13.3.2 等腰三角形的判定
【基础达标】
1.在下列命题中:①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的命题共有 （ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是 （ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在△ABC中,AH为边BC上的高,再添加下列条件中的一个后,仍不能判断△ABC是等腰三角形的是 （ ）
A.BH=HC
B.∠BAH=∠CAH
C.∠B=∠HAC
D.S△ABH=S△AHC
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE∥AC,DE交AB于点E,M为BE的中点,连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是 .(写出一个即可)
5.分析下列结论:
①∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3;
②BC∶AC∶AB=2∶2∶3;
③∠B=50°,∠C=80°;
④2∠A=∠B+∠C.
能判定△ABC是等腰三角形的是 .
6.如图,在等边三角形ABC中,D是边BC的中点,则∠BAD= .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,求证:∠DBC=∠DCB.
【能力巩固】
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为 （ ）
A.12 B.10
C.9 D.8
9.如图,BP是∠B的平分线,AP⊥BP于点P,△ABC的面积为8 cm2,则△PBC的面积为
cm2.
10.下图所示的正方形方格中,方格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,那么符合条件的点C有多少个 请画出图形.
11.(1)如图,在四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,求证:∠A=∠C.
(2)如图,在四边形ABCD中,若AB=BC,∠A=∠C,求证:AD=CD.
【素养拓展】
12.如图,在△ABC中,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,以每秒3 cm的速度向点A运动,同时点Q从点A出发,以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时,运动的时间是 秒.
参考答案
【基础达标】
1.C 2.B 3.C
4.△EAD或△MBD或△MDE
5.①②③ 6.30°
7.证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.又∵AB=AC,AD=AD,
∴△BAD≌△CAD(SAS),
∴BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.
【能力巩固】
8.D 9.4
10.解:符合条件的点C有 8个.如图:分情况讨论.①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的点C有4个;②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的点C有4个.
11.证明:(1)如图,连结AC.
∵AB=AC,AD=CD,
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,即∠A=∠C.
(2)∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA.
又∵∠A=∠C,即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD.
【素养拓展】
12.413.3.1 等腰三角形的性质
【基础达标】
1.在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,则∠C等于 （ ）
A.30° B.120° C.60° D.150°
2.已知△ABC是等边三角形,则∠A= .
3.如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到BC的中点D,这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了,工人师傅这种操作方法的依据是 （ ）
A.等边对等角
B.等角对等边
C.垂线段最短
D.等腰三角形“三线合一”
【能力巩固】
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,D是AE上的一点,则下列结论错误的是 （ ）
A.AE⊥BC
B.△BED≌△CED
C.△BAD≌△CAD
D.∠ABD=∠DBE
5.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D,E是BC上两点,∠ADE=∠AED,延长AE至点F,使AF=AC,已知∠BAD=20°,则∠EFC的度数为 .
6.如图,在正△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,则∠BDF+∠CEF= .
【素养拓展】
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连结AD,作∠ADE=36°,DE交线段AC于点E,点D在运动过程中,若△ADE是等腰三角形,求∠BDA的度数.
参考答案
【基础达标】
1.A 2.60° 3.D
【能力巩固】
4.D 5.80° 6.120°
【素养拓展】
7.解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C=36°.
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=36°,
∵∠AED>∠C,
∴AD≠AE.
②当DA=DE时,即∠DAE=∠DEA=×(180°-36°)=72°.
∵∠BAC=180°-36°-36°=108°,
∴∠BAD=108°-72°=36°,
∴∠BDA=180°-36°-36°=108°.
③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=36°,
∴∠BAD=108°-36°=72°,
∴∠BDA=180°-72°-36°=72°.
∴当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数是108°或72°.
