∥CB,∴∠A=∠C.
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,
即AE=CF.
